Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Algorytmy Genetyczne Hipoteza cegiełek, k-ramienny bandyta, minimalny problem zwodniczy.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Algorytmy Genetyczne Hipoteza cegiełek, k-ramienny bandyta, minimalny problem zwodniczy."— Zapis prezentacji:

1 Algorytmy Genetyczne Hipoteza cegiełek, k-ramienny bandyta, minimalny problem zwodniczy

2 Algorytmy genetyczne podstawowe definicje Niech : Ciągi kodowe składają się z symboli alfabetu V={0,1} oraz niech wielkie litery oznaczają ciągi kodowe a ich elementy niech będą oznaczone przez małe litery z indeksami dolnymi określającymi pozycje w ciągu. Np. A= symbolicznie: A=a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7. lub A= a 3 a 6 a 4 a 1 a 2 a 5 a 7. A(t) oznacza populację złożoną z ciągów Aj, j=1,2,…,n w chwili (pokoleniu) t. H oznacza schemat złożony z symboli alfabetu V+={0,1,*}

3 Algorytmy genetyczne podstawowe definicje Rzędem schematu H, oznaczonym przez o(H) nazywamy liczbę ustalonych pozycji we wzorcu. Rozpiętością schematu H, oznaczoną przez (H) nazywamy odległość między dwoma skrajnymi pozycjami ustalonymi.

4 Przykład H=011*1** o(H)=4, (H)=5-1=4 H=0****** o(H)=1, (H)=1-1=0

5 Oczekiwana liczba reprezentantów schematu Załóżmy, że w chwili t w populacji A(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H. Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem p i = W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H. Zachodzi wzór: E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/fi

6 Oczekiwana liczba reprezentantów schematu f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t. Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to to powyższy związek można zapisać jako:

7 Oczekiwana liczba reprezentantów schematu Załóżmy, że pewien schemat H przewyższa średnią o wielkość c, gdzie c jest stałą. Wówczas równanie schematów wygląda następująco: Zaczynając od t=0 i zakładając, że c nie zmienia się w czasie otrzymujemy zależność:

8 Oczekiwana liczba reprezentantów schematu Dolne oszacowanie prawdopodobieństwa przeżycia schematu podczas krzyżowania wynosi: p s =1-(H)/(l-1) gdzie l-1 to liczba możliwych położeń. Jeżeli p c to prawdopodobieństwo krzyżowania to wówczas prawdopodobieństwa przeżycia schematu H spełnia równość: Zakładając niezależność operacji reprodukcji i krzyżowania otrzymujemy oszacowanie:

9 Oczekiwana liczba reprezentantów schematu Dany schemat przeżyje mutację z prawdopodobieństwem (1-p m ) o(H). Dla małych wartości prawdopodobieństwo można aproksymować za pomocą wyrażenia 1-o(H)*p m Zatem oczekiwana liczba reprezentantów schematu H w następnym pokoleniu otrzymany w wyniku operacji reprodukcji, krzyżowania i mutacji, spełnia następującą nierówność

10 Twierdzenie o schematach Podstawowe twierdzenie algorytmów genetycznych Wąskie, niskiego rzędu i dobrze przystosowane schematy rozprzestrzeniają się w kolejnych pokoleniach zgodnie z wykładniczym prawem wzrostu.

11 Przykład [1]

12 Dwu-ramienny bandyta Załóżmy, że istnieje dwuramienny automat do gry, którego ramiona są oznaczone jako Lewe i Prawe oraz wiadomo, iż jedno z ramion zapewnia średnią wygraną 1 przy wariancji 1 2, a drugie średnią wygraną 2 przy wariancji 2 2, przy czym 1 2.

13 Dwu-ramienny bandyta Strategia wygranej Przypuśćmy, że mamy do wykonania łącznie N prób, które należy podzielić między oba ramiona. Na początek wykonujemy po n prób (2n

14 Dwu-ramienny bandyta Strategia wygranej Prawdopodobieństwo q(n) można oszacować za pomocą rozkładu normalnego:, gdzie Straty jakie można ponieść to: Wykonanie n prób ze złym ramieniem w fazie eksperymentalnej oraz wybór ramienia dającego niższą średnią wygraną po zakończeniu eksperymentu

15 Optymalna wielkość eksperymentu n* Holland podaje oszacowanie:, gdzie b= 1 /( )

16 k-ramienny bandyta Zasady wygranej podobne jak w 2-raminnym bandycie z tą różnicą, że teraz mamy k ramion. k-ramienny bandyta to zbiór konkurujących schematów Definicja Dwa schematy A i B o elementach odpowiedni a­i i bi konkurują, jeżeli dla każdej pozycji i=1,2,…,l albo a i =b i =*, albo a i*, b i*, a ib i – przy czym ostatni przypadek zachodzi przynajmniej dla jednego i.

17 Przykład Dany jest zbiór schematów o długości 7, konkurujących na pozycjach 2, 3 i 5 *00*0** *00*1** *01*0** *01*1** *10*0** *10*1** *11*0** *11*1**

18 Przykład Dla trzech ustalonych pozycji w ciągu długości 7 mamy zagadnień ośmioramiennych (2 3 =8) bandytów. Ogólnie dla schematów rzędu j i długości l istnieje różnych zagadnień k j - ramiennych, gdzie k j =2 j bandytów Jednak nie wszystkie z zagadnień są rozwiązywane z jednakową sprawności,.

19 Hipoteza cegiełek (bloków budujących) Algorytm genetyczny poszukuje rozwiązań optymalnych przez zestawianie schematów o małej rozpiętości i niskiego rzędu a o dużej wydajności działania, zwanych cegiełkami (blokami budującymi) [1],[2].

20 Hipoteza cegiełek (bloków budujących) – Przykład [1]

21

22 Minimalny problem zwodniczy Problem zwodniczy- p rzypadek kiedy algorytm genetyczny szuka optimum w innym miejscu dając fałszywe wyniki (dążąc do punktów suboptymalnych).

23 Minimalny problem zwodniczy Niech będą dane 4 schematy rzędu 2, ze współczynnikami przystosowania: ***0*****0* f00 ***0*****1* f01 ***1*****0* f10 ***1*****1* f11 Współczynniki przystosowania odpowiadają średnim dla schematów względem populacji. Załóżmy, że są one stałe, zerowej wariancji oraz, że f11 jest globalnym optimum: f11>f00, f11>f01, f11>f10.

24 Minimalny problem zwodniczy Niech dany będzie element zwodniczości, f(0*)>f(1*); f(*0)>f(*1) Zatem powinny zachodzić równości: Nie mogą one być jednak jednocześnie spełnione (bo punkt 11 nie byłbym globalnym optimum)

25 Minimalny problem zwodniczy Załóżmy, że prawdziwa jest pierwsza nierówność. Wówczas problem zwodniczy rzędu 2 jest wyznaczony przez warunek globalności (maksimum równe f 11 ) oraz jeden warunek zwodniczości (wybraliśmy tu przypadek f(0*)>f(1*) ). Wszystkie współczynniki przystosowania względem f 00 (współczynnik przystosowania dopełnienia globalnego optimum) można znormalizować:

26 Minimalny problem zwodniczy Warunek globalności w znormalizowanej postaci to: r>c; r>1; r>c Warunek zwodniczości r<1+c-c Stąd wynika c<1; cf00 (c>1). Typ II: f00f01 (c1).

27 Epistaza Pojęcie zwodniczości połączone jest z epistazą. Można dowieść, że żaden problem rzędu 1 nie może być zwodniczy, więc problem zwodniczy rzędu 2 jest najmniejszym możliwym, czyli minimalnym problemem zwodniczym (MPD).

28 Wzorce podobieństwa - hiperpłaszczyzny Niech będą dane ciągi i schematy o długości l=3. Można je przedstawić w przestrzeni, gdzie punktami będą ciągi kodowe lub schematy rzedu 3, linie proste to będą schematy rzędu 2, płaszczyzny – schematami rzędu 1, natomiast całej przestrzeni odpowiada schemat rzędu 0, czyli ***. x1x1 x2x2 x3x *1* Płaszczyzna 1** Płaszczyzna 0*1 Prosta

29 Bibliografia [1] D. Goldberg, Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT, Warszawa 1998 [2] Z. Michalewicz, Algorytmy genetyczne+struktury danych = programy ewolucyjne WNT, Warszawa 1999


Pobierz ppt "Algorytmy Genetyczne Hipoteza cegiełek, k-ramienny bandyta, minimalny problem zwodniczy."

Podobne prezentacje


Reklamy Google