Teoria masowej obsługi Michał Suchanek Katedra Ekonomiki i Funkcjonowania Przedsiębiorstw Transportowych

Zastosowania logistyka produkcji, telekomunikacja, obsługa systemów wieloterminalowych, tworzenie stosów w systemach komputerowych, modele obsługi logistycznej (np. terminale kontenerowe)

Nieco historii Agner Krarup Erlang ( ) 1909 – wykazał, że połączenia telefoniczne podlegają rozkładowi Poissona, stworzył model systemu obsługi telefonicznej w Kopenhadze, 1917 – model blokady w ruchu telefonicznym (model Erlanga), 1953 – zaproponowanie przez D.G. Kendalla systemu notacji.

Model systemu masowej obsługi

Notacja Kendalla A/C/s/K/N/D A – rozkład strumienia zgłoszeń, C – rozkład czasu obsługi, s – liczba serwerów/okienek/punktów obsługi, K – pojemność systemu (kolejka + obsługa), N – wielkość populacji, D – kolejność obsługi.

Rozkład zgłoszeń i obsługi M – rozkład Poissona bądź rozkład wykładniczy E n – rozkład Erlanga n-tego rzędu, N – rozkład normalny, D – rozkład deterministyczny (nielosowy), G – rozkład ogólny (uprzednio zdefiniowany).

Rozkład Poissona Rozkład dyskretny opisujący prawdopodobieństwo, że w określonym strumieniu czasu wystąpi k niezależnych zdarzeń o danej częstotliwości występowania λ. Rozkład dany jest funkcją: Dystrybuanta:

Zdarzenia modelowane z wykorzystaniem rozkładu Poissona Liczba połączeń przychodzących do centrali telefonicznej, Liczba mutacji w komórce DNA po ekspozycji na promieniowanie, Liczba kontenerów napływających do terminalu, Liczba zabitych przez kopnięcie konia każdego roku w korpusie kawalerii w Prusach. (W.J.Bortkiewicz)

Rozkład wykładniczy Rozkład opisujący prawdopodobieństwo przejścia układ z jednego z dwóch możliwych stanów w drugi w określonym czasie, Rozkład zależny od jednego parametru – λ – opisującego odstępy między kolejnymi zdarzeniami, Ergo, 1/λ oznacza ilość niezależnych zdarzeń, które mają zajść w jednostce czasu.

Parametry rozkładu wykładniczego Gęstość prawdopodobieństwa (szansa przyjęcia przez zmienną konkretnej wartości) : λe-λxλe-λx Dystrybuanta (szansa przyjęcia wartości nie większej niż konkretna wartość) : 1- e -λx

Pojemność systemu Wyróżnia się: – systemy ze stratami (ograniczona pojemność) – systemy bez strat (nieograniczona pojemność)

Kolejność obsługi FIFO (First In, First Out), LIFO (Last In, First Out), SIRO (Service in Random Order).

Przykład systemu M/M/1/∞/∞/FIFO

Charakterystyki systemu masowej obsługi

Pozostałe parametry Liczba zgłoszeń w kolejce, Liczba zgłoszeń w systemie, Czas oczekiwania w kolejce, Czas pobytu w systemie obsługi, Czas przestoju kanału obsługi, Czas zajętości kanału obsługi, Liczba okresów kiedy stanowisko obsługi jest puste.

Wartości parametrów dla systemu M/M/1 ParametrWartość Stała Erlangaρ= λ / μ Liczba zgłoszeń w systemieN = ρ / (1 – ρ) Oczekiwana długość kolejkiQ = ρ 2 / (1 – ρ) Czas oczekiwania w kolejceW = ρ / (μ – λ) Czas pobytu w systemie obsługiR = 1 / (μ – λ) Czas przestoju kanału obsługi w przedziale [0, T] WT = T / (1 – ρ) Czas zajętości kanału obsługi w przedziale [0, T] BT = Tρ Liczba okresów kiedy stanowisko obsługi jest puste. FPT = Tλ(1 – ρ)

Zadanie Na poczcie otwarte są dwa okienka. Zarówno przybycie klientów, jak i czas obsługi zgodne są z rozkładem wykładniczym, przy czym średnio na godzinę przybywa 22 klientów, zaś średni czas obsługi klienta wynosi 2,5 minuty. Gdy w kolejce jest więcej niż 5 oczekujących, klient rezygnuje i opuszcza pocztę. Proszę określić podstawowe parametry systemu na drodze symulacji, a także ocenić jak wpłynęłoby na system wydłużenie czasu obsługi bądź zwiększenie ilości klientów.