Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych

Prezentacja na temat: "Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych"— Zapis prezentacji:

1 Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych
Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

2 Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

3 Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

4 Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu
Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

5 Cztery różne statusy zmiennych stanu:
- v1  można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v2  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v3  można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v4  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

6 Można wyróżnić cztery podsystemy:
- związany ze zmienną stanu v1  sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v2  niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v3  sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v4  niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

7 Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne
Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz

8 Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób:
Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

9 Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

10 Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor
Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

11 Macierze podsystemu sterowalnego
Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

12 Związki pomiędzy zmiennymi stanu
Wartość własna części niesterowalnej wynosi System jest stabilizowalny

13 Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne
Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz

14 Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób:
Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

15 Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

16 Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor
Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

17 Macierze podsystemu obserwowalnego
Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

18 Wartości własne systemu oryginalnego
Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny

19 Policzmy macierz tranzycji
Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Przykład 3. Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji Przyjmijmy zerowe warunki początkowe i skokowe wejście poza tym

20 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu
dla zerowych warunków początkowych

21 oraz odpowiedź wyjścia
dla zerowych warunków początkowych

22 Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

23 ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność
Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

24 Zbadajmy obserwowalność systemu
Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

25 Zmieńmy warunki początkowe
Wyjście systemu Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Takie samo jak dla zerowych w.p.

26 Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO i niech będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i są określone przez Następujące stwierdzenia są równoważne (i) są obserwowalne (ii)

27 Przykład 4. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

28 Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

29 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu
dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

30 Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na
Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

31 Odpowiedź wyjścia systemu
dla nowych warunków początkowych

32 Odpowiedź wyjścia systemu
Odpowiedź stanu systemu

33 Równania stanu Zbadajmy sterowalność systemu n=2 System jest niesterowalny

34 Przykład 5. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

35 Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank Mc = 2 – system jest sterowalny

36 Policzmy macierz tranzycji
Zadajmy wejście Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)

37 Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)
Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

38 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę