Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej III Zajęcia.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej III Zajęcia."— Zapis prezentacji:

1 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej III Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL /10

2 2 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Całki nieoznaczone Funkcją pierwotną funkcji f (x ) w przedziale a < x < b nazywamy każdą taką funkcję F (x ), której pochodna F (x ) równa się danej funkcji f (x ) dla każdego x z przedziału a < x < b. Całką nieoznaczoną (nieokreśloną ) funkcji f (x ), oznaczaną symbolem f (x )dx, nazywamy wyrażenie F (x ) + C, gdzie F (x ) oznacza funkcję pierwotną funkcji f (x ), a C oznacza dowolną stałą. Mamy zatem f (x )dx = F (x ) + C, gdzie F (x ) = f (x ).

3 Całki nieoznaczone Podstawowe wzory rachunku całkowego: x a dx = x a +1 /(a + 1) + C, a 1, x >0 (gdy liczba a jest naturalna, to warunek x > 0 odpada; gdy a oznacza liczbę całkowitą ujemną, to x 0) dx /x = ln|x | + C, x 0 e x dx = e x + C a x dx = a x / lna + C, a > 0, a 1 cosx dx = sinx + C sinx dx = cosx + C dx /cos 2 x = tgx + C, cosx 0 dx /sin 2 x = ctgx + C, sinx 0 3 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

4 Całki nieoznaczone Podstawowe wzory rachunku całkowego (cd.): dx /(1 x 2 ) 1/2 = arcsinx + C = arccosx + C dx /(x 2 + 1) = arctgx + C = arcctgx + C sinhx dx = coshx + C coshx dx = sinhx + C dx / cosh 2 x = tghx + C dx / sinh 2 x = ctghx + C dx /(1 + x 2 ) 1/2 = arsinhx + C = ln[x + (x 2 + 1) 1/2 ] + C dx /(x 2 1) 1/2 = arcoshx + C = ln|x + (x 2 1) 1/2 | + C 4 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

5 Całki nieoznaczone Własności: [f (x ) + g (x )]dx = f (x )dx + g (x )dx, af (x )dx = a f (x )dx, jeśli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe pochodne rzędu pierwszego, to udv = uv vdu (jest to wzór na całkowanie przez części ), jeśli dla a x b funkcja u = g (x ) jest funkcją mającą ciągłą pochodną i A g (x ) B, a funkcja f (u ) jest ciągła w przedziale [A, B ], to f (g (x ))g (x )dx = f (u )du, przy czym po scałkowaniu prawej strony należy podstawić u = g (x ) (jest to wzór na całkowanie przez podstawienie ). 5 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

6 Całki nieoznaczone Przykład 1. Obliczyć całkę I = x (x 1)(x 2)dx. Po wykonaniu mnożenia w funkcji podcałkowej otrzymujemy całkę z wielomianu: I = (x 3 3x 2 + 2x )dx = x 3 dx 3 x 2 dx + 2 xdx = x 4 /4 3x 3 /3 + 2x 2 /2 + C = x 4 /4 x 3 + x 2 + C. Przykład 2. Obliczyć całkę I = (x 2 + a 2 )xdx. Całkę tę można obliczyć dwoma sposobami. Rozkładając ją na dwa składniki mamy I = x 3 dx + a 2 x 2 dx = x 4 /4 + a 2 x 2 /2 + C. Można także zastosować podstawienie x 2 + a 2 = u, skąd przez zróżniczkowanie otrzymujemy 2xdx = du, tj. xdx = (1/2)du. 6 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

7 Całki nieoznaczone Stosując wzór na całkowanie przez podstawienie mamy I = (1/2) udu, skąd I = u 2 /4 + C i uwzględniając podstawienie ostatecznie otrzymujemy I = (x 2 + a 2) 2 /4 + C. Przykład 3. Obliczyć całkę I = xdx / (x 2 + a 2 ) n, a 0. Licznik różni się tylko czynnikiem stałym od różniczki wyrażenia x 2 + a 2, więc stosujemy podstawienie x 2 + a 2 = u, przy czym u > 0. Po zróżniczkowaniu mamy xdx = (1/2)du i dla n 1 mamy I = (1/2) du /u n = (1/2)u n + 1 /( n + 1) + C = 1/[2(n 1)u n 1 ] + C. Powracając do zmiennej x ostatecznie otrzymujemy I = 1/[2(n 1)(x 2 + a 2 ) n 1 ] + C, a 0 i n 1. Gdy n = 1, to I = (1/2)ln(x 2 + a 2 ) + C. 7 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

8 Całki nieoznaczone Przykład 4. Obliczyć całkę I = dx /(2x 3) 1/2. Zakładamy, że x > 3/2. Wykonujemy podstawienie (2x 3) 1/2 = t, skąd 2x 3 = t 2 i po zróżniczkowaniu mamy dx = tdt (t > 0). Po podstawieniu do całki otrzymujemy I = tdt /t = dt = t + C = (2x 3) 1/2 + C. Przykład 5. Obliczyć całkę I = sinx cosx dx. Całkę tę można wyznaczyć trzema sposobami. Jeśli wykonamy podstawienie t = sinx, to po zróżniczkowaniu mamy cosx dx = dt. Zatem sinx cosx dx = tdt = t 2 /2 + C = (1/2)sin 2 x + C. Możemy także skorzystać z wzoru sinx cosx = (1/2)sin2x. Wówczas sinx cosx dx = (1/2) sin2x dx. 8 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

9 Całki nieoznaczone Jeśli teraz wykonamy podstawienie 2x = u, to dx = (1/2)du i mamy sinx cosx dx = (1/2) sinu (1/2)du = (1/4) sinu du = (1/4) cosu + C = (1/4) cos2x + C. Wykonując podstawienie cosx = t i różniczkując otrzymamy sinx dx = dt. Zatem sinx cosx dx = tdt = (1/2)t 2 + C = (1/2)cos 2 x + C. Otrzymaliśmy trzy różne wyniki, ale nie ma w tym sprzeczności, bo różnica każdych dwóch wyników jest stała. Mamy (1/2) sin 2 x [ (1/4) cos2x ] = (1/2) sin 2 x + (1/4) cos2x = (1/4)(2sin 2 x + cos2x ) = (1/4)(2sin 2 x +1 2sin 2 x ) = 1/4, czyli C = C + 1/4. Podobnie można pokazać, że C = C + 1/2. 9 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

10 Całki nieoznaczone Przykład 6. Obliczyć całkę e x sinx dx. Całkujemy przez części przyjmując u = sinx, dv = e x dx, skąd du = cos x dx, v = e x dx = e x. Otrzymujemy e x sinx dx = e x sinx e x cosx dx. (1) Całkę po prawej stronie znowu całkujemy przez części. Mamy e x cosx dx = e x cosx + e x sinx dx i po podstawieniu do wzoru (1) otrzymujemy e x sinx dx = e x sinx e x cosx e x sinx dx, skąd 2 e x sinx dx = e x sinx e x cosx. Zatem ostatecznie e x sinx dx = e x (sinx e x cosx )/2 + C. 10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

11 Całki nieoznaczone Przykład 7. Obliczyć całkę arctgx dx. Całkujemy przez części podstawiając u = arctgx, dv = dx, skąd du = dx /(x 2 + 1), v = dx = x. Mamy arctgx dx = x arctgx xdx /(x 2 + 1). Całkę po prawej stronie obliczamy podstawiając x = t, skąd xdx = (1/2)dt. Zatem xdx /(x 2 + 1) = (1/2)dt /t = (1/2) ln|t | = (1/2) ln(x 2 + 1). Ostatecznie mamy arctgx dx = x arctgx (1/2) ln(x 2 + 1) + C. 11 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

12 Całki funkcji wymiernych Całka funkcji wymiernej ma postać (a n x n + a n 1 x n 1 + a 0 )/(b m x m + b m 1 x m 1 + b 0 ) dx. (1) Można wykazać, że całka funkcji wymiernej jest równa pewnej kombinacji liniowej funkcji wymiernej, logarytmu funkcji liniowej, logarytmu funkcji kwadratowej o wykładniku ujemnym oraz arcustangensa funkcji liniowej. Przy obliczaniu całki postaci (1) postępujemy następująco: jeśli n m, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, jeżeli n < m, to funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste, tj. na wyrażenia postaci A /(ax + b ) k oraz (Bx + C )/(cx 2 + dx + e ) p, gdzie k, p N. 12 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

13 Całki funkcji wymiernych Przykład 1. Obliczyć całkę (cx + d )/(ax + b ) dx, a 0 i ax + b 0. Dzielimy licznik przez mianownik: (cx + d )/(ax + b ) = c /a +(d bc /a )/(ax + b ), a więc (cx + d )/(ax + b ) dx = (c /a ) dx + (d bc /a ) dx /(ax + b ) = cx /a + (ad bc )/a 2 ln|ax + b | + C. Jeśli licznik jest pochodną mianownika, to korzystamy z wzoru f (x )dx /f (x ) = ln|f (x )| + C. Przykład 2. Obliczyć całkę I = (6x 1)/(3x 2 x + 2) dx. Zauważmy, że mianownik jest zawsze większy od zera. Ponieważ licznik jest pochodną mianownika, więc I = ln(3x 2 x + 2) + C. 13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

14 Całki funkcji wymiernych Przykład 3. Obliczyć całkę dx /(2x 2 + 9x 5). Mianownik ma pierwiastki 5 i 1/2, a więc 2x 2 + 9x 5 = (2x 1)(x + 5). Zakładamy x 5 i x 1/2. Funkcję podcałkową rozkładamy na sumę ułamków prostych 1/(2x 2 + 9x 5) A /(2x 1) + B /(x + 5), (1) skąd otrzymujemy 1 (A + 2B )x + (5A B ). Ponieważ tożsamość ma zachodzić dla każdej wartości x, więc mamy równania A + 2B =0 oraz 5A B = 1, a stąd A = 2/11 i B = 1/11. Rozkład (1) ma zatem postać 1/(2x 2 + 9x 5) (2/11)/(2x 1) (1/11)/(x + 5). 14 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

15 Całki funkcji wymiernych Mamy więc dx /(2x 2 + 9x 5) = (2/11) dx /(2x 1) (1/11) dx /(x + 5) = (2/11) (1/2) ln|2x 1| (1/11) ln|x + 5| + C = (1/11) ln|(2x 1)/(x + 5)| + C. Przykład 4. Obliczyć całkę (9x 5)dx /(9x 2 6x + 1). Ponieważ 9x 2 6x + 1 = (3x 1) 2, więc (zakładając, że x 1/3) szukamy rozkładu postaci (9x 5)/(9x 2 6x +1) A /(3x 1) 2 + B /(3x 1). Rozwiązując tę tożsamość otrzymujemy A = 2 i B = 3. Zatem (9x 5)dx /(9x 2 6x + 1) = 2 dx /(3x 1) dx /(3x 1) = 2 ( 1)/[3(3x 1)] + 3 (1/3) ln|3x 1| + C = 2/[3(3x 1)] + ln|3x 1| + C. 15 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

16 Całki funkcji niewymiernych Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach postaci m /n, gdzie liczby m i n są liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to wykonujemy podstawienie x = t N, gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci m /n. Przykład 1. Obliczyć całkę I = dx /(x 1/2 + x 1/3 ), x >0. Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennych x 1/2 i x 1/3. Wspólnym mianownikiem ułamków 1/2 oraz 1/3 jest 6 i dlatego podstawiamy x = t 6, skąd dx = 6t 5 dt, x 1/2 = t 3, x 1/3 = t 2. Mamy I = 6t 5 dt /(t 3 + t 2 ) = 6 t 3 dt /(t + 1) = 6 [t 2 t + 1 1/(t + 1)]dt = 6[(1/3)t 3 (1/2)t 2 + t ln(t + 1)] + C = 2t 3 3t 2 + 6t 6ln(t + 1) + C = 2x 1/2 3x 1/3 + 6x 1/6 6ln(x 1/6 + 1) + C. 16 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

17 Całki funkcji niewymiernych Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęg dwumianu ax + b lub funkcji homograficznej (ax + b )/(cx + d ), gdzie ad bc 0, o wykładnikach postaci m /n, gdzie liczby m oraz n są liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to w pierwszym przypadku wykonujemy podstawienie ax + b = t N, a w drugim przypadku (ax + b )/(cx + d ) = t N, gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci m /n. Podstawowymi całkami funkcji niewymiernych, do których wiele innych da się sprowadzić są dx /(1 x 2 ) 1/2 = arcsinx + C oraz dx /(x 2 + k ) 1/2 = ln|x + (x 2 + k ) 1/2 | + C. 17 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

18 Całki oznaczone Niech funkcja f (x ) będzie ograniczona w przedziale domkniętym [a, b ] i wykonajmy P 1, P 2, …, P m, … różnych podziałów przedziału [a, b ] na części, gdzie podział P m jest dokonany za pomocą n m 1 liczb x 1, x 2, …, x n 1, gdzie m a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n 1 < x n = b. m m Przedziały [x i 1, x i ] (i = 1, 2, …, n m ) nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału P m, a ich długości oznaczymy przez x i. Niech m oznacza największą liczbę x i, czyli długość najdłuższego przedziału cząstkowego podziału P m. Ciąg {P m } nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli lim m = 0. n 18 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

19 Całki oznaczone Niech n m S m = f (c i ) x i. (1) i = 1 Jeżeli ciąg {S m } jest dla m zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów {P m } niezależnie od wyboru punktów c i, to funkcję f (x ) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale [a, b ], a granicę ciągu (1) nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x ) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem b F (x )dx. a Jeżeli w przedziale [a, b ] jest f (x ) 0, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej y = f (x ), odcinkiem osi Ox oraz prostymi x = a i x = b jest równe całce oznaczonej. 19 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

20 Całki oznaczone Jeżeli a b c, to c b c f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx. a a b b b f (x )dx = k f (x )dx. a a b b b (f (x ) + g (x )dx = f (x )dx + g (x )dx. a a a Jeżeli funkcje u i v są funkcjami ciągłymi zmiennej x mającymi ciągłe pochodne, to (wzór na całkowanie przez części ) b b udv = [uv ] a b vdu. a a 20 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

21 Całki oznaczone Jeżeli funkcja g (x ) jest funkcją ciągłą, funkcja g (x ) jest funkcją rosnącą w przedziale [a, b ], a funkcja f (u ) jest funkcją ciągłą w przedziale [g (a ), g (b )], to (wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych ) b g (b ) f (g (x ))g (x )dx = f (u )du. a g (a ) Przykład 1. Obliczyć /2 x sinx dx. 0 Na podstawie wzoru na całkowanie przez części mamy /2 /2 /2 x sinx dx = x d (cosx ) = [ x cosx ] 0 /2 + cosx dx = [sin x ] 0 /2 = Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

22 Całki oznaczone Przykład 2. Obliczyć /2 sin 2 x cosx dx. 0 Stosujemy wzór na całkowanie przez podstawienie przyjmując sinx = u. Mamy /2 1 sin 2 x cosx dx = u 2 du = [(1/3)u 3 ] 0 1 = 1/ Przykład 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej y = x 3 + x 2 2x, odcinkiem osi Ox oraz rzędnymi w punktach x = 2 i x = 2. Pole podanego obszaru jest równe 2 P = |x 3 + x 2 2x |dx Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

23 Całki oznaczone Aby obliczyć całkę, musimy znać znaki wartości funkcji y = x 3 + x 2 2x w przedziale [ 2, 2]. W tym celu znajdujemy pierwiastki równania x 3 + x 2 2x = x (x 2 + x 2) = 0. Mamy x 1 = 2, x 2 = 0 i x 3 = 1. Przedział [ 2, 2] rozbijamy na trzy przedziały: [ 2, 0], [0, 1] i [1, 2]. W pierwszym i trzecim przedziale funkcja ma znak nieujemny, a w drugim – niedodatni. Zatem P = (x 3 + x 2 2x )dx (x 3 + x 2 2x )dx + (x 3 + x 2 2x )dx = [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2 ] 2 0 [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2 ] [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2 ] 1 2 = (8/3) + (5/12) + (37/12) = 37/6. 23 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego


Pobierz ppt "Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Andrzej Marciniak Podstawy analizy matematycznej III Zajęcia."

Podobne prezentacje


Reklamy Google