Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Obserwatory.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Obserwatory."— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Obserwatory zredukowane Pełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenbergera) – redundancja informacyjna Pewna liczba zmiennych stanu dostępna poprzez zakładany pomiar wyjść Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Zakładamy: q mierzonych wyjść są liniowo niezależne – macierz C ma rząd q Zakładamy też: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy) Wyprowadzenie I

2 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaci wybierając macierz T tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną) różnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa

3 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Możliwy sposób wyboru macierzy T czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana Związki wynikające z przekształcenia podobieństwa:

4 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można napisać równanie stanu w postaci

5 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) lub Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów) Przy czym pamiętamy

6 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Idea rekonstrukcji Podane równania możemy tratować jako równania stanu i równania pomiarów, w których - wektor stanu - wektor wejścia - wektor wyjścia (pomiaru) Ponieważ jest dostępne pomiarowo, to również Wartość jest mierzalna Równanie stanu i pomiaru zredukowanego systemu piszemy w postaci Odpowiada to równaniom:

7 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Budujemy pełny obserwator Luenbergera, ale rzędu n-q, który nazywamy obserwatorem zredukowanym Równanie stanu obserwatora zredukowanego przyjmujemy: Oznaczymy macierz wzmocnień obserwatora zredukowanego o wymiarze (n-q)xq Wyprowadzenie szczegółowej postaci obserwatora zredukowanego Bezpośrednio mierzy się y, występowanie pochodnej jest niekorzystne – wprowadza się zmienną

8 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Podstawiając do ostatniego wyniku otrzymamy nowe równanie obserwatora zredukowanego lub

9 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Odpowiada im schemat blokowy obserwatora zredukowanego Ponieważ v ma wymiar (n-q), więc również z ma wymiar (n-q) i jest dobrze określonym obserwatorem zredukowanym tego rzędu

10 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego Warunek dobrego estymatora Jak poprzednio definiujemy błąd rekonstrukcji obserwatora (błąd estymacji) Weźmy zredukowane równanie stanu systemu i początkowe równanie obserwatora zredukowanego Równanie dynamiki błędu obserwatora zredukowanego

11 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Macierz stanu jednorodnego równania dynamiki błędu obserwatora Wymagana obserwowalność pary Lemat. Jeżeli para, to para też jest obserwowalna Twierdzenie. Mając dany liniowy stacjonarny system rzędu n, który posiada q liniowo niezależnych wyjść (pomiarów wyjść) i jest obserwowalny, można skonstruować obserwator rzędu (n-q) mający dowolne wartości własne

12 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Przeprowadzona konstrukcja wyznacza jeden obserwator tego typu, który posiada jako macierz systemu Inne wyprowadzenia II. Można też założyć: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy)

13 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Wówczas, jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaci wybierając macierz T tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną) różnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa

14 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Możliwy sposób wyboru macierzy T czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana

15 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Dekompozycja Biorąc pod uwagę inną postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci

16 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 lub Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów) Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów) Przy czym pamiętamy

17 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób Otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub

18 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Macierz systemu obserwatora przyjmie postać III. Można zrezygnować z częściowo jednostkowej postaci macierzy C o wymiarze qxn i założyć jedynie, że macierz C ma jedną z postaci a. b.

19 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Weźmy przypadek a. Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci

20 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Pełny obserwator Nie ma potrzeby rekonstruować górnej składowej wektora stanu – zakładając nieosobliwość C 1 można bowiem Dalej: zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób

21 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Macierz systemu obserwatora przyjmie postać

22 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Obserwator zredukowany dla systemów z jednym wyjściem (system SISO) Przypadek ciągły Ograniczymy się do przypadku wyprowadzenia I Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C

23 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Macierze A oraz B mają postać Macierze c T ma postać (lub sprowadzamy ją do postaci

24 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Macierze wzmocnień obserwatora redukuje się do wektora i oznaczymy go Postępując jak poprzednio otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub

25 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Macierz systemu obserwatora przyjmie postać Projektowanie obserwatora zredukowanego dla systemów SISO g r określamy tak, aby macierz F r miała n-1 wartości własnych, które spełniają postulowane równanie charakterystyczne

26 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Możliwości I. bezpośrednio – porównanie wartości współczynników II. wykorzystanie postaci kanonicznej obserwowalności wówczas

27 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Problem polega na znalezieniu takich, aby macierz miała wielomian charakterystyczny o postulowanej postaci Przywołując twierdzenie podane dla pełnego obserwatora i pamiętając o zmniejszeniu wymiaru o 1 oraz, że macierzy A odpowiada teraz A 11

28 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 otrzymujemy rozwiązanie Zatem i równania obserwatora

29 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 III. macierz A w dowolnej postaci – wykorzystanie dualnego twierdzenia Ackermanna Twierdzenie dualne Ackermanna Jeżeli system jest obserwowalny i jeżeli wymaga się, aby obserwator n – tego rzędu (Luenbergra) posiadał wielomian charakterystyczny to należy wybrać macierz wzmocnień obserwatora o wartościach gdzie jest ostatnią kolumną odwrotnej macierzy obserwowalności i jest określona lub

30 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Dualne twierdzenie Ackermanna stosujemy systemu zredukowanego, czyli ogólnie do systemu rzędu n-q danego równaniem stanu (wyprowadzenie I) i wyjścia Zatem w twierdzeniu Ackermanna należy podstawić

31 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Przykład 1 (z W10): System jednowymiarowy Zaprojektować pełny obserwator stanu dla systemu, mający podwójna wartość własną w Opis w przestrzeni stanu

32 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Ponieważ należy zbudować obserwator zredukowany dla Niech Ponieważ zatem system ma wymaganą postać dla wyprowadzenia I Ale nie jest w postaci kanonicznej obserwowalności – zastosujemy kolejno wyliczenie bezpośrednie i równanie dualne Ackermanna Dekompozycja

33 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Wektorredukuje się do skalara Postulowany wielomian charakterystyczny Macierz systemu obserwatora Wielomian charakterystyczny macierzy systemu obserwatora zatem Porównanie zatem

34 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Równanie obserwatora Schemat blokowy systemu z obserwatorem

35 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Dualne równanie Ackermanna stosujemy do systemu zredukowanego Para oznacza tutaj Macierz obserwowalności Postulowany wielomian charakterystyczny zatem I podobnie jak poprzednio

36 Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę


Pobierz ppt "Teoria sterowania 2012/2013Sterowanie – obserwatory zredukowane I Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Obserwatory."

Podobne prezentacje


Reklamy Google