Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie."— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych Zastosowanie sprzężenia zwrotnego od stanu wymaga dostępu do wektora stanu Nie zawsze jest to możliwe – konieczna staje się rekonstrukcja stanu w oparciu o wszystko, co jest dostępne Dwa punkty widzenia zasługują na rozważenie w przypadku systemu ciągłego lub w przypadku systemu dyskretnego 1. Czysto deterministyczny 2. Stochastyczny

2 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 1. Deterministyczne podejście Rozważać będziemy jak poprzednio dwa przypadki Przypadek ciągły Przypadek dyskretny Dlaczego np. nie wyznaczyć wektora z równania wyjścia bo oraz są dostępne? 1. Odwracalność 2. Istnienie szumów pomiarowych Powody:

3 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 o znane wartości i będzie dostarczał przybliżoną (aproksymowaną) wartość, System taki nazywany jest rekonstruktorem stanu lub obserwatorem Sformułowanie problemu: Korzystając z posiadanej wiedzy o systemie, konkretnie z znajomości parametrów systemu lub znaleźć system liniowy, który w oparciu estymatę stanu

4 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 2. Stochastyczne podejście Rozważać będziemy jak poprzednio dwa przypadki Przyjmujemy, że system podlega działaniu szumów pomiarowych oraz przypadkowych zakłóceń Przypadek ciągły Przypadek dyskretny gdzie, - wektor przypadkowych zakłóceń wpływających na zmienne stanu, a - wektor przypadkowych szumów wpływających na pomiary Stan systemu i wyjście systemu stają się procesami stochastycznymi lub sekwencjami stochastycznymi wskutek występowania odpowiednio w równaniach stanu i wyjścia składników przypadkowych Notacja: duże pogrubione litery odnoszące się do sygnałów takie jaki oznaczają zmienne przypadkowe, małe pogubione litery odnoszące się do sygnałów takie jak oznaczają szczególne deterministyczne ich realizacje

5 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Problem rekonstrukcji stanu w tym podejściu nazywany jest problemem filtracji liniowej Sformułowanie problemu: Korzystając z posiadanej wiedzy o systemie, konkretnie z znajomości parametrów systemu lub oraz danych statystycznych szumach i zakłóceniach (rozkłady prawdopodobieństwa, średnie, wariancje) i znaleźć system liniowy o wejściach i, który na wyjściu da estymatę tak bliską jak to możliwe nieznanemu stanowi System taki nazywany jest filtrem. Optymalne rozwiązanie tak sformułowanego problemu w sensie minimalnej wariancji błędu estymacji jest nazywane filtrem Kalmana

6 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Pełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenbergera) Idea pełnego obserwatora Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Podstawowa idea obserwatora Luenbergera polega na dołączeniu do rozważanego stacjonarnego systemu liniowego, innego stacjonarnego systemu liniowego na który podawane są sygnały oraz i który musi dostarczać na swoim wyjściu przybliżoną wartość stanu Przyjmuje się następującą postać obserwatora gdzie, - macierz wzmocnień obserwatora o wymiarach

7 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Zadaniem składnika błędu jest powodować zdążanie estymaty stanu do jej rzeczywistej wartości Nie ma powodu, aby wymagać, że w chwili stan początkowy obserwatora był równy stanowi początkowemu obserwowanego systemu, czyli Wymagać należy, aby Zdefiniujemy błąd estymacji Wielkość będzie dobrą estymatą jeżeli Dla oceny wpływu tego wymagania na wybór macierzy, o wymiarze (nxq), obserwatora tworzymy równanie dynamiki błędu estymacji

8 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Warunek generuje wymaganie asymptotycznej stabilności dla systemu błędu błędu estymaty Równanie dynamiki błędu estymacji możemy zapisać gdzie, Rozwiązanie równani dynamiki błędu estymacji Jeżeli wartości własne macierzy leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej, to i przybliżona wartość zdąża asymptotycznie do wartości rzeczywistej Tak skonstruowany obserwator nosi nazwę obserwatora Luenbergera (ciągłego)

9 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Schemat blokowy systemu i jego obserwatora System Obserwator

10 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Przypadek dyskretny Przyjmuje się następującą postać obserwatora gdzie, - macierz wzmocnień obserwatora o wymiarach Dla systemu Zdefiniujemy błąd estymacji oraz równanie dynamiki błędu estymacji

11 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Równanie dynamiki błędu estymacji możemy zapisać gdzie, Rozwiązanie równani dynamiki błędu estymacji Jeżeli wartości własne macierzy leżą w okręgu jednostkowym płaszczyzny zespolonej, to i przybliżona wartość zdąża asymptotycznie do wartości rzeczywistej Tak skonstruowany obserwator nosi nazwę obserwatora Luenbergera (dyskretnego)

12 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Synteza pełnego obserwatora Projekt obserwatora obejmuje dwa kroki 1. Wartości własne macierzy są wybierane: a. dla przypadku ciągłego w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej; ogólnie na lewo od tych jakie zostały wybrane przy projektowaniu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, czyli na lewo od wartości własnych, aby zapewnić szybsze zanikanie procesów przejściowych obserwatora niż systemu zamkniętego; wybrane wartości własne nie powinny jednak dawać zbyt szybkich procesów przejściowych, gdyż wówczas obserwator będzie miał tendencję wzmacniania wysokoczęstotliwościowych szumów b. dla przypadku dyskretnego w wewnątrz okręgu jednostkowego płaszczyzny zespolonej; ogólnie bliżej początku układu współrzędnych niż te jakie zostały wybrane przy projektowaniu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, czyli bliżej od wartości własnych, aby zapewnić szybsze zanikanie procesów powinny jednak dawać zbyt szybkich procesów przejściowych, gdyż wówczas obserwator będzie miał tendencję wzmacniania wysokoczęstotliwościowych szumów przejściowych obserwatora niż systemu zamkniętego; wybrane wartości własne nie

13 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Macierz jest tak wyznaczana, aby rzeczywiście a. dla przypadku ciągłego macierz b. dla przypadku dyskretnego macierz miała wartości własne wybrane w kroku 1 Niech wielomian a. dla przypadku ciągłego: b. dla przypadku dyskretnego: będzie wielomianem charakterystycznym tej macierzy mającym takie wartości własne Dalej dla skrócenia będziemy kontynuować rozważanie tylko przypadku ciągłego

14 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Musimy zatem wyznaczyć macierz tak, aby a zatem Ponieważ dla dowolnej macierzy zachodzi możemy napisać Wyznaczanie macierzy L Podobieństwo z problemem wyznaczania macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Synteza sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Synteza obserwatora

15 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Korzystając z tego podobieństwa Ponieważ dla dowolnej macierzy zachodzi możemy napisać co dokładnie oznacza:

16 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Możemy podać warunki istnienia macierzy wzmocnień obserwatora Synteza sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Synteza obserwatora Macierz wzmocnień istnieje, jeżeli system jest sterowalny Macierz wzmocnień istnieje, jeżeli system jest obserwowalny Problem syntezy obserwatora jest problemem dualnym do problemu syntezy sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu

17 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Projektowanie obserwatora dla systemów SISO Dla systemów SISO projektowanie obserwatora posiada jednoznaczne rozwiązanie System SISO Obserwator Macierz równania jednorodnego dynamiki błędu estymacji W oparciu o dualność problemów sterowania i obserwowania Ostatni wiersz ostatni wiersz możemy przenieść stosowanie metod projektowania sterownika na projektowanie obserwatora

18 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 a. System w postaci kanonicznej obserwowalności Jeżeli założyć, że system dany jest w postaci kanonicznej obserwowalności z wielomianem charakterystycznym i jeżeli postulować wartości własne macierzy obserwatora Luenbergera tak, że odpowiadający im wielomian charakterystyczny jest to macierz wzmocnień obserwatora musi mieć następujące wartości

19 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Macierze systemu w postaci kanonicznej obserwowalności zatem Obserwator też jest w tym przypadku reprezentowany w postaci kanonicznej obserwowalności

20 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 b. System w postaci dowolnej – wykorzystanie wzoru Ackermanna Ponownie skorzystamy z dualności problemów sterowania i obserwowania Możemy napisać Stąd dostajemy po transformacji twierdzenie dualne do twierdzenia Ackermanna

21 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Twierdzenie dualne Ackermanna Jeżeli system jest obserwowalny i jeżeli wymaga się, aby obserwator n – tego rzędu (Luenbergra) posiadał wielomian charakterystyczny to należy wybrać macierz wzmocnień obserwatora o wartościach gdzie jest ostatnią kolumną odwrotnej macierzy obserwowalności i jest określona lub

22 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Przykład 1: System jednowymiarowy Zaprojektować pełny obserwator stanu dla systemu, mający podwójna wartość własną w Opis w przestrzeni stanu

23 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Wykorzystamy wzór Ackermanna

24 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Zatem Równanie obserwatora lub

25 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Przykład 2: Zaprojektować obserwator dla systemu trzeciego rzędu System w postaci kanonicznej sterowalności Wielomian charakterystyczny systemu Wartości własne

26 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Postulowane wartości własne obserwatora Wielomian charakterystyczny obserwatora Sprawdzenie obserwowalności systemu Do obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zastosujemy wzór Ackermanna

27 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Wielomian charakterystyczny macierzy stanu

28 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Zatem

29 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Wyniki symulacji Warunki początkowe

30 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Wyniki symulacji – c.d. System Obserwator

31 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Przykład 3. (przykład rozważany na poprzednich wykładach dla ilustracji działania całkującego) Opis – postać kanoniczna sterowalności Wielomian charakterystyczny systemu otwartego Dany jest system opisany macierzami Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny asymptotyczne, słabo tłumiony system rzędu trzeciego

32 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Dla zaprojektowania sterowania ze sprzężeniem od stanu, położenie wartości własnych zostało wybrane: - Przeregulowanie procentowe: 6% - Czas ustalania się: 3 [s] Dominujące wartości własne (człon drugiego rzędu oscylacyjny) Postulowane wartości własne odpowiadające tym parametrom Trzecia wartość własna (człon pierwszego rzędu) - ujemna, dziesięć razy większa od części rzeczywistej dominujących wartości własnych Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego

33 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Dla zaprojektowania obserwatora przeskalujmy podane wartości własne Wielomian charakterystyczny dla dynamiki błędu obserwatora Porównanie

34 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Sprawdzenie obserwowalności System jest obserwowalny

35 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Macierz A postaci kanonicznej obserwowalności Zatem macierz wzmocnień obserwatora Szybkie wartości własne obserwatora prowadzą do dużych wzmocnień obserwatora – należy znaleźć kompromis pomiędzy szybką zbieżnością obserwatora i możliwymi wzmocnieniami obserwatora

36 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę


Pobierz ppt "Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowanie."

Podobne prezentacje


Reklamy Google