KAPITALIZACJA 1

Określenie procentu Procent jest to setna część z całości. 1 % = 0,01 z całości Aby zamienić liczbę na procent należy tą liczbę pomnożyć przez 100 %, np.: 1, 25 = 1, % = 125 % Aby zamieć procent na liczbę należy liczbę procentową podzielić przez 100 %, np.: 53 % : 100 % = 0, 53 2

KAPITALIZACJA Z DOŁU ( najczęściej ) Z GÓRY ( bardzo rzadko ) PROSTAZŁOŻONA ZGODNA NIEZGODNA CIĄGŁA 3

Pojęcia podstawowe Kapitalizacja jest to operacja polegająca na dopisaniu odsetek do kapitału. Odsetki Z są ceną wypożyczenia kapitału. Okres kapitalizacji OK jest czasem, po którym odsetki zostają dopisane do kapitału. Okres stopy procentowej OS jest to okres na jaki została ustalona stopa procentowa, przyjmowany najczęściej jeden rok. 4

Stopa procentowa jest ilorazem odsetek Z do wartości kapitału początkowego K o. Stopa procentowa Roczna stopa procentowa Efektywna stopa procentowa Względna stopa procentowa Dostosowana stopa procentowa 5

Roczna stopa procentowa r – stopa procentowa, dla której okres bazowy wynosi jeden rok. Dostosowana stopa procentowa r d – stopa procentowa, dla której okres bazowy jest krótszy niż jeden rok i ustalana indywidualnie między stronami. Względna stopa procentowa r / m – stopa procentowa określająca wysokość odsetek w podokresach, gdzie: m – liczba podokresów w jednym okresie stopy procentowej. okresie stopy procentowej. m = OS / OK m = OS / OK 6

Banki przyjmują następującą liczbę podokresów kapitalizacji w rocznym okresie stopy procentowej: m = 1 dla kapitalizacji rocznej m = 2 dla kapitalizacji półrocznej m = 4 dla kapitalizacji kwartalnej m = 12 dla kapitalizacji miesięcznej m = 52 dla kapitalizacji tygodniowej m = 360, 365, 366 dla kapitalizacji dobowej m = 8760 dla kapitalizacji godzinowej m = ∞ dla kapitalizacji ciągłej 7

Efektywna stopa procentowa r e f – stopa procentowa rekompensująca skutki kapitalizacji w podokresach. Efektywna stopa procentowa w kapitalizacji okresowej: Efektywna stopa procentowa w kapitalizacji ciągłej: 8

Przykład: Niech roczna stopa procentowa wynosi 10 %. Oblicz względną stopę procentową w kapitalizacji kwartalnej oraz efektywną stopę procentową w kapitalizacji kwartalnej i ciągłej. Względna stopa procentowa w kapitalizacji kwartalnej: Efektywna stopa procentowa w kapitalizacji kwartalnej: Efektywna stopa procentowa w kapitalizacji ciągłej: 9

Kapitalizacja z dołu (najczęściej stosowana) występuje gdy odsetki są dopisywane do kapitału na końcu okresu kapitalizacji. Kapitalizacja z góry (w zaliczce, rzadko stosowana) występuje gdy odsetki dopisywane są do kapitału na początku okresu kapitalizacji. Kapitalizacja zgodna występuje gdy okres kapitalizacji jest równy okresowi stopy procentowej. W przeciwnym przypadku mamy kapitalizację niezgodną. 10

Kapitalizacja prosta Kapitalizacja prosta to sposób oprocentowania kapitału polegający na tym, że odsetki od kapitału za dany okres nie są doliczane do kapitału i nie biorą udziału w oprocentowaniu w okresie następnym. 11

Podstawowe zależności Kapitał końcowy kapitalizacji prostej K d K d – kapitał końcowy po d dniach kapitalizacji prostej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) d – liczba dni trwania lokaty r [ % ] – stopa procentowa 12

Przykład : Oblicz kapitał końcowy kapitalizacji prostej od wkładu złożonego w banku w wysokości [ zł ] wkładu złożonego w banku w wysokości [ zł ] na okres jednego kwartału jeżeli roczna stopa na okres jednego kwartału jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 10 %. procentowa wynosi 10 %. K d = ? [ zł ] K o = [ zł ] d = 1 [ kwartał ] = 90 [ dni ] r = 10 [ % ] 13

Kapitał początkowy K o K d – kapitał końcowy po d dniach kapitalizacji prostej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) d – liczba dni trwania lokaty r [ % ] – stopa procentowa 14

Przykład : Oblicz kapitał początkowy w kapitalizacji prostej jeżeli po 4 latach posiadamy na koncie kwotę jeżeli po 4 latach posiadamy na koncie kwotę [ zł ] przy niezmiennej rocznej stopie [ zł ] przy niezmiennej rocznej stopie procentowej wynoszącej 4,5 %. procentowej wynoszącej 4,5 %. K o = ? [ zł ] K d = [ zł ] d = 4 lata = 1440 [ dni ] r = 4,5 [ % ] 15

Stopa procentowa r K d – kapitał końcowy po d dniach kapitalizacji prostej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) d – liczba dni trwania lokaty r [ % ] – stopa procentowa 16

Przykład : Kapitał końcowy kapitalizacji prostej od wkładu złożonego w banku w wysokości [ zł ] na okres złożonego w banku w wysokości [ zł ] na okres 5 lat został podwojony. Oblicz roczną stopę 5 lat został podwojony. Oblicz roczną stopę procentowa ? procentowa ? r = ? [ % ] K d = 2. K o = [ zł ] K o = [ zł ] d = 5 lat = 1800 [ dni ] 17

Liczba dni trwania lokaty d K d – kapitał końcowy po d dniach kapitalizacji prostej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) d – liczba dni trwania lokaty r [ % ] – stopa procentowa 18

Przykład : Oblicz liczbę dni trwania lokaty w kapitalizacji prostej od wkładu w wysokości [ zł ] jeżeli prostej od wkładu w wysokości [ zł ] jeżeli kapitał końcowy wyniósł [ zł ] przy rocznej kapitał końcowy wyniósł [ zł ] przy rocznej stopie procentowej 6 %. stopie procentowej 6 %. d = ? [ dni ] K d = [ zł ] K o = [ zł ] r = 6 [ % ] 19

Odsetki przy kapitalizacji prostej Z K d – kapitał końcowy po d dniach kapitalizacji prostej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) d – liczba dni trwania lokaty r [ % ] – stopa procentowa 20

Przykład : Oblicz kwotę odsetek w kapitalizacji prostej od wkładu złożonego w banku w wysokości [ zł ] wkładu złożonego w banku w wysokości [ zł ] na okres trzech kwartałów jeżeli roczna stopa na okres trzech kwartałów jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6 %. procentowa wynosi 6 %. Z = ? [ zł ] K o = [ zł ] d = 3 [ kwartały ] = 270 [ dni ] r = 6 [ % ] 21

Kapitalizacja złożona Kapitalizacja złożona to sposób oprocentowania kapitału polegający na tym, że odsetki od kapitału za dany okres są doliczane do kapitału i biorą udział wraz z kapitałem w oprocentowaniu w następnym okresie. 22

Podstawowe zależności Kapitał końcowy kapitalizacji złożonej z dołu K k / m Kapitał końcowy kapitalizacji złożonej z dołu K k / m K k / m – kapitał końcowy po n okresach kapitalizacji złożonej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) k – liczba podokresów w okresie kapitalizacji złożonej k = m. n m – liczba podokresów w jednym okresie stopy procentowej n – liczba okresów stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 23

Przykład : Oblicz kapitał końcowy kapitalizacji złożonej z dołu od wkładu w kwocie 10 tys. [ zł ] za okres trzech od wkładu w kwocie 10 tys. [ zł ] za okres trzech kwartałów. Roczna stopa procentowa wynosi 10 %. kwartałów. Roczna stopa procentowa wynosi 10 %. K k / m = ? [ zł ] K o = [ zł ] n = 3 / 4 okresu rocznej stopy procentowej m = 4 – kapitalizacja kwartalna k = m. n = 3 r = 10 [ % ] 24

Kapitał początkowy kapitalizacji złożonej z dołu K o Kapitał początkowy kapitalizacji złożonej z dołu K o K k / m – kapitał końcowy po n okresach kapitalizacji złożonej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) k – liczba podokresów w okresie kapitalizacji złożonej k = m. n m – liczba podokresów w jednym okresie stopy procentowej n – liczba okresów stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 25

Przykład : Oblicz kapitał początkowy w kapitalizacji złożonej z dołu, jeżeli po 5 miesiącach mamy na lokacie z dołu, jeżeli po 5 miesiącach mamy na lokacie [ zł ], a roczna stopa procentowa wynosi 4 % [ zł ], a roczna stopa procentowa wynosi 4 %. K o = ? [ zł ] K k / m = [ zł ] n = 5 / 12 okresu rocznej stopy procentowej m = 12 – kapitalizacja miesięczna k = m. n = 5 r = 4 [ % ] 26

K k / m – kapitał końcowy po n okresach kapitalizacji złożonej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) k – liczba podokresów w okresie kapitalizacji złożonej k = m. n m – liczba podokresów w jednym okresie stopy procentowej n – liczba okresów stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa Liczba okresów stopy procentowej złożonej z dołu n 27

Przykład : Oblicz liczbę okresów stopy procentowej miesięcznej kapitalizacji złożonej z dołu, jeżeli kapitał kapitalizacji złożonej z dołu, jeżeli kapitał początkowy został podwojony przy rocznej stopie początkowy został podwojony przy rocznej stopie procentowej wynoszącej 4 %. procentowej wynoszącej 4 %. n = ?, K o = x [ zł ], K k / m = 2. x [ zł ] m = 12 – kapitalizacja miesięczna, r = 4 [ % ] 28

Stopa procentowa kapitalizacji złożonej z dołu r K k / m – kapitał końcowy po n okresach kapitalizacji złożonej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) k – liczba podokresów w okresie kapitalizacji złożonej k = m. n m – liczba podokresów w jednym okresie stopy procentowej n – liczba okresów stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 29

Przykład : Ile wynosi roczna stopa procentowa dla półrocznej kapitalizacji złożonej z dołu, jeżeli kapitał początkowy kapitalizacji złożonej z dołu, jeżeli kapitał początkowy został podwojony po 5 latach? został podwojony po 5 latach? r = ? [ % ] m = 2 – kapitalizacja półroczna, n = 5 k = m. n = 10, K k / m = 2 K o [ zł ] 30

Suma odsetek w kapitalizacji złożonej z dołu Σ Z K k / m – kapitał końcowy po n okresach kapitalizacji złożonej K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) k – liczba podokresów w okresie kapitalizacji złożonej m – liczba podokresów w jednym okresie stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 31

Przykład : Oblicz sumę odsetek po trzech latach oszczędzania, jeżeli kapitał początkowy wynosił [ zł ] dla jeżeli kapitał początkowy wynosił [ zł ] dla kwartalnej kapitalizacji złożonej oraz rocznej stopie kwartalnej kapitalizacji złożonej oraz rocznej stopie procentowej wynoszącej 5 % ? procentowej wynoszącej 5 % ? Σ Z = ? [ zł ], n = 3 K o = [ zł ], r = 5 [ % ] m = 4 – kapitalizacja kwartalna, k = m. n = 12 32

Kapitalizacja ciągła Kapitalizacja ciągła jest granicznym przypadkiem kapitalizacji złożonej niezgodnej, w przypadku gdy ilość podokresów m kapitalizacji odsetek w n okresach stopy procentowej zmierza do nieskończoności. 33

Podstawowe zależności Kapitał końcowy kapitalizacji ciągłej K ( t ) K ( t ) – kapitał końcowy po upływie czasu t K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) e – podstawa logarytmu naturalnego, e ≈ 2,7183 t – czas mierzony okresami stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 34

Przykład : Oblicz wartość końcową od kapitału [ zł ] po 10 latach w kapitalizacji ciągłej oraz rocznej po 10 latach w kapitalizacji ciągłej oraz rocznej stopie procentowej 8 % ? stopie procentowej 8 % ? K ( t ) = ? [ zł ] K o = [ zł ] t = 10 [ lat ] r = 8 [ % ] 35

Kapitał początkowy kapitalizacji ciągłej K o K ( t ) – kapitał końcowy po upływie czasu t K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) e – podstawa logarytmu naturalnego, e ≈ 2,7183 t – czas mierzony okresami stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 36

Przykład : Jaką kwotę należy wpłacić do banku w kapitalizacji ciągłej aby po 5 latach uzyskać minimum [ zł ] ciągłej aby po 5 latach uzyskać minimum [ zł ] przy rocznej stopie procentowej 6 % ? przy rocznej stopie procentowej 6 % ? K o = ? [ zł ] K ( t ) = [ zł ] t = 5 [ lat ] r = 6 [ % ] 37

Stopa procentowa r K ( t ) – kapitał końcowy po upływie czasu t K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) e – podstawa logarytmu naturalnego, e ≈ 2,7183 t – czas mierzony okresami stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 38

Przykład : Oblicz roczną stopę procentową w kapitalizacji ciągłej jeżeli po 8 latach z kwoty [ zł ] uzyskano ciągłej jeżeli po 8 latach z kwoty [ zł ] uzyskano kwotę [ zł ] ? kwotę [ zł ] ? r = ? [ % ] K o = [ zł ] K ( t ) = [ zł ] t = 8 [ lat ] 39

Czas mierzony okresami stopy procentowej t K ( t ) – kapitał końcowy po upływie czasu t K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) e – podstawa logarytmu naturalnego, e ≈ 2,7183 t – czas mierzony okresami stopy procentowej [ cmosp ] r [ % ] – stopa procentowa 40

Przykład : Na ile lat w kapitalizacji ciągłej należy ulokować kwoty [ zł ] aby uzyskać kwotę [ zł ] kwoty [ zł ] aby uzyskać kwotę [ zł ] przy rocznej stopie procentowej wynoszącej 4 % ? przy rocznej stopie procentowej wynoszącej 4 % ? t = ? lat r = 4 [ % ] K o = [ zł ] K ( t ) = [ zł ] 41

Suma odsetek w kapitalizacji ciągłej K ( t ) – kapitał końcowy po upływie czasu t K o – kapitał początkowy ( wysokość wkładu pieniężnego złożonego do banku ) złożonego do banku ) e – podstawa logarytmu naturalnego, e ≈ 2,7183 t – czas mierzony okresami stopy procentowej r [ % ] – stopa procentowa 42

Przykład : Oblicz sumę odsetek w kapitalizacji ciągłej należnych po trzech latach od kwoty [ zł ] przy rocznej po trzech latach od kwoty [ zł ] przy rocznej stopie procentowej wynoszącej 4 % ? stopie procentowej wynoszącej 4 % ? ∑ Z = ? [ zł ] t = 3 [ lata ] r = 4 [ % ] K o = [ zł ] 43

. 44

45