Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

PTS 2015 1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "PTS 2015 1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna."— Zapis prezentacji:

1 PTS Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna aplikacja (FFT) –Przykład zastosowania Transformacja Fouriera

2 PTS Dyskretny szereg Fouriera Wyprowadzenie DFS gdzie oraz.

3 PTS Dyskretny szereg Fouriera cd. Podzielmy okres T na N równych podprzedziałów:

4 PTS Dyskretny szereg Fouriera cd. Oznaczając: Powyższe równanie daje możliwość obliczenia próbki (dyskretnej wartości) funkcji f(t) dla,

5 PTS Dyskretny szereg Fouriera cd. Biorąc pod uwagę, że dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi: i wprowadzając tzw. współczynniki aliasingowe:

6 PTS Dyskretny szereg Fouriera cd Otrzymamy równanie:

7 PTS Równanie: stanowi okresowy szereg Fouriera funkcji f(t) w dyskretnych chwilach czasu, a współczynniki aliasingowe (nałożeniowe) określone są wzorem:

8 PTS Przykład Wyznaczyć dyskretny szereg Fouriera funkcji podanej na rysunku (N=4): Dyskretny szereg Fouriera cd

9 PTS Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: Dyskretny szereg Fouriera cd otrzymujemy gdzie.

10 PTS Czyli ostatecznie: Dla n=0, 1, 2, 3, mamy:

11 PTS Dyskretna Transformata Fouriera DEFINICJA Dany jest ciąg o N liczbach rzeczywistych lub zespolonych. Dyskretną transformatą Fouriera ciągu jest ciąg o N liczbach określony równaniem

12 PTS Transformata odwrotna: UWAGA: Ciąg nie musi być okresowy a jego elementy mogą być liczbami zespolonymi

13 PTS Przykład obliczania DFT Dany jest ciąg wyznaczyć jego transformatę DFT

14 PTS Z wzoru definicyjnego : dla N=4

15 PTS Skąd ostatecznie

16 PTS

17 PTS Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT)

18 PTS Szkic uzasadnienia

19 PTS Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (2) Przesunięcie

20 PTS Uzasadnienie prawdziwości właściwości transformaty DFT Przesunięcie

21 PTS Cd uzasadnienia:

22 PTS Przykład (przesunięcie)

23 PTS Przykład (przesunięcie) cd

24 PTS Przykład (przesunięcie) cd

25 PTS Przykład (przesunięcie) cd

26 PTS Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (3) Splot okresowy

27 PTS Przykład 1

28 PTS Przykład 1 (cd) odbicie

29 PTS Przykład 1 (cd)

30 PTS Dla analogicznie

31 PTS Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (4)

32 PTS Szkic dowodu

33 PTS Przykład 2

34 PTS Obliczenia transformaty pierwszego sygnału

35 PTS Obliczenia transformaty drugiego sygnału

36 PTS Obliczenia transformaty drugiego sygnału

37 PTS Sprawdzenie metodą klasyczną

38 PTS Porównanie DFS i DFT

39 PTS Porównanie DFS i DFT (2)

40 PTS

41 PTS Algorytm FFT  wstęp “koszt” znalezienia dla ustalonej wartości n, wynosi: mnożeń sumowań. Stosując wzór:

42 PTS Dla n od 0 do N-1 potrzeba (N-1) 2 mnożeń i N(N-1) dodawań Czyli przykładowo, dla N=2 12 potrzeba mnożeń Proponowana w tej części wykładu “szybka” procedura zwana FFT (STF) zapewnia redukcję mnożeń z poprzedniego przykładu do

43 PTS Szkic algorytmu DFT ciągu 2-elementowego gdzie.

44 PTS W tej transformacie wymagane jest jedynie jedno mnożenie: przez.

45 PTS

46 PTS

47 PTS Podane podejście uogólnić można na N-punktowy algorytm pozwalający na znaczne przyspieszenie obliczeń. Dla użycie FFT daje 223 razy mniej mnożeń niż standardowe DFT. Niestety, algorytm wymaga określonej liczby próbek funkcji dyskretnej  2 n

48 PTS Zastosowanie DFT (FFT) Wyznaczanie widma okresowych funkcji analogowych

49 PTS Przykład DFT Chcemy spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: i wyznaczyć 8-punktową DFT 135 o

50 PTS ms

51 PTS Przykład DFT cd Szybkość próbkowania: Liczba próbek N=8 8-elementowy ciąg x(n) jest równy x in (nt s ):

52 PTS Przykład DFT cd Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości, w których wyznaczane są prążki DFT (widmo a-f transformaty), są określane jako: Czyli dla wybranej częstotliwości f s = 8000 próbek/s wyniki DFT określają składowe sygnału x(n) w punktach osi częstotliwości:

53 PTS Rezultaty DFT dla N=8:

54 PTS Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)

55 PTS Widmo fazowe x(n)

56 PTS Wnioski dla DFT funkcji x(n) przy całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek. –Aby otrzymać widmo amplitudowe funkcji x in (n) z widma transformaty DFT należy uwzględnić, że: –Wartości DFT dla m>=N/2 są nadmiarowe (uwzględniamy m=0,1,2,3,4) –Widmo fazowe podlega twierdzeniu o przesunięciu (w naszym przypadku nie trzeba go stosować)

57 PTS ms

58 PTS widmo przebiegu x(n) ze składową stałą widmo przebiegu x(n) ze składową stałą

59 PTS Co to jest „przeciek widma”? Co to jest „przeciek widma”? Chcemy ponownie spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: i wyznaczyć 8-punktową DFT przy szybkości próbkowania i N=8:

60 PTS

61 PTS Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)

62 PTS Widmo fazowe okresowego przebiegu x(n)

63 PTS Co to jest “przeciek” DFT DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące =>jedynie kiedy próbkowany przedział (N próbek) stanowi wielokrotność okresu badanego przebiegu nie ma problemu Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej (np.1.5f s /N) to ta składowa sygnału ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT

64 PTS Podstawy transformacji Fouriera Sygnał x(t)

65 PTS Ponieważ x(t) nie jest sygnałem okresowym, nie może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Jednakże, metoda szeregu Fouriera może być zastosowana do przedstawienia x(t) w dowolnym przedziale: W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z dla każdego t należącego do.

66 PTS gdzie

67 PTS Oznaczmy: otrzymamy

68 PTS Dla

69 PTS Wyznaczamy ze wzoru:

70 PTS stanowią parę przekształceń Fouriera. to transformata Fourier funkcji czasu jest odwrotną transformatą Fouriera nazywana jest całką Fouriera

71 PTS Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Fouriera musi być bezwzględnie całkowalna W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów ekstremalnych. W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym z tych punktów owe nieciągłości mają wartości skończone.

72 PTS

73 PTS Przykład Przykładowy impuls prostokątny

74 PTS

75 PTS

76 PTS Wyjaśnienie istoty transformacji Fouriera:

77 PTS Wniosek: Modułstanowi obwiednię dla Transformata Fouriera pojedynczego impulsu prostokątnego

78 PTS Modułstanowi obwiednię dla

79 PTS

80 PTS

81 PTS

82 PTS W konsekwencji, dyskretne widmo łąńcucha impulsów prostokątnych staje się ciągłym widmem określonym obwiednią czyli Współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera spełniają zależność Podczas gdy transformata Fouriera poj. prostokąta wyraża się zależnością Ciągłe widmo amplitudowe, ciągłe widmo fazowe, nieokresowego sygnału x(t)

83 PTS Niektóre właściwości przekształcenia Fouriera Liniowość Transformata sumy: Jest postaci: Skalowanie

84 PTS Widmo amplitudowe jest parzyste a fazowe nieparzyste: Przesunięcie w dziedzinie czasu to Jeśli: Wniosek: WIDMO AMPLITUDOWE NIE ULEGA ZMIANIE natomiast fazowe jest przesunięte o

85 PTS Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości: Transformata pochodnej: Splot Twierdzenie o splocie

86 PTS

87 PTS To samo graficznie:

88 PTS Transformaty Fouriera wybranych sygnałów: impuls jednostkowy (Diraca). impuls przesunięty:

89 PTS lub Czyli

90 PTS Transformata Fouriera funkcji Ponieważ:

91 PTS Transformata Fouriera funkcji cosinus

92 PTS Transformata Fouriera funkcji Ponieważ:

93 PTS Transformata Fouriera funkcji sinus

94 PTS Szybka transformacja Fouriera (FFT) uzasadnienie schematu

95 PTS DFT dwupunktowa

96 PTS Graficzna interpretacja

97 PTS (e) (f) (g) (h)

98 PTS Uwzględniając relacje (i): Przedstawiamy współczynniki DFT w funkcji w 2 oraz w 4

99 PTS (l) (m) (k) (j)

100 PTS (n) (o)

101 PTS (p) (r) (s) (t)

102 PTS (u) (v) (w) (x)

103 PTS Graf motylkowy dla N=4

104 PTS N=8

105 PTS (a) (b) (c) (d)


Pobierz ppt "PTS 2015 1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna."

Podobne prezentacje


Reklamy Google