Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 wykład 1g. ćwiczenia 1g. Konsultacje: czwartek 13-15 Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński pok. 718 Katedra Inżynierii.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 wykład 1g. ćwiczenia 1g. Konsultacje: czwartek 13-15 Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński pok. 718 Katedra Inżynierii."— Zapis prezentacji:

1 Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 wykład 1g. ćwiczenia 1g. Konsultacje: czwartek Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński pok. 718 Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

2 Zagadnienia (wykłady): Pojęcie pola, pole wektorowe i skalarne, źródła pól. Własności ośrodków materialnych. Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola. Pole elektryczne i jego źródła. Pojęcie gęstości ładunków. Dipol elektryczny. Potencjał elektryczny, sens fizyczny, pojęcie różnicy potencjałów. Pole magnetyczne i jego źródła. Prawo sił Ampera. Prawo Biot-Savartea. Wektorowy potencjał magnetyczny. Dipol magnetyczny, konfiguracja Helmholtza, solenoid. Równanie Poissona i Laplacea, równanie ciągłości.

3 Prawa elektrodynamiki: prawo Gaussa, prawo źródeł magnetycznych, prawo Faradaya, uogólnione obwodowe prawo Ampera. Równania Maxwella Zależności energetyczne. Zasada zachowania mocy i energii. Równanie Poyntinga. Warunki spełnione przez wektory pól na granicy dwóch ośrodków materialnych. Czas relaksacji. Warunki graniczne przy powierzchni idealnego przewodnika.

4 Program ćwiczeń (15 godz.): 1.Rachunek wektorowy. 2.Układy współrzędnych ortogonalnych. 3.Operacje wektorowe oraz różniczkowo-całkowe w układach współrzędnych ortogonalnych. 4. Operatory różniczkowe: gradient, dywergencja 5. Operatory różniczkowe: rotacja, laplasjan 6. Twierdzenie Gaussa i Stokesa 7. Badanie pól wektorowych i skalarnych 8. Kolokwium

5 Program ćwiczeń (15 godz.) c.d.: 9. Prawo Coulomba, potencjał elektryczny 10. Źródła pola elektrycznego, prawo Gaussa 11. Równanie Laplacea i Poissona 12. Źródła pola magnetycznego, prawo sił Ampera, prawo Biot-Savartea 13. Prawo Faradaya, uogólnione obwodowe prawo sił Ampera 14. Zasada zachowania energii 15. Kolokwium II

6 Warunki zaliczenia w trakcie semestru: 2 kolokwia w ramach ćwiczeń: 50 pkt. Test z teorii (ostatni tydzień zajęć): 50 pkt. W sumie do zdobycia: 100 pkt. Ocena dostateczna wymaga uzyskania sumarycznie 50 pkt., przy warunku min.20 pkt. z ćwiczeń i 20 pkt. z testu. Uzyskanie 30 pkt. z ćwiczeń (zadań) lub z testu nie wymaga powtarzania zaliczenia tej części w kolejnych terminach.

7 dobry pluspkt celującypkt bardzo dobrypkt dobrypkt dost. pluspkt dostatecznypkt Skala ocen: Podręczniki: 1.T. Morawski, W. Gwarek, Teoria Pola Elektromagnetycznego (Pola i Fale Elektromagnetyczne), WNT, Warszawa, David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, oraz różnorodne podręczniki z fizyki na poziomie uniwersyteckim obejmujące elektryczność i magnetyzm, elektromagnetyzm i elektrodynamikę.

8 częstotliwość f1 Herz = 1Hz = 1/s potencjał elektryczny, napięcie U1 Volt = 1V natężenie prądu I1 Amper = 1 A gęstość powierzchniowa prądu J s 1 A/m 2 praca lub energia W1 Joul = 1 J = 1 V*A*s moc P1 Watt = 1 W powierzchniowa gęstość mocy p, S1 W/m 2 objętościowa gęstość mocy p v 1 W/m 3 ładunek elektryczny q, Q1 Culomb = 1 C = 1 A*s objętościowa gęstość ładunku ρ v 1 C/m 3 objętościowa gęstość energii w1 J/m 3 = 1 V*A*s/m 3 Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

9 moc P1 Watt = 1 W powierzchniowa gęstość mocy p, S1 W/m 2 objętościowa gęstość mocy p v 1 W/m 3 ładunek elektryczny q, Q1 Culomb = 1 C = 1 A*s objętościowa gęstość ładunku q v 1 C/m 3 powierzchniowa gęstość ładunku q s 1 C/m 2 liniowa gęstość ładunku1 C/m natężenie pola elektrycznego E1 V/m natężenie pola magnetycznego H1 A/m Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

10 indukcja elektryczna D1 C/m 2 = 1 A*s/m 2 indukcja magnetyczna B1Tesla [T] = 1 Wb/m 2 = 1 V*s/m 2 pojemność elektryczna C1 Farad = 1 F = 1 A*s/V przenikalność elektryczna ε1 F/m = 1 A*s/V*m indukcyjność L1 Henr = 1 H = 1 V*s/A przenikalność magnetyczna μ1 H/m = 1 V*s/A*m wektorowy potencjał magnetyczny A1 Weber/m = 1Wb/m = 1 V*s/m rezystancja R1 Ohm = 1 Ω = 1 V/A rezystywność ρ1 Ω/m przewodność (konduktywność) σ1 Siemens/m = 1 S/m = 1/ Ω*m Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

11 Elektrodynamika Elektrodynamika – elektryczność i magnetyzm ? Elektrodynamika Elektrodynamika – kwantowa czy klasyczna ? Elektrodynamika klasyczna: niekwantowe przybliżenie praw elektromagnetyzmu, lub przypadek graniczny elektrodynamiki kwantowej.

12 Założenia elektrodynamiki klasycznej: - materia traktowana jest jako ośrodek ciągły - zależność wszystkich wielkości od czasu jest zdeterminowana - energia rozchodzi się w postaci fal Elektrodynamika klasyczna: nauka opisująca zachowanie się i oddziaływanie obiektów materialnych obdarzonych ładunkami elektrycznymi oraz analizą zjawisk temu towarzyszących.

13 Pole elektromagnetyczne ? Przestrzeń, z której każdym punktem można związać wartość jednego z czterech pól wektorowych: - natężenie pola elektrycznego [V/m] - natężenie pola magnetycznego [A/m] - indukcja pola elektrycznego lub gęstość strumienia elektrycznego [C/m 2 ] - indukcja pola magnetycznego lub gęstość strumienia magnetycznego [Wb/m 2 ] - źródłami pola są ładunki i prądy - rozchodzi się (pole - zaburzenie?) w przestrzeni ze skończoną i stałą niezależną od obserwatora prędkością: c 300Mm/s = 3 * 10 8 m/s

14 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Ogólnie przestrzeń nas otaczającą można podzielić na: próżnię i ośrodki materialne. Próżnia w ujęciu klasycznej elektrodynamiki posiada zdolność przenoszenia i magazynowania energii, a więc pewnej formy materii – niekonsekwencja w/w podziału? Własności ośrodków materialnych: stany skupienia jednorodność liniowość izotropowość dyspersyjność

15 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Stany skupienia stały ciekły gazowy plazma ? Plazma Plazma – ośrodek całkowicie zjonizowany, obojętny elektrycznie dla zewnętrznego obserwatora, np. jonosfera

16 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE JEDNORODNOŚĆ Równania materiałowe: εprzenikalność elektryczna[F/m] μprzenikalność magnetyczna[H/m] σprzewodność[S/m] Ośrodek nazywamy jednorodnym jeżeli parametry materiałowe zależą od punktu przestrzeni, tzn. zachodzi: Jeżeli przynajmniej jedna z powyższych nierówności nie jest spełniona, to ośrodek jest niejednorodny ze względu na dany parametr materiałowy.

17 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE LINIOWOŚĆ Jeżeli równania materiałowe – zawierające parametry nie zależą od wartości przyłożonych pól, to ośrodek nazywamy liniowym. Oznacza to, że równania: są równaniami liniowymi W przeciwnym przypadku: są równaniami nieliniowymi i tak też są nazywane odpowiednie ośrodki

18 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE izotropowość - anizotropowość Jeżeli wektory są parami równoległe, czyli parametry materiałowe są wielkościami skalarnymi, to ośrodek zaliczamy do izotropowych. W przeciwnym przypadku, gdy wielkości te mają charakter tensorowy, czyli własności ośrodka zależą od kierunku w przestrzeni, ośrodek nazywamy anizotropowym. Mogą zachodzić wtedy relacje typu: gdzie: - tensor przenikalności elektrycznej, np. magnesowana plazma; - tensor przenikalności magnetycznej, np. magnesowany ośrodek ferrytowy; - tensor przewodności, np. papier pokryty warstwą rezystywną.

19 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE izotropowość - anizotropowość Przykładowa relacja: Gdy tensor jest symetryczny, mówimy o anizotropii zwykłej. Gdy własności ośrodka zależą od specyficznego kierunku pola polaryzującego ośrodek (np. stałe pole lub ) wprowadza się pojęcie ośrodka żyrotropowego. Przykładowo magnesowany w kierunku osi z ferryt opisany jest tensorem postaci:

20 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Czasem spotyka się proste postaci tensorów przenikalności, spotykane w kryształach, ceramice podłożowej, nazywane przypadkiem anizotropii jednoosiowej: Najnowsze badania materiałowe pozwalają wytworzyć ośrodki nazywane bianizotropowymi, dla których wektory indukcji zależą jednocześnie od pól i :

21 ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Jeżeli parametry (własności) ośrodka zależą od częstotliwości sygnału, który do tego ośrodka wprowadzamy, to nazywamy taki ośrodek dyspersyjnym; w przeciwnym przypadku: ośrodek bezdyspersyjny. DYSPERSYJNOŚĆ

22 Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola - punkt źródła - punkt pola (obserwator) (x,y,z) punkt obserwacji - wektor źródła - wektor pola na ogół Definiujemy czyli wektor wiążący położenie źródła i punkt obserwacji: (x,y,z) - źródło

23 zmiana punktu pola (punktu obserwacji): zmiana położenia źródła: gdzie operator :

24 Czasem wykorzystuje się zależności: wykazać! gdzie jest funkcją delta Diraca zdefiniowaną relacją: jeśli V obejmuje R=0 jeśli V nie obejmuje R=0 jeśli V obejmuje R=0 jeśli V nie obejmuje R=0

25 Pole elektryczne Def. lub bardziej precyzyjnie: Prawo Coulomba:

26 ale czyli: Stąd: gdzie:

27

28 Układ źródeł punktowych Rozważmy pole wywołane zbiorem ładunków punktowych rozłożonych w przestrzeni: czyli: lub gdzie:

29 W praktyce obserwujemy fluktuację przestrzenną ładunków (e, jony). Ujęcie makroskopowe: Zastąpienie układu ładunków dyskretnych ciągłym rozkładem ładunków. Rozważmy objętość V zawierającą pewien rozkład ciągły ładunków: - objętościowa gęstość ładunków

30 Def.: Podobnie, gdy rozważymy powierzchnię z równomiernie rozłożonymi ładunkami. Wtedy: oraz dla ciągłego rozkładu ładunków wzdłuż pewnej linii: Ładunek związany z objętością, powierzchnią, linią: Całkowity ładunek odpowiednio:

31 Dla dyskretnego rozkładu ładunków: czyli dla rozkładu ciągłego:gdy oraz lub

32 Przykład: Pole elektryczne wytworzone przez ładunki punktowe o ciągłym rozkładzie liniowym

33 brak możliwości wystąpienia składowej ale czyli:

34 Wniosek: Składowa radialna pola elektrycznego od nieskończonego ładunku liniowego zmienia się jak (w układzie cylindrycznym). Pole wywołane źródłami punktowymi zmienia się jak (w układzie sferycznym).

35 Przykład: Statyczny dipol elektryczny -2 ładunki – równe – różnoimienne – odległe o d moment dipolowy elektryczny:

36 Ale, jeżeli r >> d, wtedy: czyli:

37 Uwzględniając: r >> d Ale:

38 czyli dla r >> d Pole pochodzące od dipola elektrycznego zanika jak (w układzie sferycznym).

39

40 Potencjał elektryczny Rozważmy 2 ładunki jednoimienne - siła oddziaływania coulombowskiego - siła mechaniczna potrzebna dla utrzymania równowagi

41 Praca – potrzebna do przesunięcia ładunku q: ale czyli: Praca całkowita – potrzebna do przesunięcia ładunku q z punktu 1 do punktu 2:

42 RÓŻNICA POTENCJAŁÓW Jeżeli punkt 2, to, tzn. potencjał wywołany źródłem umieszczonym w nieskończoności

43 - jeżeli cząsteczka naładowana porusza się przeciwnie w stosunku do kierunku pola elektrycznego, wtedy praca jest dodatnia – analogia do mechanicznego pola grawitacyjnego Wtedy: Praca na jednostkę ładunku wykonana przez siły pola na przemieszczenie ładunku jednostkowego do nieskończoności Praca na jednostkę ładunku, którą należy wykonać przeciw siłom pola, aby przemieścić ładunek jednostkowy z nieskończoności do punktu 1 Potencjał elektryczny równoważny jest pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku w polu elektrycznym

44 POLE MAGNETYCZNE Założenia: 1.Źródła: prądy, magnesy trwałe 2.Ładunek testujący porusza się z prędkością, tworząc w ten sposób element prądowy: 3. Siła oddziaływania magnetycznego jest prostopadła do (eksperyment) Równanie: wiążące amplitudę siły i pola B (gęstość strumienia magnetycznego):

45 jest to definicja wektora - określająca siłę działającą na ruchomy ładunek testujący lub dokładniej: F max – największa wartość siły jaka obserwowana jest przy zmianie kierunku wektora. Uwzględniając kierunki wektorów:

46 Energia dostarczona ruchomemu ładunkowi przez pole : RÓWNANIE SIŁ LORENZA dla ładunku punktowego gdy oba pola występują równocześnie:

47 W praktyce określa się siłę działającą nie na pojedynczy ładunek ruchomy, ale wywieraną na ciągłe przestrzenne rozkłady poruszających się ładunków lub na przewodnik z prądem. Rozważmy cylinder z ruchomym ładunkiem poruszającym się z prędkością.

48 Gęstość prądu przenikającego przez A:

49 RÓWNANIE SIŁ LORENZA dla ciągłego rozkładu ładunków czyli, ponieważ mają zgodne kierunki: lub, gdy występują jednocześnie: Gdy A jest const. Wygodnie jest wprowadzić natężenie prądu:

50 wtedy :czyli: gdy długość przewodnika wynosi :

51 Magnet N S S Coil Moving Cone Vibration Axis

52 analog prawa Coulomba prawo magnetostatyczne określa siłę oddziaływania dwóch elementów prądowych (w postaci różniczkowej) lub siłę wzajemnego oddziaływania pętli z prądami (w postaci całkowej) pętla źródłowa (1)pętla testująca (2)

53 W postaci różniczkowej: W postaci całkowej – siła działająca na pętlę testującą w obecności pętli źródłowej:

54 Korzystając z definicji pola wytworzonego przez element prądowy: mamy więc: gdzie określa przyrost wektora strumienia magnetycznego wywołany elementem źródłowym oraz korzystając z prawa sił Ampera:

55 odczytujemy: pole magnetyczne wytworzone przez element prądowy albo całkowite pole generowane przez pętlę źródłową: PRAWO BIOT-SAVARTEa dla pojedynczej pętli z prądem I Ponieważ: więc PRAWO Biot-Savartea w postaci różniczkowej

56 Jeżeli element źródłowy zawarty jest w objętości V, to całkowite pole wytwarzane przez źródła w V : wcześniej znaleźliśmy: Prawo Biot-Savartea dla źródeł istniejących w pewnej objętości V czasem: całka źródeł prądowych

57 POTENCJAŁ WEKTOROWY Tożsamość wektorowo-różniczkowa: czyli: gdyż działa na zmienne pola, a jest zależny od Pole wytworzone przez źródła zawarte w objętości V: lub

58 Implikuje to możliwość wprowadzenia wektorowej funkcji potencjalnej : Łatwo zauważyć, że (tożsamość): czyli: - pole wektorowe, którego amplituda i kierunek określane są przez całkę źródeł prądowych prawo źródeł magnetycznych

59 1. Pętla z prądem I

60 PRAWO BIOT-SAVARTEA: oraz ze względu na symetrię znak – dla znak + dla

61 Zauważamy, że dla oraz jeśli zastosujemy N - pętliNII

62 2. Konfiguracja Helmholtza y x I I d a a z Każda z cewek (pętli) może posiadać N przewodników:

63 Wykazać: dla Znaleźć:jeżeli 3. Solenoid cylinder z N pętli przewodzących rozłożonych równomiernie na długości L L P z a z z

64 Liczba przewodników na element długości wynosi Pole w punkcie z: Obliczając: Gdy L >> a oraz wtedy: i przy tych założeniach jest jednorodne

65 4. Dipol magnetyczny Rozważmy pole magnetyczne wytworzone przez pętlę z prądem. Szukamy tego rozwiązania w dowolnym punkcie przestrzeni. a

66 Potencjałale czyli: oraz można wykazać, że: jednocześnie, przy r >> a, otrzymuje się: po scałkowaniu:

67 Pamiętając, że, natomiast z rysunku magnetyczny moment dipolowy definiując magnetyczny moment dipolowy można zapisać wektorowy potencjał magnetyczny: pole magnetyczne wytworzone przez pętlę z prądem (dipol magnetyczny): pole wytworzone przez dipol elektryczny: dla porównania pole wytworzone przez dipol elektryczny: ale pamiętając, że:

68 5. Przewodnik z prądem I r P I Biot-Savarta Z prawa Biot-Savarta

69 uwzględniając (z rysunku): czyli pole wytworzone przez nieskończenie długi przewodnik z prądem I:

70 Rozważmy dwa długie przewodniki, w których płyną prądy oraz : siła / jednostkę długości: (współrzędne cylindryczne)

71

72 Prawa pola elektromagnetycznego PRAWO GAUSSA Rozważmy ładunek punktowy Q otoczony pewną dowolną powierzchnią S

73 Strumień pola elektromagnetycznego przenikający powierzchnię dS: Całkowity strumień przenikający powierzchnię zamkniętą S: Rzut wektora na kierunek pola

74 Pole wytworzone przez ładunek punktowy - z prawa Coulomba: Całkując po powierzchni kuli o promieniu R: Całkowity strumień pola D Całkowity strumień pola E równy jest ładunkowi Q istniejącemu w objętości ograniczającej powierzchnię S równy jest ładunkowi Q istniejącemu w objętości ograniczającej powierzchnię S (odniesionemu do przenikalności elektrycznej ośrodka)

75 Prawo Gaussa Całkowite pole D lub E (strumień) przenikające określoną powierzchnię zamkniętą S jest proporcjonalne do całkowitego ładunku Q zawartego wewnątrz objętości V przy dowolnym /dyskretnym lub ciągłym/ rozkładzie przestrzennym ładunku. W przypadku ładunku punktowego jego położenie wewnątrz V ograniczonej przez powierzchnię S jest dowolne.

76 Wcześniej określiliśmy polegdy znane były jego źródła: Zakładając spełnienie wszystkich założeń dotyczących ciągłości i różniczkowalności można wykonać operację div w pewnym punkcie pola: lub:

77 Gdy całkowanie jest rozciągnięte na objętość V zawierającą ładunek o gęstości : oraz pamiętając definicję : lub dla ośrodka izotropowego o znanej przenikalności elektrycznej: Prawo GAUSSA w postaci różniczkowej (dla punktu przestrzeni) jeśli V obejmuje R=0 jeśli V nie obejmuje R=0 Korzystając z własności:

78 Całkując po dowolnej objętości V: lub oraz korzystając z twierdzenia Gaussa /twierdzenia o dywergencji/:

79 Czasem zapisuje się ogólnie - aby uwzględnić wszystkie formy istnienia (opisu) ładunków: PRAWO GAUSSA – słuszne jest zarówno w przypadku statycznym, jak i dynamicznym – prawo elektrodynamiki

80 RÓWNANIE POISSONA i LAPLACEA Z prawa GAUSSA w postaci różniczkowej: zakładając, żeośrodek jest jednorodny i izotropowy:

81 czyli: Równanie Poissona wiąże funkcję potencjalną z gęstością ładunku. W wielu przypadkach funkcja potencjalna jest wykorzystywana w obszarach, gdzie. Wtedy: Równanie Laplacea

82 Przykład 1: Nieskończona płaszczyzna z ładunkiem o gęstości Z prawa Gaussa:

83 czyli stąd dwie płaszczyzny z ładunkami różnoimiennymi

84 Rozważmy statyczne pole elektryczne: Pole elektryczne Czyli, wykonując operację rotacji otrzymujemy: lub ? nie jest to słuszne dla przypadku zmian w czasie Pole elektryczne jest zachowawcze (podobnie jak pole grawitacyjne) A B

85 Eksperyment Faradaya: pętla źródłowa pętla detekcyjna Napięcie pomiędzy dwoma punktami pętli odbiorczej:

86 PRAWO FARADAYA lub gdzie: stosując twierdzenie Ostrogradskiego – Stockesa: PRAWO FARADAYA w postaci całkowej

87 Jeżeli S nie zmienia się w czasie, wtedy: porównując wyrażenia podcałkowe, otrzymujemy dla punktu przestrzeni (postać różniczkowa):

88 RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI Rozważmy objętość V zawierającą ładunek Q Prąd I przepływający przez powierzchnię S ograniczającą V Całkowity prąd wypływający z V musi powodować zmniejszenie się ładunków zmagazynowanych wewnątrz V, czyli:

89 Wykorzystując twierdzenie o div: Równanie ciągłości w postaci całkowej Ponieważ V tu jest dowolne, więc: Równanie ciągłości w postaci różniczkowej (dla punktu przestrzeni) W przypadku statycznym, tzn. gdy Równanie ciągłości dla przypadku statycznego

90 PRAWO ŹRÓDEŁ MAGNETYCZNYCH Odpowiednik prawa Gaussa – określa własności źródeł pola. - wektor gęstości strumienia magnetycznego. Całkowity strumień przenikający powierzchnię S: Dowiedziono eksperymentalnie, że nie istnieją ładunki magnetyczne analogiczne do elektrycznych, których własności opisuje prawo Gaussa. Postać różniczkowa prawa źródeł magnetycznych Postać całkowa prawa źródeł magnetycznych

91 Nie oznacza to, że nie ma źródeł pola magnetycznego, a jedynie brak ładunków punktowych magnetycznych, które stanowią punkty końcowe linii sił pola. W konsekwencji – linie sił pola są liniami zamkniętymi. - pole magnetyczne nazywane jest dlatego: solenoidalnym l u b b e z ź r ó d ł o w y m (źródłowość, czyli )

92 OBWODOWE PRAWO AMPERA (Prawo Ampera – Oersteda) Oersted wykazał, że pola magnetyczne wytwarzane są przez prądy. Amper sformułował dla przypadku statycznego : gdzie: I – całkowity prąd elektryczny płynący w zamkniętej pętli

93 Bardziej ogólnie: lub

94 z twierdzenia Stokesa: stąd, jeśli S jest dowolna postać różniczkowa obwodowego prawa Ampera Prawo Faradaya – analog (?): Prawo Ampera:

95 POSTAĆ UOGÓLNIONA OBWODOWEGO PRAWA AMPERA Dla mamy: Wykonujemy operację div: czyli statyczna postać równania ciągłości

96 Maxwell zaproponował wprowadzenie do obwodowego prawa Ampera dodatkowego składnika – zależnego od czasu: Wykonujemy operację div: Z prawa GAUSSA: czyli stąd równanie ciągłości Wynik potwierdza zasadność wprowadzenia składnika:

97 POSTAĆ CAŁKOWA OGÓLNEGO PRAWA AMPERA (RÓWNANIE MAXWELLA) Jest to prawo analogiczne do prawa Faradaya Pole (typu ) może zostać wywołane przez zmienne pole

98 Przykład 2 Kondensator II A Jeżeli prąd I nie zmienia się w czasie to i narastają do pewnej wartości. Czyli przepływ prądu związany jest z przemieszczaniem ładunków w czasie i powstaniu w kondensatorze

99 Prąd Gęstość prądu przesunięcia: lub o ten składnik uzupełnił Maxwell równanie Ampera

100 RÓWNANIA MAXWELLA Obwodowe prawo Ampera Prawo Faradaya Prawo Gaussa Prawo źródeł magnetycznych postać różniczkowa słuszna dla dowolnie wybranego punktu przestrzeni

101 W p o s t a c i c a ł k o w e j : Ponadto: orazrównania materiałowe:

102 UWAGI O RACHUNKU SYMBOLICZNYM Wektor zespolony: wektor, którego składowe mogą być dane liczbami zespolonymi Ogólnie: przy czym zachodzi: Rzeczywista chwilowa wielkość pola: D e f i n i u j e m y :

103 przykład: stąd gdyż Zaleta takiej notacji: czyli obliczenie pochodnej zastępujemy mnożeniem przez (omijając na ogół i )

104 OPERACJA MNOŻENIA WIELKOŚĆ ŚREDNIA W CZASIE: Wielkość średnia iloczynu:

105 RÓWNANIA MAXWELLA dla amplitud zespolonych (pobudzenie harmoniczne)

106

107

108

109 ZALEŻNOŚCI ENERGETYCZNE SIŁA działająca na ładunki ŁADUNKI PUNKTOWE Rozważmy ciągły rozkład ładunków:

110 RÓWNANIE LORENZA ale czyli: G ę s t o ś ć o b j ę t o ś c i o w a s i ł y : czyli: Całkowita siła:

111 ENERGIA UKŁADU ŁADUNKÓW 1. Ładunki punktowe Energia praca niezbędna do rozmieszczenia ładunków w danej konfiguracji 1.Przesunięcie z nie trzeba wykonywać pracy, bo brak pola 2. Przesunięcie z praca 3.Przesunięcie z praca potencjał w punkcie (2) od ładunku w punkcie (1) potencjał w punkcie (3) od ładunku w punkcie (1) potencjał w punkcie (3) od ładunku w punkcie (2)

112 CAŁKOWITA PRACA potrzebna do zgromadzenia pewnej liczby ładunków Zachodzi: Ogólnie: Stąd: Dodając oba wyrażenia i dzieląc przez 2 mamy: gdzie:

113 CIĄGŁY ROZKŁAD ŁADUNKÓW gdy Energia całkowita niezbędna dla zgromadzenia ładunków o gęstości w objętości Gęstość objętościowa energii: gdy

114 Wprowadzamy wektor Z prawa Gaussa: czyli: Skorzystajmy z własności: Wprowadzając oraz korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego:

115 Aby objąć wszystkie ładunku dążymy z wtedy: gdyż więc Objętościowa gęstość energii elektrycznej

116 Z poprzedniej definicji, czyli : gdy Z POWYŻSZEJ DEFINICJI TO NIE WYNIKIA Pozorna sprzeczność jest konsekwencją założenia, że ZASADA ZACHOWANIA ENERGII Ładunek w polusiła (Lorenza) Można przypuszczać, że pole gromadzi energię. Gdy proces ten trwa przez pewien czas – transmisja mocy przez pole. Energia kinetyczna cząstki (z mechaniki klasycznej)

117 Dla ciągłego rozkładu ładunków z prędkością gęstość objętościowa mocy dostarczonej do naładowanego ośrodka przez pole w miejscu, gdzie określony jest wektor gęstość objętościowa energii (przyspieszenie cząstek, grzanie przy zderzeniach) Uwaga – przechodząc w dziedzinę wielkości zespolonych, można zauważyć: gdy i są w fazie wtedy ma składową rzeczywistą: straty mocy na ciepło Joula gdy i są w kwadraturze (90 o w czasie): gromadzenie energii (jak w obwodach rezonansowych)

118 Z równań Maxwella Tożsamość:

119 ale czyli zasada zachowania energii – w postaci różniczkowej: w postaci całkowej (z tw. Gaussa-Ostrogradzkiego)

120 W – energia wewnątrz (zmienna w czasie) – wektor gęstości powierzchniowej mocy opuszczającej V Całkowita moc P c opuszczająca : Wielkość ta powinna być równa zmianom w czasie energii W, czyli: alestąd

121 lub Zasada zachowana energii (mocy) gdzie: wektor Poyntinga gęstość energii przekazywanej przez pole cząstkom – nośnikom ładunków gęstość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym gęstość energii zmagazynowanej w polu elektrycznym

122 ZESPOLONA POSTAĆ zasady zachowania energii (mocy) Przy opisie przebiegów harmonicznych wprowadza się notację amplitud zespolonych wtedy:definiujemy zespolony wektor Poyntinga: Często posługujemy się wartościami średnimi w czasie Wcześniej wykazaliśmy, że wartość średnia iloczynu dwóch wielkości rzeczywistych = może być wyznaczona jako:

123 Zachodzi więc (wykazać):

124 Skorzystajmy z równań Maxwella zapisanych dla amplitud zespolonych: Korzystając z tożsamości: W rezultacie:

125 Całkując i stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego: Rozdzielimy to równanie poszukując części rzeczywistej i urojonej: Część rzeczywista: lub

126 WARTOŚĆ ŚREDNIA MOCY przesyłanej przez powierzchnię zamkniętą S równa jest mocy przekazywanej przez pole naładowanym cząstkom wewnątrz S. Część urojona: lub WARTOŚĆ UROJONA ŚREDNIEJ MOCY przesyłanej przez powierzchnię zamkniętą S pozostaje w określonym związku z różnicą wartości średnich energii zmagazynowanych w objętości V w polu elektromagnetycznym.

127 WARUNKI GRANICZNE GRANICA IDEALNA GRANICA RZECZYWISTA

128 SKŁADOWE NORMALNE W granicy, gdy lub ΔSΔS

129 stąd lub Rozważmy pole czyli ale czyli

130 SKŁADOWE STYCZNE

131 W granicy, gdy gdzie: jest gęstością liniową prądu płynącego po nieskończenie cienkiej powierzchni Uwzględniając:

132 ale czyli: stąd, ponieważ jest styczne do powierzchni granicznej, ale wybrane arbitralnie: Zauważamy, że

133 Przechodząc do wektora W POLU ELEKTRYCZNYM stądwięc lub

134 czylilub CZAS RELAKSACJI Zakładamy, że w V istnieje rozkład ładunków: Chcemy znaleźć:

135 stąd Inaczej: czas relaksacji

136 Dobry dielektryk: Dobry przewodnik:

137 WARUNKI GRANICZNE NA POWIERZCHNI IDEALNEGO PRZEWODNIKA 1. brak ruchu ładunków wewnątrz objętości idealnego przewodnika, 2. nie ma (w konsekwencji) pól, 3. w stanie statycznym powierzchnia przewodnika jest ekwipotencjalna 4. na powierzchni przewodnika może wystąpić ruch ładunków opisywany prądem, 5. na powierzchni przewodnika może istnieć rozkład ładunków

138 idealny przewodnik idealny dielektryk czyli: ale czyli: Pola nie mają składowej stycznej przy powierzchni idealnego przewodnika.

139 Pola nie mają składowej normalnej przy powierzchni idealnego przewodnika. ale czyli: Podobnie: ale czyli:

140 WNIOSEK: przy powierzchni idealnego przewodnika: pole może mieć różną od zera składową normalną może mieć różną od zera składową styczną


Pobierz ppt "Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 wykład 1g. ćwiczenia 1g. Konsultacje: czwartek 13-15 Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński pok. 718 Katedra Inżynierii."

Podobne prezentacje


Reklamy Google