Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Otorowie Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie w Kaliszu Pomorskim ID grupy: 98/28_mf_g1 98/6_mf_g2 Opiekun: Lidia Piotrowska, Jolanta Cirzniewska Kompetencja: Fizyczno-matematyczna Temat projektowy: Zbiory, relacje, funkcje Semestr/rok szkolny: Semestr V rok szkolny 2011/2012

3 To może się przydać... Czyli objaśnienie nieznanych nam symboli. - iloczyn zbior ó w U - suma zbior ó w - różnica zbiorów, - nie zawiera się, nie jest zawarte - należy - nie należy

4 O czym będzie prezentacja? Pokażemy przykłady zbiorów i funkcji. Przedstawimy zależności funkcyjne. Przybliżymy podstawowe pojęcia dotyczące zbiorów i funkcji. Wytłumaczymy działania na zbiorach. Opowiemy o ciekawych funkcjach. Zastanowimy się nad zastosowaniem praktycznym.

5

6 O zbiorze sł ó w kilka... Pojęcie zbi ó r jest pojęciem pierwotnym i niedefiniowalnym. Zbiory spotykamy wszędzie- biblioteka jest zbiorem książek, a wszyscy uczniowie gimnazjum r ó wnież tworzą zbi ó r. Przedmioty, lub liczby należące do zbioru nazywamy elementami zbioru i oznaczamy je małymi literami (a,b,c itd.). Zbi ó r oznaczamy dużą literą.A, B, …

7 Jaki może być zbi ó r i co to oznacza? Skończony- można go zapisać wymieniając wszystkie jego składniki. Nieskończony- nie da się wymienić wszystkich element ó w tego zbioru. Pusty- nie zawiera żadnych element ó w.

8 Zbi ó r skończony- przykład Zbi ó r liczb naturalnych większych od 2, ale mniejszych od 6. Oznaczmy ten zbi ó r literą A Zbiór liczb rzeczywistych większych od 3, ale mniejszych od 6. A=(3;6)

9 Zbi ó r nieskończony- przykład Zbi ó r liczb naturalnych większych od 2. Oznaczmy ten zbi ó r literą B. Zbiór liczb rzeczywistych większych od 3. B=(3;)

10 Zbi ó r pusty- przykład Zbi ó r liczb większych od 2 i mniejszych od 1. Żadne liczby nie spełniają tego wymagania. Oznaczmy ten zbi ó r literą C.

11 Suma zbior ó w Sumą zbior ó w A i B nazywamy zbi ó r tych element ó w, kt ó re należą do zbioru A lub do zbioru B. Rozpatrzmy 3 przypadki:

12 Iloczyn zbior ó w Iloczynem lub wsp ó lną częścią zbior ó w A i B nazywamy zbi ó r tych element ó w, kt ó re jednocześnie należą do zbioru A i zbioru B. Rozpatrzmy 3 przypadki:

13 Różnica zbiorów Różnicą zbior ó w A i B nazywamy zbi ó r tych element ó w, kt ó re należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

14 Dopełnienie zbioru Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako A. A

15 Zbiory rozłączne - przykład

16 Działania na zbiorach- zadania Niech :A={1;2;3;4}B={3;4;5;6} A U B= {1;2;3;4;5;6} A B= {3;4} A \ B= {1;2} B \ A= {5;6} Niech:A=(3;10)B=(5;25) A U B= (3;25) A B= A \ B= (3;5> B \ A= <10;25)

17 Własności działań na zbiorach. Prawa de Morgana. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa: I prawo De Morgana II prawo De Morgana Przemienność sumy zbiorów Prawo przemienności iloczynu zbiorów Rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania Rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia Łączność dodawania zbiorów Łączność mnożenia zbiorów Przykład:

18 Równość zbiorów. Zawieranie się zbiorów. Za równe uważamy zbiory, mające te same elementy. Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B co zapisujemy A = B. Między zbiorami może zachodzić relacja zawierania się (inkluzja). Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B co zapisujemy A B.

19 Dobry Bóg stworzył liczby naturalne, reszta jest dziełem człowieka - Leopold Kronecker

20 Zbiory liczbowe. Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby. Liczby naturalne Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby niewymierne Liczby rzeczywiste Liczby zespolone Kwaterniony

21

22 FUNKCJA (łac. function-, functio, wykonanie, od fungi, wykonać, wypełnić, zwolnić; być może spokr. z sanskr. bhu kte, używa, cieszy się; w mat. zapocz. prawd. Leibniz w 1692 r.)

23 CO TO JEST FUNKCJA ? Funkcją określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze B nazywamy takie przyporządkowanie, w kt ó rym każdemu elementowi zbioru A został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B. Dane są dwa zbiory A i B.

24 To jest funkcja ponieważ każdemu argumentowi przypisana jest tylko jedna wartość np. dla x=1 y=2; dla x=2 y=3 To nie jest funkcja ponieważ jednemu argumentowi przypisane jest kilka wartości. Dla x=2 y=1, 2 i 3

25 Ściśle funkcję definiuje się jako taką relację pomiędzy elementami dziedziny (pierwszego zbioru) a elementami przeciwdziedziny (drugiego zbioru), dla której każdy element dziedziny jest w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny.

26 ĆWICZENIE Kt ó re z podanych przyporządkowań nie przedstawia funkcji określonej na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.

27 ĆWICZENIA

28 SPOSOBY OKREŚLENIA FUNKCJI Funkcje można określić za pomocą: - grafu - wykresu - wzoru - zbioru - tabelki - opisu słownego

29 Rodzaje funkcji funkcje parzyste i nieparzyste funkcje okresowe funkcje ciągłe funkcje różniczkowalne funkcje monotoniczne Pojęcia związane z funkcją

30 POJĘCIA ZWIĄZANE Z FUNKCJĄ Dziedzina funkcji - zbiór X Zbiór wartości funkcji - zbiór Y Miejsce zerowe funkcji - argument x dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, na wykresie jest to punkt przecięcia z osią X Monotoniczność funkcji: Funkcja jest rosnąca gdy wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji Funkcja jest malejąca gdy wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji

31

32

33 ĆWICZENIA

34 Dziedziną funkcji liniowej jest zbi ó r wszystkich liczb rzeczywistych R. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Funkcję określoną wzorem y=ax+b dla a, b, x należącego do R nazywamy funkcją liniową. a i b - wsp ó łczynnik funkcji.

35 Przykłady funkcji liniowej: f(x) = 2x + 3 rosnąca f(x) = -3x + 8 malejąca f(x) = 7 stała Wykres funkcji f(x) = x wygląda następująco:

36 PRZESUNIĘCIE WZDŁUŻ OSI Y Aby przesunąć wykres wzdłuż osi y, należy przekształcić wzór funkcj f(x) na wzór f(x) + a Na wykresie aby powstała funkcja f(x) + a przesuwamy funkcje f(x) o wektor długości a do góry gdy a>0 lub w dół gdy a<0

37 Przykład 1. Narysujmy wykres funkcji y=2x+1 Obierzmy dwie wartości argumentu x. np. x 1 =-1 oraz x 2 =2 Obliczamy wartości danej funkcji dla wybranych argument ó w: y 1 =2*x1+1=2+(-1)+1=-1 oraz y 2 =2*x2+1=2*2+1=5 Wykres funkcji jest prostą przechodzącą przez dwa punkty (x1,y1) i (x2,y2) tzn. przez punkty (-1,-1) oraz (2.5). Otrzymamy x=0.5 Liczba ta jest miejscem zerowym danej funkcji. Wykres przecina oś X w punkcie (-0.5, 0)

38 Przykład 2. Sporządźmy wykresy funkcji liniowych. y= -3x Dla funkcji y=-3x obliczamy wsp ó łrzędne dw ó ch punkt ó w, kt ó re wyznaczają prostą będącą wykresem tej funkcji. Np. x1=0 x2=-1 y1=-3*0=0 y2=-3*(-1)=3 Punkty (0,0) i (-1,3) należą do wykresu tej funkcji. Wykresem funkcji y=-3x jest prosta przechodząca przez punkty (0,0) oraz II i IV ćwiartkę układu wsp ó łrzędnych. Własności tej funkcji: 1. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba x=0. Jest to miejsce w kt ó rym wykres przecina oś X 2. Wykres przecina oś Y dla y=0 3. Funkcja y=-3x jest malejąca w całej swojej dziedzinie, ponieważ dla rosnących argument ó w wartości tej funkcji maleją

39 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem f(x) = ax 2 + bx + c, gdzie a jest liczba różna od zera Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Gdy współczynnik a jest dodatni to ramiona paraboli są skierowane do góry Gdy współczynnik a jest ujemny to ramiona paraboli są skierowane w dół

40

41

42 WSPÓŁRZĘDNE WIERZCHOŁKA I MIEJSCA ZEROWE. Do ich obliczenia niezbędny będzie następujący wzór: Δ = b 2 - 4ac - wierzchołek W( p, q ) gdzie - miejsca zerowe Funkcja ma 2 miejsca zerowe gdy Δ > 0 Funkcja ma 1 miejsce zerowe gdy Δ = 0 Funkcja nie ma miejsc zerowych gdy Δ < 0

43 Np.wykres funkcji f(x) = x 2 -1 wygląda następująco:

44 POSTACIE FUNKCJI KWADRATOWEJ - postać ogólna f(x) = ax 2 + bx + c - postać iloczynowa f(x) = a(x - x 1 )(x - x 2 ) x 1 i x 2 są miejscami zerowymi funkcji więc aby istniała postać iloczynowa musi być spełniony warunek Δ > 0 - postać kanoniczna f(x) = a(x-p) 2 + q p i q są współrzędnymi wierzchołka funkcji.

45 ZASTOSOWANIA FUNKCJI KWADRATOWEJ Czasami rozważając jakiś problem, możemy opisać zależność między badanymi wielkościami za pomocą funkcji kwadratowej.

46 PRZYKŁAD Przy brzegu jeziora chcemy wyznaczyć kąpielisko w kształcie prostokąta, odgradzając je sznurem z bojami, do którego przyczepione są boje. Sznur, którym dysponujemy, ma 80 m długości. Jakie wymiary powinno mieć kąpielisko, aby jego powierzchnia była możliwie największa? Oblicz tę powierzchnię. Rozwiązanie Jeśli przez x oznaczymy długość boku kąpieliska, który jest prostopadły do brzegu jeziora, to bok kąpieliska równoległy do brzegu ma długość x (długości x i x wyrażone są w metrach)

47 Opisujemy, w jaki sposób powierzchnia kąpieliska zależy od długości boku x i ustalamy dziedzinę zapisanej funkcji p (długość x boku kąpieliska musi być liczbą dodatnią, mniejszą od połowy długości sznura) p - powierzchnia kąpieliska (w m 2 ) p(x) = x (80 - 2x) x (0;40) p(x) = -2x x Parabola p(x) = -2x x ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja p przyjmuje największą wartość; argument, dla którego wartość funkcji jest największa

48 Obliczamy długość drugiego boku kąpieliska = 40 Obliczamy pole powierzchni możliwie największego kąpieliska p = = 800 Odp. Największą powierzchnię kąpieliska otrzymamy, gdy jego wymiary to 20 m x 40 m (krótszy bok jest prostopadły do brzegu jeziora). Powierzchnia ta będzie równa 800 m 2.

49 PRZESUNIĘCIE WZDŁUŻ OSI X należy przekształcić wzór funkcj f(x) na wzór f(x + a) Na wykresie aby powstała funkcja f(x + a) przesuwamy funkcje f(x) o wektor długości a w lewo gdy a>0 lub w prawo gdy a<0

50 PRZYKŁADOWE ZADANIA

51 LITERATURA Internet Podręczniki i zbiory zadań z matematyki Encyklopedia matematyki

52 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google