Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metoda simpleks Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego. Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania.

Коpie: 1
Metoda simpleks opracowanie na podstawie Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu D. Witkowska, Menadżer Łódź Simpleks jest uniwersalną

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metoda simpleks Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego. Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania."— Zapis prezentacji:

1 Metoda simpleks Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego. Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania

2

3 Model matematyczny I Zmienne decyzyjne : x 1 - liczba emisji reklamy radiowej; x 2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 min (koszty zleceniodawcy w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 6 warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x 1 + x 2 2 warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x 2 1 dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x 2 4 górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, x 1 C, x 2 C.

4 Zmienne swobodne Przekształcamy model tak, aby można było zastosować algorytm simpleks. Przekształcamy warunki ograniczające w równania dopisując do nich nieujemne zmienne, tzw. zmienne swobodne w następujący sposób: –do każdego warunku postaci dodaje się zmienną swobodną z parametrem równym jeden – do każdego warunku postaci dodaje się zmienną swobodną ze współczynnikiem -1 Zmienne swobodne posiadają interpretację ekonomiczną wynikającą z informacji zawartej w warunkach ograniczających, do których zostały wprowadzone. Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero

5 Sprowadzamy warunki ograniczające do równości Zmienne decyzyjne : x 1 ;x 2 s 1,s 2,s 3,s 4 funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 + 0s 1 +0s 2 +0s 3 +0s 4 min warunki ograniczające: 2x 1 + x 2 + s 1 = 6 x 1 + x 2 - s 2 = 2 x 2 - s 3 =1 x 2 + s 4 = 4 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, s 1 0, s 2 0, s 3 0, s 4 0, x 1,x 2,s 1,s 2,s 3,s 4 C.

6 Tablica simpleksowa cBcB B x1x1 x2x2 s1s1 s2s2 s3s3 s4s

7 Zmienne sztuczne Jeżeli z macierzy współczynników tak powstałych równań nie da się wyodrębnić macierzy jednostkowej, to do warunków, które od początku były warunkami postaci równania oraz do warunków, które pierwotnie były postaci dopisuje się tzw. zmienne sztuczne.

8 Zmienne sztuczne c.d. n Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero, natomiast parametry przy zmiennych sztucznych zależą od optimum funkcji celu: w zadaniach z funkcją celu dążącą do maximum jest to -M, w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum jest to +M, gdzie M j est dowolnie dużą liczbą rzeczywistą dodatnią (M + ).

9 Tablica simpleksowa

10 Po powyższych przekształceniach otrzymujemy model postaci: f(x)=3x 1 + 6x 2 + 0s 1 +0s 2 +0s 3 +0s 4 + Mt 1 + Mt 2 min 2x 1 + x 2 + s 1 = 6 x 1 + x 2 - s 2 + t 2 = 2 x 2 - s 3 + t 3 =1 x 2 + s 4 = 4 x 1 0, x 2 0, s 1 0, s 2 0, s 3 0, s 4 0, t 2 = 0, t 3 = 0. x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4, t 2, t 3 C

11 Optymalność rozwiązania W celu sprawdzenia optymalności otrzymanego rozwiązania obliczamy współczynniki z j i j wg wzoru: Wartość współczynnika optymalności j określa jednostkową zmianę wartości funkcji kryterium, jeżeli do bazy wprowadzimy daną zmienną (dla wszystkich zmiennych bazowych j =0).

12 Jeżeli wartość j jest ujemna, to oznacza, że wprowadzenie danej zmiennej do bazy spowoduje spadek wartości funkcji celu. Zatem wartość funkcji kryterium można uzależnić od jej wartości w poprzedniej iteracji:

13 Rozwiązanie optymalne n Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli nie występują zmienne niebazowe, których wprowadzenie do bazy byłoby pożądane: – w zadaniu z funkcją celu dążącą do minimum takie zmienne, które powodowałyby spadek wartości tej funkcji ( j <0), –a w przypadku zadań, w których funkcja celu dąży do maksimum takie zmienne, które powodowałyby jej wzrost ( j >0).

14 Rozwiązanie optymalne

15 Tablica simpleksowa (min) Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j <0

16 Kryterium wejścia do bazy W następnym kroku algorytmu wprowadzamy do bazy tę zmienną, która spowoduje najbardziej korzystne efekty: –ma największe dodatnie wartości j w zadaniach na max –najmniejsze ujemne wartości j w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum.

17 Tablica simpleksowa (min) Najmniejsza ujemna Do bazy wejdzie x2

18 Kryterium wyjścia z bazy Z uwagi na to, że liczba zmiennych w bazie musi być stała (i równa liczbie warunków ograniczających), należy wyznaczyć zmienną, która bazę opuści. Obliczamy w tym celu wskaźniki Q, wg wzoru: Współczynniki wyznacza się wyłącznie dla >0 w celu uzyskania w kolejnej iteracji rozwiązania dopuszczalnego (spełniającego warunki brzegowe). Zmienną, która opuszcza bazę jest ta, dla której ma najmniejszą wartość.

19 Tablica simpleksowa (min) Najmniejsza wartość W kolejnej iteracji zamiast zmiennej t3 pojawi się x2

20 Tablica simpleksowa (min)

21 Przepisany z poprzedniej iteracji

22 Tablica simpleksowa (min) Od elementów wiersza pierwszego odejmujemy elementy wyróżnionego wiersza trzeciego

23 Tablica simpleksowa (min) Od elementów wiersza drugiego odejmujemy elementy wyróżnionego wiersza trzeciego

24 Tablica simpleksowa (min) Od elementów wiersza czwartego odejmujemy elementy wyróżnionego wiersza trzeciego

25 Tablica simpleksowa (min) Najmniejsza wartość Sprawdzamy optymalność Najmniejsza ujemna wartość x1 będzie nową zmienną bazową

26 Tablica simpleksowa (min) Sprawdzamy kryterium wyjścia Najmniejsza wartość Bazę opuści t2

27 Tablica simpleksowa (min) Drugi wiersz przepisujemy Od elementów pierwszego odejmujemy elementy drugiego pomnożone przez dwa Trzeci i czwarty wiersz przepisujemy

28 Tablica simpleksowa III iteracja (min) Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości współczynników optymalności j są większe lub równe zero Jeżeli w rozwiązaniu wszystkie wartości j dla zmiennych niebazowych są różne od zera to, otrzymane rozwiązanie optymalne jest jednoznaczne. Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym pewne wartości j dla zmiennych niebazowych są równe zero, to otrzymane rozwiązanie optymalne jest niejednoznaczne (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych, które są kombinacją liniową rozwiązań bazowych wyznaczonych przez wprowadzanie do bazy tych zmiennych, dla których j =0).

29 Model matematyczny II Zmienne decyzyjne : x 1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x 2 - ilość wydobywanej ropy w hl. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz. x 1 + x 2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0.

30 Model matematyczny II Zmienne decyzyjne : x 1 ;x 2; s 1; s 2; t 2,. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 +0 s 1 +0 s 2 -M t 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 +s 1 = 8 x 1 + x 2 -s2+t 2 = 10 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, s 1 0,s 2 0;. t 2 =0

31 Tablica simpleksowa

32 Tablica simpleksowa (max) Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j >0

33 Tablica simpleksowa (max) W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x 2 na miejsce s 1

34 Tablica simpleksowa (max)

35 Optymalne, bo wszystkie wskaźniki optymalności mniejsze od zera Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera (tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.

36 Model matematyczny III Zmienne decyzyjne : x 1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x 2 - ilość wydobywanej ropy w hl. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz. x 1 + x 2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0.

37 Model matematyczny II Zmienne decyzyjne : x 1 ;x 2; s 1; s 2; t 1 t 2,. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 +0 s 1 +0 s 2 -M t 1 -M t 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 +s 1+ - t 1 = 8 x 1 + x 2 -s2+t 2 = 10 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, s 1 0,s 2 0; t 1 =0; t 2 =0

38 Tablica simpleksowa

39 Tablica simpleksowa (max) Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j >0

40 Tablica simpleksowa (max) W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x 1 na miejsce t 1

41 Tablica simpleksowa (max)

42

43

44

45

46 Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego ze współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora y j są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.

47

48 Model matematyczny II Zmienne decyzyjne : x 1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x 2 - ilość wydobywanej ropy w hl. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz. x 1 + x 2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0.

49 Model matematyczny II Zmienne decyzyjne : x 1 ;x 2; s 1; s 2; t 2,. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 +0 s 1 +0 s 2 -M t 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 +s 1 = 8 x 1 + x 2 -s2+t 2 = 10 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, s 1 0,s 2 0;. t 2 =0

50 Tablica simpleksowa

51 Tablica simpleksowa (max) Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j >0

52 Tablica simpleksowa (max) W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x 2 na miejsce s 1

53 Tablica simpleksowa (max)

54 Optymalne, bo wszystkie wskaźniki optymalności mniejsze od zera Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera (tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.

55 Model matematyczny III Zmienne decyzyjne : x 1 ;x 2; s 1; s 2; t 1 t 2,. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 +0 s 1 +0 s 2 -M t 1 -M t 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 +s 1+ - t 1 = 8 x 1 + x 2 -s2+t 2 = 10 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, s 1 0,s 2 0; t 1 =0; t 2 =0

56 Tablica simpleksowa

57 Tablica simpleksowa (max) Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j >0

58 Tablica simpleksowa (max) W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x 1 na miejsce t 1

59 Tablica simpleksowa (max)

60

61

62 Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego ze współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora y j są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone. Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy

63 Nowe zadanie Tablica simpleksowa III iteracja Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości współczynników optymalności j są większe lub równe zero Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym pewne wartości j dla zmiennych niebazowych są równe zero, to otrzymane rozwiązanie optymalne jest niejednoznaczne (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych, które są kombinacją liniową rozwiązań bazowych wyznaczonych przez wprowadzanie do bazy tych zmiennych, dla których j =0). s1 x1 x2 s M-3 M

64 Tablica simpleksowa IV iteracja s1 x1 x2 s M-3 M s1 s3 x2 s

65 Rozwiązanie optymalne niejednoznaczne

66

67 Tablica simpleksowa IV iteracja Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości współczynników optymalności j są większe lub równe zero s1 x1 x2 s M-3 M

68 Tablica simpleksowa Optymalne, bo wszystkie wskaźniki optymalności mniejsze od zera Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera (tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne M 6 6+M M -M48-2M -9-M0-6-M-M0 max

69 Tablica simpleksowa Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego e współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora y j są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone. s2 x M-6-M


Pobierz ppt "Metoda simpleks Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego. Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania."

Podobne prezentacje


Reklamy Google