Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006. Właściwości transformaty Fouriera Transformata Fouriera Odwrotna transformata Fouriera Stosujemy oznaczenie.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006. Właściwości transformaty Fouriera Transformata Fouriera Odwrotna transformata Fouriera Stosujemy oznaczenie."— Zapis prezentacji:

1 sprawdziany:

2 Właściwości transformaty Fouriera Transformata Fouriera Odwrotna transformata Fouriera Stosujemy oznaczenie symboliczne:

3 1. Liniowość (superpozycja) Jeżeli, to Przykłady Kombinacja impulsów wykładniczych a>0

4 Rozkładamy na dwie funkcje i

5 Tansformata Fouriera funkcji u 1 (t) jest: a transformata funkcji u 2 (t) jest Zgodnie z zasadą superpozycji transformata sygnału u(t)=u 1 (t)+u 2 (t) jest Widmo amplitudowe sygnału u(t) przedstawia wykres:

6 Wykres amplitudy jest symetryczny względem osi rzędnych, a charaktrystyka fazowa jest niezależna od częstotliwości. Generalnie transformata rzeczywistej funkcji parzystej jest funkcją rzeczywistą parzystą.

7 Rozpatrzmy funkcję: u(t) gdzie a>0 Wprowadzając funkcję:

8 możemy zapisać: u(t)=exp(-a|t|)sign(t), a rozkładając na dwie funkcje:

9 i mamy: u(t)=u 1 (t)- u 2 (t), a z liniowości transformaty wynika: Transformata Fouriera nieparzystej funkcji rzeczywistej jest funkcją czysto urojoną. Jest to generalna własność transformaty.

10 Charakterystyka amplitudowa |U( )| Charakterystyka fazowa

11 Zmiana skali czasu Niech wtedy: Podstawiając at=x mamy adt=dx czyli dt=dx/a i dla a>0 mamy:

12 dla a<0 mamy: łącząc obie równości mamy: Przykład

13

14 ostatecznie: u(t)

15 Widmo amplitudowe U( ) Rzeczywiste, faza wynosi 0

16 Zmiana skali czasu a=4 ściśnięcie a=0.5 rozciągnięcie

17 Widmo amplitudy U(,a=1) U(,a=4) U(,a=0.5) a=4 w czasie ściśnięcie w częstotliwości rozciągnięcie a=0.5 w czasie rozciągnięcie w częstotliwości ściśnięcie

18 Warto również wykorzystać własność zmiany kierunku skali: dla a=-1 mamy u(-t)=U(-f) Dualizm Jeśli, to Dowód wynika z przekształcenia odwrotnego: zmieniając rolami t i mamy:

19 Przykład Wprowadzamy funkcję: Transformata funkcji: t rect(t) -TT A/(2T) i mamy:

20 Przesunięcie w czasie Jeżeli, to Dowód: ostatecznie:

21 Widmo amplitudowe funkcji u(t) jest |U( )| Dla funkcji u(t-t 0 ) e -j t 0 U( ) widmo amplitudowe będzie |U( )| gdyż |e -j t 0 |=1. Natomiast widmo fazowe ulega przesunięciu o - t 0. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości Jeżeli u(t)U( ), to exp(j 0 t)u(t)U( - 0 ), 0 – liczba rzeczywista.

22 Podstawiając - 0 =x d =dx mamy: ostatecznie: czyli Własność tę nazywamy twierdzeniem o modulacji. Paczka sinusoidalna o częstotliwości radiowej i obwiedni prostokątnej

23 Przykład Impuls RF - radio frequency pulse u(t) E=1

24 i korzystając z przesunięcia mamy:

25 - c c

26 Pole ograniczone przez oś odciętych i funkcję u(t) Jeżeli u(t)U( ), to Pole ograniczone przez oś odciętych i funkcję U( ) bo i

27 Różniczkowanie w dziedzinie czasu Ponieważ: i ale i ostatecznie

28 ogólnie mamy: Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości: bo

29 Impuls Gaussa Niech i jeżeli u(t)U( ), to na mocy: i mamy:czyli czyli u(t) i U( ) są identyczne, jeżeli wymienić t i. Rozwiązując równanie mamy:

30 a transformatę impulsu Gaussa: w dziedzinie częstotliwości otrzymujemy zastępując t przez, czyli

31 Całkowanie w dziedzinie czasu Jeżeli u(t)U( ) i U(0)=0, to Przykład: -T T u(t) A -A tt -T AT T

32 ale i ostatecznie

33 Funkcje sprzężone Jeżeli u(t)U( ), to dla zespolonej funkcji czasu zachodzi u * (t)U * (- ). Dowód wynika z równania: ia następnie podstawiamy: =- oraz d =-d i mamy:

34 Jeżeli u(t)U( ), to dla zespolonej funkcji czasu zachodzi u * (-t)U * ( ). i wniosek: Przykład: Część rzeczywista i część urojona funkcji czasu. Niech u(t)=u r (t)+ju i (t) funkcja sprzężona do funkcji u(t) jest u * (t)= u r (t)-ju i (t) Dodając stronami mamy część rzeczywistą funkcji u(t) u r (t)=0.5[u(t)+u * (t)]

35 a część urojona odejmując stronami: u i (t)=0.5j[u * (t)-u(t)] Biorąc pod uwagę, że u*(t)U*(- ) mamy transformaty części rzeczywistej: u r (t)0.5[U( )+U * (- )] i dla części urojonej: u i (t)0.5j[U*(- )-U( )] Jeżeli u(t) jest funkcją rzeczywistą, to u i (t)=0, czyli U( )=U * (- ) czyli transformata Fouriera funkcji u(t) jest dla ujemnych częstotliwości funkcją sprzężoną.

36 Mnożenie w dziedzinie czasu Dane są u 1 (t)U 1 ( ) i u 2 (t)U 2 ( ). Obliczyć transformatę U 12 ( )u 1 (t)u 2 (t) ale podstawiając mamy:

37 Podstawiając: mamy: Zmieniając kolejność całkowania mamy: ale i ostatecznie:

38 co oznacza, że funkcję U 12 ( ) możemy obliczyć znając transformaty U 1 ( ) i U 2 ( ). Całkę: nazywamy całką splotową i symbolicznie zapisujemy U 1 ( )*U 2 ( ). Splot jest przemienny czyli Możemy zapisać symbolicznie transformatę iloczynu

39 Mnożenie w dziedzinie częstotliwości Wiemy, że u 1 (t)U 1 ( ) i u 2 (t)U 2 ( ). Obliczyć transformatę odwrotną U 1 ( ) U 2 ( ) Mamy: ale czyli

40 Podstawiając: t-ξ=τ i dξ=-dτ mamy: a zmieniając kolejność całkowania i biorąc pod uwagę, że mamy: Jest to twierdzenie o splocie

41 Całkowita energia sygnału jest zdefiniowana jako Wielkość |u(t)| 2 nazywamy gęstością energii Zakładając ogólnie że sygnał u(t) jest zespolony możemy zapisać: |u(t)| 2 =u(t)u * (t) Zakładając, że istnieje transformata czyli u(t)U( ) i korzystając z faktu, że u*(t)U*(- ) na mocy twierdzenia o transformacie iloczynu funkcji w dziedzinie czasu mamy:

42 Chcemy obliczyć skorzystamy z faktu, że czyli co stanowi treść tzw. energetycznego twierdzenia Rayleigha Wielkość E =|U( )| 2 – nazywamy widmową gęstością energii.

43 Odwrotna proporcjonalność czasu i częstotliwości. Zachodzi zmiana skali: 1.Jeżeli zmienimy skalę opisu czasowego, to opis w dziedzinie częstotliwości zmienia się odwrotnie

44 u(t) u(4t) u(0.5t)

45 Widmo amplitudy a=4 w czasie ściśnięcie w częstotliwości rozciągnięcie a=0.5 w czasie rozciągnięcie w częstotliwości ściśnięcie U(,a=1) U(,a=4) U(,a=0.5)

46 2. Jeżeli sygnał jest ściśle ograniczony u(t)

47 to jego widmo jest nieograniczone Widmo amplitudowe U( ) chociaż może być malejące.

48 i odwrotnie jeżeli widmo jest ograniczone, to czas trwania sygnału jest nieograniczony chociaż może maleć do zera. Generalnie Sygnał nie może być równocześnie ograniczony i w czasie i w częstotliwości Pasmo (bandwith) Pasmo stanowi miarę miarę ilościowego przedstawienia zawartości istotnych składowych widma dla dodatnich częstotliwości.

49 Niestety jest to definicja nieprecyzyjna i istnieją różne definicje bardziej precyzyjne Mówimy, że sygnał jest dolnopasmowy (low-pass), jeżeli znacząca część zawartości widmowej jest rozłożona w otoczeniu zera na osi częstotliwości. Sygnał nazywamy pasmowoprzepustowym (band-pass) jeżeli zawartość widma przypada w otoczeniu f c 0. Jeżeli widmo sygnału jest symetryczne z listkiem głównym, to można wykorzystać listek główny do zdefiniowania szerokości pasma.

50 U(f) f pasmo listkowe

51 Pasmo trzydecybelowe 3-dB Widmo dolnopasmowe p

52 Widmo pasmowoprzepustowe U( ) /2π – szerokość pasma 3-dB

53 Funkcja delta Diraca Oznaczenie: δ(t) Definicja: δ(t)=0 dla wszystkich t0 oraz Dla dowolnej funkcji u(t) mamy:

54 Transformata funkcji δ(t) czyli δ(t)1 t δ(t) u(t) U( ) 1

55 Na mocy dualizmu dla sygnału stałoprądowego mamy δ(t)1( ) czyli 1(t)2π δ(- ) 12πδ( ) Jeśli, to Z własności: Jeżeli u(t)U( ), to exp(j 0 t)u(t)U( - 0 ), 0 – liczba rzeczywista. wynika: exp(j 0 t)1(t)δ( - 0 ) czyli exp(j 0 t) δ( - 0 )

56 i możemy obliczyć transformatę funkcji cos cos( 0 t) 0 - 0

57 sin( 0 t) jU( ) 0 - 0


Pobierz ppt "Sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006. Właściwości transformaty Fouriera Transformata Fouriera Odwrotna transformata Fouriera Stosujemy oznaczenie."

Podobne prezentacje


Reklamy Google