Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Reinhard Kulessa1 Wykład 6 5.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli W celu wyznaczenia natężenia posłużymy.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Reinhard Kulessa1 Wykład 6 5.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli W celu wyznaczenia natężenia posłużymy."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli W celu wyznaczenia natężenia posłużymy się prawem Gaussa. E R A A =const r r dA

2 Reinhard Kulessa2 E R A A r r dA =const Zgodnie z równaniem (5.17) wyrażenia na natężenie pola i potencjał w odległości r>R od środka naładowanej nieprzewodzącej kuli są następujące: Powierzchnia sferyczna o promieniu r wewnątrz kuli obejmuje tylko część ładunku Q(r ). (5.19a)

3 Reinhard Kulessa3 Wobec tego zgodnie z prawem Gaussa: r

4 Reinhard Kulessa4 Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i potencjał jest takie jak we wzorze (5.19a) Na odległości r

5 Reinhard Kulessa Dipol elektryczny Policzymy potencjał i natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego, czyli układu dwóch jednakowych ładunków o przeciwnych znakach znajdujących się w pewnej odległości od siebie. PP -Q+Q L L cos Potencjał w punkcie P liczymy zgodnie z zasadą superpozycji.

6 Reinhard Kulessa6 Dla dużych r zachodzi r + || r || r - i wtedy możemy napisać Na potencjał w punkcie P otrzymujemy wyrażenie; -Q+Q L L cos

7 Reinhard Kulessa7 (5.22) Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym. Otrzymujemy więc: (5.23) Widzimy więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r 2, podczas gdy Potencjał ładunku punktowego maleje jak 1/r.

8 Reinhard Kulessa8 W oparciu o znany potencjał policzmy natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola. Ponieważ mamy symetrię wokół osi x, możemy wykonać obliczenia we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie. x y P Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe: Mamy więc

9 Reinhard Kulessa9 Czyli, Korzystając z zależności pomiędzy wersorami układów kartezjańskiego i biegunowego:

10 Reinhard Kulessa10 Składowe równoległa (x) i prostopadła (y) natężenia pola elektrycznego pochodzącego od dipola są następujące: (5.24)

11 Reinhard Kulessa11 Linie sił natężenia pola elektrycznego dipola, oraz linie ekwipotencjalne są przedstawione na poniższym rysunku.

12 Reinhard Kulessa Jednorodnie naładowany dysk x P dy R y Wyliczymy potencjał i natężenie pola elektrycznego na osi jednorodnie naładowanego dysku, który podzielimy na pierścienie o promieniu y i szerokości dy Na pojedynczym pierścieniu znajduje się ładunek dq. Potencjał pochodzący od żółtego pierścienia w punkcie P wynosi:

13 Reinhard Kulessa13 Całkowity potencjał uzyskamy całkując po wszystkich pierścieniach Ładunek dq zawarty w pierścieniu wynosi dq = 2 y dy. Na całkowity potencjał w punkcie P uzyskamy:

14 Reinhard Kulessa14 Pole elektryczne ma składową tylko w kierunku x. Mamy więc

15 Reinhard Kulessa15 Po zróżniczkowaniu otrzymamy na wartość natężenie pola elektrycznego w punkcie P na osi dysku wartość:

16 Reinhard Kulessa16 x y d r r - P z 5.8 Rozkład potencjału dla zadanego ładunku na multipole Aby obliczyć potencjał w punkcie P pochodzący od zadanego rozkładu ładunku w objętości stosujemy wzór (5.10).

17 Reinhard Kulessa17 (5.10) W ten sposób wyrażony potencjał, który jest funkcją wyrażenia możemy rozłożyć w szereg Taylora. Przypomnienie! Jeśli mamy jakąś ogólną funkcję to rozwinięcie tej funkcji w szereg Taylora wokół wygląda następująco:

18 Reinhard Kulessa18 Rozwijając w szereg Taylora funkcję; Policzenie odpowiednich pochodnych cząstkowych pozostawiam Państwu. Na następnej stronie przedstawione są otrzymane wyrażenia na pochodne cząstkowe.

19 Reinhard Kulessa19 i.t.d. A więc dla r> możemy potencjał V(r) przedstawić następująco:

20 Reinhard Kulessa20 Równanie to możemy napisać w następującej postaci: (5.25) Potencjał monopola Potencjał dipola Potencjał kwadrupola Widzimy więc, momentem monopolowym jest całkowity ładunek układu Q. Jest to wielkość skalarna.

21 Reinhard Kulessa21 Składowe wektora momentu dipolowego są następujące: Powyższe jest uogólnieniem wprowadzonego poprzednio momentu dipolowego dwóch ładunków +Q i -Q. Trzeci człon (3cz) w wyrażeniu (5.25) możemy przekształcić do następującej postaci: Wskazówka: korzystamy z tożsamości:

22 Reinhard Kulessa22 W wyrażeniu tym zdefiniowaliśmy tensor momentu kwadrupolowego Q ij,, który w układzie kartezjańskim ma następującą postać: (5.26)

23 Reinhard Kulessa23 (5.27) Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie: kolejne składniki maleją ze wzrostem r coraz szybciej wyraz monopolowy 1/r wyraz dipolowy 1/r 2 wyraz kwadrupolowy 1/r 3 tensor momentu kwadrupolowego zdefiniowany w r.(5.26 ma tylko pięć niezależnych składników. Wynika to z tego, Q ij =Q jj, oraz z faktu, że Q ii =0. Ponieważ V(r) jest skalarem, każdy z momentów jest odpowiednio mnożony przez wielkość zależną od r tak, aby uzyskać skalar.


Pobierz ppt "Reinhard Kulessa1 Wykład 6 5.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli W celu wyznaczenia natężenia posłużymy."

Podobne prezentacje


Reklamy Google