Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wstęp do metod numerycznych Wykład 13 - ostatni Aproksymacja 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wstęp do metod numerycznych Wykład 13 - ostatni Aproksymacja 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki"— Zapis prezentacji:

1 Wstęp do metod numerycznych Wykład 13 - ostatni Aproksymacja 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki

2 2 Sformułowanie zagadnienia aproksymacji W klasycznym przypadku dla danej funkcji f spośród funkcji ustalonej klasy poszukuje się funkcji F (też ustalonej klasy), która w określonym sensie najlepiej przybliża f. Innym zadaniem jest wyznaczenie, możliwie niskim kosztem, przybliżenia F funkcji f z zadaną dokładnością. Można wreszcie stawiać problem aproksymacji nie jednej, ale całej klasy funkcji funkcjami innej klasy. Rozwiązania tak różnie postawionych zadań są oczywiście różne, nie istnieje więc jedna „optymalna” aproksymacja.

3 Aproksymacja a interpolacja 3 Wykres funkcji intepolującej musi przechodzić przez zadane węzły, a funkcji aproksymującej - nie Funkcję f(x), znaną lub określoną tablicą wartości, będziemy aproksymować (zastępować) inną funkcją F(x), zwaną funkcją aproksymującą lub przybliżeniem funkcji f(x). Oczywiście przybliżenie takie powoduje powstanie błędów aproksymacji.

4 4 Sformułowanie zagadnienia aproksymacji. Niech f(x) będzie funkcją, którą chcemy aproksymować, X - pewną przestrzenią liniową unormowaną (tzn. określona jest w niej funkcja nazywana normą) zaś X m - m-wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni X. Aproksymacja funkcji f(x) polega na wyznaczeniu takich współczynników a 0, a 1, a 2,..., a m funkcji: aby spełniała ona pewne warunki (np. minimalizowała normę różnicy ||f(x) - F(x)||), przy czym  0,  1,...,  m są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1.

5 5 Sformułowanie zagadnienia aproksymacji Wybór odpowiedniej podprzestrzeni X m i związanej z nią bazy (funkcji bazowych  k (x)) jest zagadnieniem istotnym ze względu na numeryczny koszt rozwiązania i błędy zaokrągleń. Często obieraną podprzestrzenią X m jest: a) podprzestrzeń funkcji trygonometrycznych z bazą: 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,..., sin kx, cos kx, szczególnie przydatna, gdy aproksymowana funkcja f(x) jest funkcją okresową; b) podprzestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej m z bazą jednomianów: 1, x, x 2, x 3,..., x m. Mimo prostoty działań na wielomianach, baza ta ma istotną wadę - wrażliwość na błędy zaokrągleń; kumulujące się błędy w przypadku działań na małych oraz na niewiele różniących się liczbach mogą całkowicie zniekształcić obliczenia c) podprzestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej m, określonych na przedziale z bazą wielomianów Czebyszewa: T 0 (x), T 1 (x), T 2 (x),..., T m (x), czy też z bazą wielomianów Legendre'a: L 0 (x), L 1 (x), L 2 (x),..., L m (x).

6 Aproksymacja ciągła i dyskretna 6 APROKSYMACJA CIĄGŁA Znajdź funkcję F(x) aproksymującą ciągłą funkcję f(x) w przedziale [a, b]. Funkcje f(x) oraz F(x) powinny różnić się jak najmniej w przedziale [a, b] w sensie ogólnej normy całkowej (I 2 ) Dla funkcji f(x) określonej i ciągłej na przedziale poszukujemy minimum całki gdzie w(x) jest ciągłą nieujemną funkcją wagową, dodatnią poza zbiorem miary zero.

7 7 Aproksymacja ciągła i dyskretna Zagadnienie aproksymacji przy wybranych funkcjach bazowych  k (x) sprowadza się do jednoznacznego wyznaczenia wartości współczynników a k, zapewniających minimum normy ||f(x) - F(x)||, czyli: APROKSYMACJA DYSKRETNA Znajdź funkcję F(x) aproksymującą (uciąglającą) funkcję dyskretną f(x) określoną w przedziale [a, b] poprzez zbiór n wartości (x i, f i ) i=1 … n. Odcięte x i nazywa się węzłami aproksymacji natomiast rzędne f i – wartościami węzłowymi. Dla funkcji f(x i ), danej na dyskretnym zbiorze argumentów, poszukujemy minimum sumy (metoda najmniejszych kwadratów): przy czym w(x i ) jest funkcją wagową taką, że w(x i )  0 dla i = 0, 1,..., n.

8 8 Aproksymacja dyskretna Aproksymacja taka nazywa się aproksymacją średniokwadratową. Polega ona na takim wyznaczeniu funkcji F(x), aby suma kwadratów odległości jej wartości od wartości danej funkcji f(x) była jak najmniejsza

9 9 Aproksymacja średniokwadratowa Niech będzie dana funkcja y = f(x), która na pewnym zbiorze X punktów: x 0, x 1, x 2,..., x n przyjmuje wartości y 0, y 1, y 2,..., y n. Wartości te mogą być przybliżone, obarczone pewnymi błędami (np. błędami obserwacji pomiarowych). Należy znaleźć funkcję F(x) mało odchylającą się od danej funkcji f(x) zarówno między węzłami, jak i w węzłach x 0, x 1, x 2,..., x n, która przybliżałaby daną funkcję tak, aby ją wygładzić. Niech  j (x), j = 0, 1, 2,..., m, będzie układem funkcji bazowych podprzestrzeni X m.

10 10 Aproksymacja średniokwadratowa Poszukujemy wielomianu uogólnionego będącego najlepszym przybliżeniem średniokwadratowym funkcji f(x), przy czym współczynniki a i są tak określone, aby powyższe wyrażenie było minimalne Oznaczmy gdzie w(x) jest ustaloną z góry funkcją wagową taką, że w(x i )  0 dla i = 0, 1, 2,..., n, zaś R i jest odchyleniem w punkcie x i. Najczęściej przyjmuje się, że w(x) =1, można jednak dobrać inną funkcję wagową w celu otrzymania lepszego przybliżenia funkcji.

11 11 Aproksymacja średniokwadratowa W celu znalezienia takich współczynników a k, dla których funkcja H osiąga minimum, obliczamy pochodne cząstkowe względem zmiennych a k i przyrównujemy je do zera: Otrzymujemy układ m+1 równań z m+1 niewiadomymi a k, k = 0, 1, 2,..., m: Układ nazywamy układem normalnym. Ponieważ funkcje  j (x) tworzą bazę przestrzeni X m, zatem wyznacznik układu jest różny od zera i jednoznaczne rozwiązanie tego układu zapewnia minimum funkcji H.

12 12 Aproksymacja średniokwadratowa W zapisie macierzowym układ normalny przyjmuje postać D T DA = D T f Powyższy układ jest równoważny układowi DA = f, który jest nadokreślony (n równań, m+1 niewiadomych)

13 13 Aproksymacja średniokwadratowa Jeżeli za funkcje bazowe  j (x) przyjmuje się ciąg jednomianów 1, x, x 2, x 3,..., x m, to wzór można zapisać w postaci: Lub po przekształceniu Lub po rozpisaniu na układ równań

14 Przykład 14 j xjxj fjfj W tabeli dane są wyniki pomiarów. W celu znalezienia funkcji liniowej, aproksymującej dane z tabeli, użyjemy jednomianów  0 (x) = 1 oraz  1 (x) = x. Funkcja będzie w postaci: dla j = 0, 1, 2, …, 7

15 15 Przykład 3.5 Określamy funkcję H będącą normą W celu wyznaczenia szukanych współczynników a 0 i a 1 obliczamy pochodne cząstkowe funkcji H po a 0 i a 1 przyrównując je do zera. Korzystamy z wzoru

16 16 Przykład Podstawiając następnie za (x j, f j ), j=0,...,7 wartości z tabeli pierwsze równanie powyższego układu przyjmie postać: drugie Po uproszczeniu Co daje rozwiązanie

17 17 Przykład

18 18 Przykład xixi 2,52,72,93,13,33,53,73,9 yiyi 1,211,291,321,341,391,451,471,55 Dla danych doświadczalnych z tabeli znaleźć metodą najmniejszych kwadratów krzywą typu hiperboli. Poszukujemy funkcji aproksymujących typu: a) y = a 1 /x + a 0 b) y = 1/(a 1 x+a 0 ) c) y = x/(a 1 x+a 0 ). Dla przypadku a) pochodne po a 0 i a 1 dają w rezultacie układ równań liniowych, jednak dla przypadku b i c) pochodne są trudniejsze i mamy układ 2 równań kwadratowych, a więc nie da się zastosować prostej numerycznej metody jego rozwiązania – można jednak rozwiązać go ręcznie

19 19 Przykład

20 Przykład – dopasowanie okręgu 20 Sformułowanie zadania: dla par (xj,fj) zebranych w tabeli xjxj 22,333,63,93,72,92,2 fjfj 122,920,5-1,1-2-1,2 Dopasuj metodą najmniejszych kwadratów okrąg. Okrąg dany jest równaniem (x-X) 2 + (y-Y) 2 = R 2 Zadanie będzie polegało na wyznaczeniu nieznanych parametrów (X, Y, R).

21 Dopasowanie okręgu 21 Możemy to zapisać w postaci iloczynu skalarnego wektorów Postać ogólna równania okręgu jest następująca: Postać równoważna (ale współczynniki a,b,c będą inne, nazwijmy je z 1,z 2,z 3,z 4 ) może być następująca:

22 Dopasowanie okręgu 22 Aby otrzymać nietrywialne rozwiązanie, należy założyć, że jedna ze współrzędnych jest niezerowa i przyjąć np. z 1 =1 i przyjąć u 1 =z 2, u 2=z 3,u 3 =z 4. Wtedy możemy zbudować układ równoważny Bu=b Wstawienie poszczególnych wartości (xj, fj) do powyższego równania wygeneruje nam układ równań Az = 0, gdzie

23 Dopasowanie okręgu 23 W naszym przypadku układ Bu=b będzie nadokreślony i będzie składał się z 8 równań Gdybyśmy mieli 3 punkty (xj,yj) to układ równań miałby jednoznaczne rozwiązanie (na 3 punktach możemy jednoznacznie określić okrąg) Metodą SVD otrzymujemy rozwiązanie Przekształcamy równanie okręgu ogólne na kanoniczne i mamy

24 Przykład aproksymacji ciągłej 24 Znajdź kwadratową aproksymację funkcji y = sin(x) w przedziale [0,  ] Funkcję będziemy aproksymować jednomianami Skorzystamy z normy I 2 Na podstawie powyższych wzorów wynikają następujące postacie macierzy i wektora układu równań

25 Przykład aproksymacji ciągłej 25

26 Przykład aproksymacji ciągłej 26 Dla konkretnego przykładu:

27 Przykład aproksymacji ciągłej 27 Końcowy układ równań ma zatem postać

28 Literatura Beata Pańczyk, Edyta Łukasik, Jan Sikora, Teresa Guziak Metody numeryczne w przykładach, Politechnika Lubelska Lublin Marcin Tekieli Politechnika Krakowska 3. Walter Gander Gene H. Golub Rolf Strebel, Least-Squares Fitting of Circles and Ellipses https://pdfs.semanticscholar.org/ab86/fdbc15c9a114b78d4a024a08e14e94c8cf2a.pdf


Pobierz ppt "Wstęp do metod numerycznych Wykład 13 - ostatni Aproksymacja 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki"

Podobne prezentacje


Reklamy Google