Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

PTS 2015 1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "PTS 2015 1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna."— Zapis prezentacji:

1 PTS 2015 1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna aplikacja (FFT) –Przykład zastosowania Transformacja Fouriera

2 PTS 2015 2 Dyskretny szereg Fouriera Wyprowadzenie DFS gdzie oraz.

3 PTS 2015 3 Dyskretny szereg Fouriera cd. Podzielmy okres T na N równych podprzedziałów:

4 PTS 2015 4 Dyskretny szereg Fouriera cd. Oznaczając: Powyższe równanie daje możliwość obliczenia próbki (dyskretnej wartości) funkcji f(t) dla,

5 PTS 2015 5 Dyskretny szereg Fouriera cd. Biorąc pod uwagę, że dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi: i wprowadzając tzw. współczynniki aliasingowe:

6 PTS 2015 6 Dyskretny szereg Fouriera cd Otrzymamy równanie:

7 PTS 2015 7 Równanie: stanowi okresowy szereg Fouriera funkcji f(t) w dyskretnych chwilach czasu, a współczynniki aliasingowe (nałożeniowe) określone są wzorem:

8 PTS 2015 8 Przykład Wyznaczyć dyskretny szereg Fouriera funkcji podanej na rysunku (N=4): Dyskretny szereg Fouriera cd

9 PTS 2015 9 Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: Dyskretny szereg Fouriera cd otrzymujemy gdzie.

10 PTS 2015 10. Czyli ostatecznie: Dla n=0, 1, 2, 3, mamy:

11 PTS 2015 11 Dyskretna Transformata Fouriera DEFINICJA Dany jest ciąg o N liczbach rzeczywistych lub zespolonych. Dyskretną transformatą Fouriera ciągu jest ciąg o N liczbach określony równaniem

12 PTS 2015 12 Transformata odwrotna: UWAGA: Ciąg nie musi być okresowy a jego elementy mogą być liczbami zespolonymi

13 PTS 2015 13 Przykład obliczania DFT Dany jest ciąg wyznaczyć jego transformatę DFT

14 PTS 2015 14 Z wzoru definicyjnego : dla N=4

15 PTS 2015 15 Skąd ostatecznie

16 PTS 2015 16

17 PTS 2015 17 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT)

18 PTS 2015 18 Szkic uzasadnienia

19 PTS 2015 19 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (2) Przesunięcie

20 PTS 2015 20 Uzasadnienie prawdziwości właściwości transformaty DFT Przesunięcie

21 PTS 2015 21 Cd uzasadnienia:

22 PTS 2015 22 Przykład (przesunięcie)

23 PTS 2015 23 Przykład (przesunięcie) cd

24 PTS 2015 24 Przykład (przesunięcie) cd

25 PTS 2015 25 Przykład (przesunięcie) cd

26 PTS 2015 26 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (3) Splot okresowy

27 PTS 2015 27 Przykład 1

28 PTS 2015 28 Przykład 1 (cd) odbicie

29 PTS 2015 29 Przykład 1 (cd)

30 PTS 2015 30 Dla analogicznie

31 PTS 2015 31 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (4)

32 PTS 2015 32 Szkic dowodu

33 PTS 2015 33 Przykład 2

34 PTS 2015 34 Obliczenia transformaty pierwszego sygnału

35 PTS 2015 35 Obliczenia transformaty drugiego sygnału

36 PTS 2015 36 Obliczenia transformaty drugiego sygnału

37 PTS 2015 37 Sprawdzenie metodą klasyczną

38 PTS 2015 38 Porównanie DFS i DFT

39 PTS 2015 39 Porównanie DFS i DFT (2)

40 PTS 2015 40

41 PTS 2015 41 Algorytm FFT  wstęp “koszt” znalezienia dla ustalonej wartości n, wynosi: mnożeń sumowań. Stosując wzór:

42 PTS 2015 42 Dla n od 0 do N-1 potrzeba (N-1) 2 mnożeń i N(N-1) dodawań Czyli przykładowo, dla N=2 12 potrzeba 16769025 mnożeń Proponowana w tej części wykładu “szybka” procedura zwana FFT (STF) zapewnia redukcję mnożeń z poprzedniego przykładu do 24576.

43 PTS 2015 43 Szkic algorytmu DFT ciągu 2-elementowego gdzie.

44 PTS 2015 44 W tej transformacie wymagane jest jedynie jedno mnożenie: przez.

45 PTS 2015 45.

46 PTS 2015 46.

47 PTS 2015 47 Podane podejście uogólnić można na N-punktowy algorytm pozwalający na znaczne przyspieszenie obliczeń. Dla użycie FFT daje 223 razy mniej mnożeń niż standardowe DFT. Niestety, algorytm wymaga określonej liczby próbek funkcji dyskretnej  2 n

48 PTS 2015 48 Zastosowanie DFT (FFT) Wyznaczanie widma okresowych funkcji analogowych

49 PTS 2015 49 Przykład DFT Chcemy spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: i wyznaczyć 8-punktową DFT 135 o

50 PTS 2015 50 ms

51 PTS 2015 51 Przykład DFT cd Szybkość próbkowania: Liczba próbek N=8 8-elementowy ciąg x(n) jest równy x in (nt s ):

52 PTS 2015 52 Przykład DFT cd Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości, w których wyznaczane są prążki DFT (widmo a-f transformaty), są określane jako: Czyli dla wybranej częstotliwości f s = 8000 próbek/s wyniki DFT określają składowe sygnału x(n) w punktach osi częstotliwości:

53 PTS 2015 53 Rezultaty DFT dla N=8:

54 PTS 2015 54 Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)

55 PTS 2015 55 Widmo fazowe x(n)

56 PTS 2015 56 Wnioski dla DFT funkcji x(n) przy całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek. –Aby otrzymać widmo amplitudowe funkcji x in (n) z widma transformaty DFT należy uwzględnić, że: –Wartości DFT dla m>=N/2 są nadmiarowe (uwzględniamy m=0,1,2,3,4) –Widmo fazowe podlega twierdzeniu o przesunięciu (w naszym przypadku nie trzeba go stosować)

57 PTS 2015 57 ms

58 PTS 2015 58 widmo przebiegu x(n) ze składową stałą widmo przebiegu x(n) ze składową stałą

59 PTS 2015 59 Co to jest „przeciek widma”? Co to jest „przeciek widma”? Chcemy ponownie spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: i wyznaczyć 8-punktową DFT przy szybkości próbkowania i N=8:

60 PTS 2015 60

61 PTS 2015 61 Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)

62 PTS 2015 62 Widmo fazowe okresowego przebiegu x(n)

63 PTS 2015 63 Co to jest “przeciek” DFT DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące =>jedynie kiedy próbkowany przedział (N próbek) stanowi wielokrotność okresu badanego przebiegu nie ma problemu Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej (np.1.5f s /N) to ta składowa sygnału ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT

64 PTS 2015 64 Podstawy transformacji Fouriera Sygnał x(t)

65 PTS 2015 65 Ponieważ x(t) nie jest sygnałem okresowym, nie może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Jednakże, metoda szeregu Fouriera może być zastosowana do przedstawienia x(t) w dowolnym przedziale: W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z dla każdego t należącego do.

66 PTS 2015 66 gdzie

67 PTS 2015 67 Oznaczmy: otrzymamy

68 PTS 2015 68 Dla

69 PTS 2015 69 Wyznaczamy ze wzoru:

70 PTS 2015 70 stanowią parę przekształceń Fouriera. to transformata Fourier funkcji czasu jest odwrotną transformatą Fouriera nazywana jest całką Fouriera

71 PTS 2015 71 Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Fouriera musi być bezwzględnie całkowalna W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów ekstremalnych. W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym z tych punktów owe nieciągłości mają wartości skończone.

72 PTS 2015 72

73 PTS 2015 73 Przykład Przykładowy impuls prostokątny

74 PTS 2015 74

75 PTS 2015 75

76 PTS 2015 76 Wyjaśnienie istoty transformacji Fouriera:

77 PTS 2015 77 Wniosek: Modułstanowi obwiednię dla Transformata Fouriera pojedynczego impulsu prostokątnego

78 PTS 2015 78 Modułstanowi obwiednię dla

79 PTS 2015 79

80 PTS 2015 80

81 PTS 2015 81

82 PTS 2015 82 W konsekwencji, dyskretne widmo łąńcucha impulsów prostokątnych staje się ciągłym widmem określonym obwiednią czyli Współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera spełniają zależność Podczas gdy transformata Fouriera poj. prostokąta wyraża się zależnością Ciągłe widmo amplitudowe, ciągłe widmo fazowe, nieokresowego sygnału x(t)

83 PTS 2015 83 Niektóre właściwości przekształcenia Fouriera Liniowość Transformata sumy: Jest postaci: Skalowanie

84 PTS 2015 84 Widmo amplitudowe jest parzyste a fazowe nieparzyste: Przesunięcie w dziedzinie czasu to Jeśli: Wniosek: WIDMO AMPLITUDOWE NIE ULEGA ZMIANIE natomiast fazowe jest przesunięte o

85 PTS 2015 85 Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości: Transformata pochodnej: Splot Twierdzenie o splocie

86 PTS 2015 86

87 PTS 2015 87 To samo graficznie:

88 PTS 2015 88 Transformaty Fouriera wybranych sygnałów: impuls jednostkowy (Diraca). impuls przesunięty:

89 PTS 2015 89 lub Czyli

90 PTS 2015 90 Transformata Fouriera funkcji Ponieważ:

91 PTS 2015 91 Transformata Fouriera funkcji cosinus

92 PTS 2015 92 Transformata Fouriera funkcji Ponieważ:

93 PTS 2015 93 Transformata Fouriera funkcji sinus

94 PTS 2015 94 Szybka transformacja Fouriera (FFT) uzasadnienie schematu

95 PTS 2015 95 DFT dwupunktowa

96 PTS 2015 96 Graficzna interpretacja

97 PTS 2015 97 (e) (f) (g) (h)

98 PTS 2015 98 Uwzględniając relacje (i): Przedstawiamy współczynniki DFT w funkcji w 2 oraz w 4

99 PTS 2015 99 (l) (m) (k) (j)

100 PTS 2015 100 (n) (o)

101 PTS 2015 101 (p) (r) (s) (t)

102 PTS 2015 102 (u) (v) (w) (x)

103 PTS 2015 103 Graf motylkowy dla N=4

104 PTS 2015 104 N=8

105 PTS 2015 105 (a) (b) (c) (d)


Pobierz ppt "PTS 2015 1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna."

Podobne prezentacje


Reklamy Google