Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych."— Zapis prezentacji:

1 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych x, należącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych R n takiego, że dla Co jest równoznaczne zapisowi : Funkcja celu f(x) : Sformułowanie zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń:

2 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Minimum lokalne i globalne funkcji f(x) Punkt stanowi minimum lokalne funkcji f(x) w przestrzeni R n, jeżeli istnieje takie otwarte otoczenie punktu, że Przy czym jeśli zachodzi dla to istnieje wtedy ścisłe minimum lokalne. Punkt stanowi minimum globalne funkcji f(x) w przestrzeni R n, jeżeli Przy czym jeśli zachodzi dla to ten punkt stanowi ścisłe minimum globalne.

3 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zadanie programowania nieliniowego bez ograniczeń DEFINICJA. Kierunkiem d w przestrzeni R n nazywamy dowolny n-wymiarowy wektor kolumnowy. Niech będzie dany punkt oraz skalar Dowolny punktleżący na półprostej wychodzącej z punktu x w kierunku będzie wówczas określony zależnością LEMAT. Niechbędzie funkcją różniczkowalną w punkcie Załóżmy, że istnieje d, dla którego: Wówczas istnieje takie,że dla wszystkich zachodzi Dowód: wynika z własności różniczki Gateaux.

4 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zadanie programowania nieliniowego bez ograniczeń Twierdzenie. Niech będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli minimalizuje funkcję f(x)tzn. Dowód: nie wprost. Twierdzenie. Niech będzie funkcją wypukłą i różniczkowalną. Punkt stanowi minimum globalne funkcji dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Punkt jest nazywany punktem stacjonarnym. Jest to warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego f(x) w punkcie

5 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Minimum globalne funkcji f(x) Jeśli będzie funkcją ściśle wypukłą i różniczkowalną, to wektorspełniający warunek konieczny jest jedynym minimum globalnym funkcji f(x). Twierdzenie:

6 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Warunki wystarczające optymalizacji dla zadania bez ograniczeń Funkcja f(x) jest funkcją ciągłą i dwukrotnie różniczkowalną. Posiada macierz drugich pochodnych (hesjan) - A Macierz A posiada ciąg podwyznaczników głównych

7 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Warunki stacjonarności dla zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń cd. Twierdzenie: Założono, że jest punktem stacjonarnym funkcji f(x). Wówczas zachodzą poniższe zależności: 1.Jeśli hesjan A jest dodatnio określony tzn: to funkcja f(x) ma minimum lokalne w tym punkcie 2. Jeśli hesjan A jest ujemnie określony tzn: to funkcja f(x) ma maksimum lokalne w tym punkcie 3. Jeśli hesjan A jest pół-dodatnio określony tzn: bądź hesjan pół-ujemnie określony to nie można rozstrzygnąć o typie ekstremum funkcji f(x) w tym punkcie 4. Jeśli nie są spełnione warunki 1 i 2 z nieostrymi nierównościami (wówczas hesjan A nie jest określony) to funkcja f(x) nie ma ekstremum w punkcie

8 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Warunek stacjonarności: poprawić gradient i hesjan A TWIERDZENIE. Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, to w każdym jej minimum lokalnym bez ograniczeń spełnione są następujące warunki konieczne optymalności zadania ZPN bez ograniczeń. Warunek I rzędu jest często nazywamy warunkiem stacjonarności, ponieważ oznacza zerowanie się pierwszej pochodnej. Warunek II rzędu dla funkcji dwukrotnie różniczkowalnych implikuje lokalną wypukłość minimalizowanej funkcji celu. warunek II rzędu warunek I rzędu dla Macierz A jest macierzą ściśle dodatnio określoną


Pobierz ppt "Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google