Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność"— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność - osiągalność Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability)

2 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu Sterowalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny Systemy ciągłe

3 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 do stanu zerowego jest sterowalny w skończonym przedziale czasu, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadzi system z dowolnego stanu System sterowalny System liniowy Sterowalność systemu Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny

4 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego - testy System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS1) jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności Dodatek A – przykłady zastosowania testu SSC LS1 – test Kalmana

5 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Dodatek B – Inne testy i przykład zastosowania – test Popova – Belevitcha-Hautusa Dodatek C – Inne testy i przykład zastosowania - test dla systemów z jednokrotnymi wartościami własnymi

6 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

7 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu Osiągalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

8 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 ze stanu zerowego Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadzi system do dowolnego stanu System osiągalny System liniowy Osiągalność systemu Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas system jest nieosiągalny

9 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie OSC LS1) jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne

10 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne System ciągły sterowalny system ciągły osiągalny

11 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Systemy dyskretne Dodatek D – przykład systemu dyskretnego posiadającego cechę sterowalności, ale nie posiadającego cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności

12 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny W ogólności zatem Implikacja ta zachodzi dla przypadków, gdy A D jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych: System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny

13 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu Osiągalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

14 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności Twierdzenie OSD LS1

15 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Dodatek E - Inne testy osiągalności systemów dyskretnych

16 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Dla systemów dyskretnych sterowalność i osiągalność nie są równoważne Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie SSD LS1

17 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Sterowalność wyjścia Twierdzenie SW LS1 Wyjście liniowego systemu stacjonarnego jest sterowalne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy o wymiarze qxnm jest równy q (q – wymiar przestrzeni wyjścia)

18 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

19 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Dodatek A

20 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Przykład 1. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

21 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

22 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

23 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

24 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a 0, a 1 oraz a 2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

25 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Przykład 3. Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne

26 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Przykład 4. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

27 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Przykład 5. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

28 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Dodatek B Inne testy Testy Popova – Belevitcha-Hautusa (SSC LS2 i przykłady zastosowania testów

29 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Testy Popova – Belevitcha-Hautusa Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny v i jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny w i Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi A T

30 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny jednocześnie do wszystkich kolumn macierz B Twierdzenie SSC LS2

31 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Twierdzenie SSC LS3 Testy sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testów Popova – Belevitcha-Hautusa

32 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Przykład 6 Test sterowalności Popova – Belevitcha-Hautusa Lewostronne wektory własne dla

33 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny

34 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Dodatek C Inne testy Testy dla systemów z jednokrotnymi wartościami własnymi i przykład zastosowania

35 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych Twierdzenie SSC LS4

36 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Przykład 7. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą i podstawiając do drugiego równania bilansowego

37 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 Wybierając zmienne stanu Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne

38 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana

39 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 Wyznacznik macierzy Kalmana Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna

40 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 Wyznacznik macierzy Kalmana Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie,, x 10 i x 20 – warunki początkowe

41 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 Do stanu końcowego można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich

42 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42 Dodatek D

43 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43 Przykład 8. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie

44 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44 Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji Drugi stan jest równy zero dla wszystkichniezależnie od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności

45 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45 Dodatek E Inne testy osiągalności systemów dyskretnych

46 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A D, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A D nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B D Twierdzenie OSD LS2

47 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Twierdzenie OSD LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

48 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B D nie ma wierszy zerowych Twierdzenie OSD LS4


Pobierz ppt "Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (II) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność"

Podobne prezentacje


Reklamy Google