Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wstęp do metod numerycznych Wykład 9 Całkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wstęp do metod numerycznych Wykład 9 Całkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki"— Zapis prezentacji:

1 Wstęp do metod numerycznych Wykład 9 Całkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki

2 2 Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania. Żeby sprawnie liczyć całki, należy wcześniej dobrze opanować liczenie pochodnych. Całkę oznaczamy symbolem który przypomina rozciągniętą literę S. Symbol ten pochodzi od łacińskiego słowa Summa (suma). Poniżej uproszczona definicja całki. Całką funkcji f(x) nazywamy taką funkcję F(x), że: Funkcję F(x) spełniającą powyższy warunek nazywa się funkcją pierwotną. Samą operację całkowania zapiszemy w następujący sposób: Całkowanie funkcji

3 3 Oblicz całkę funkcji f(x) = 2x + 7. Wykonujemy następujący rachunek: Sprawdzamy rozwiązanie Należy jednak zauważyć, że znaleziona przez nas funkcja F(x) = x 2 + 7x nie jest jedynym dobrym rozwiązaniem. Do powyższej funkcji moglibyśmy dodać jeszcze dowolną liczbę i wówczas otrzymalibyśmy inną dobrą funkcję pierwotną dla funkcji f(x) = 2x + 7. Na przykład: Zatem powinniśmy napisać: gdzie C - to dowolna stała liczba rzeczywista (constans). Przykład całkowania

4 Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale ( a, b ) nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f i oznaczamy symbolem Symbol ten czytamy następująco: "całka f od x (po) dx" Funkcję f nazywamy funkcją podcałkową Zmienną x nazywamy zmienną całkowania Wyrażenie dx nazywamy różniczką zmiennej całkowania. Jeżeli F jest dowolną, ustaloną funkcją pierwotną funkcji f, to przyjmuje się następującą konwencję zapisu: stałą C nazywamy stałą całkowania. Funkcję, dla której na danym przedziale istnieje całka nieoznaczona, nazywamy całkowalną w sensie Newtona ( lub krócej całkowalną ) na tym przedziale. Definicje

5 5 Do całkowania prostych funkcji wykorzystujemy wzory całkowe, które są również przydatne przy liczeniu całek bardziej skomplikowanych funkcji. Wzory całkowe

6 W interpretacji geometrycznej, obliczenie całki oznaczonej w przedziale [a,b] to obliczenie pola pod wykresem funkcji nad osią OX oraz pod osią OX ze znakiem ujemnym, dokładnie pod fragmentem wykresu dla x zawartych w przedziale a,b. Całka oznaczona

7 Zgodnie z definicją, liczenie całki oznaczonej funkcji ƒ(x) polega na podzieleniu przedziału a,b na fragmenty a,x1, x1,x2,…,xn,b a następnie utworzeniu prostokątów o polach P 1 =ƒ(a) ⋅ (x 1 −a), P 2 =ƒ(x 1 ) ⋅ (x 2 −x 1 ), …, P n+1 =ƒ(x n ) ⋅ (b−x n ). Suma pól prostokątów jest przybliżeniem pola pod wykresem funkcji. Im więcej prostokątów o coraz krótszych bokach, tym przybliżona wartość pola jest bliższa rzeczywistej jego wartości. Jeżeli przyjmiemy Δxi=x i −x i-1 to dokładną wartość pola wyraża wzór: Ilość wyrazów dąży do nieskończoności: i→∞ Grubość prostokątów dąży do zera : Δx i →0 Całka oznaczona

8 Dla danej funkcji ƒ(x) określonej w przedziale a,b, który dzielimy w dowolny sposób na części wstawiając punkty podziału: a

9 Przykład 1: Oblicz pole pod parabolą y=x 2 w przedziale 0;1. Obliczamy całkę nieoznaczoną Całka x 2 = 1/3 x 3 Przykład 2: Oblicz pole pod jednym garbem sinusoidy y=sinx – przedział 0;Π UWAGA: Z definicji, funkcja musi być określona w przedziale całkowania, dlatego niedopuszczalne jest liczenie całki w poniższy sposób W przedziale całkowania (−1; 1) znajduje się x=0, dla którego funkcja ta jest nieokreślona. Wynik jest absurdem, zwłaszcza, że funkcja nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych. Przykład – całka oznaczona

10 Zadanie całkowania numerycznego Na podstawie znajomości wartości y i funkcji f(x) w punktach x i (narzuconych lub wybieranych) wyznaczyć wartość I całki oznaczonej z funkcji w przedziale : Zastosowania całek Splot Wartość średnia, skuteczna Energia sygnału Pola powierzchni, objętości Prawdopodobieństwo na podstawie funkcji gęstości prawdopodobieństwa Wartość przybliżona: odpowiadające im operacje sumacyjne na sygnałach dyskretnych

11 Metody całkowania numerycznego Metoda prostokątów Metoda trapezów Metody interpolacji wielomianowej Newtona-Cotesa Gaussa-Legendre’a Metoda Simpsona Metoda Monte-Carlo

12 Kwadratura 12 Gdy przedział całkowania jest skończony, wówczas numeryczne całkowanie polega na zastąpieniu funkcji podcałkowej f (x) odpowiednim wielomianem interpolacyjnym lub aproksymacyjnym ϕ(x) zbudowanym na zbiorze n + 1 węzłów o współrzędnych xi, i = 0, 1, 2,..., n. Wymaga to wówczas całkowania jedynie prostych funkcji bazowych z wykorzystaniem wzoru na I(f ). Metody całkowania numerycznego wykorzystują interpolację lub aproksymację funkcji za pomocą wielomianów algebraicznych. Podstawiając w miejsce funkcji podcałkowej f (x) wielomian algebraiczny ϕ (x) = f 0 N 0 (x) + f 1 N 1 (x) + · · · + f n N n (x) otrzymamy tzw. wzór kwadraturowy.

13 Kwadratura 13 Wzorem kwadraturowym albo krócej kwadraturą nazywamy: W którym są tzw. współczynnikami wagowymi (wagami). Wartość w i określa wielkość udziału rzędnej f i ≡ f (x i ) w wartości całej sumy S(f). Dokładność kwadratury S(f ) jest tym większa, im mniejsza jest różnica I(f) − S(f) nazywana błędem kwadratury.

14 Kwadratury dla węzłów równoodległych 14 Najprostszymi kwadraturami interpolacyjnymi są kwadratury zbudowane na węzłach równoodległych, o danych współrzędnych x i = x 0 + i · h, i = 0, 1, 2,..., n. skąd Niewiadome współczynniki w i są obliczane z układu n + 1 liniowych równań algebraicznych, które otrzymamy na podstawie kwadratury zastosowanej dla wielomianów W k (x) = x k, k = 0, 1, 2,..., n, dla których I(W k ) = S(W k ).

15 Kwadratury interpolacyjne – układ równań 15 Rozwiązaniem tego układu algebraicznych równań liniowych są wartości wag w i.

16 Metoda prostokątów Skorzystamy z definicji całki oznaczonej Riemanna, w której wartość całki interpretowana jest jako suma pól obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania. Sumę tę przybliżamy przy pomocy sumy pól odpowiednio dobranych prostokątów. Sposób postępowania jest następujący: Przedział całkowania dzielimy na n równo odległych punktów x 1,x 2,...,x n. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru: odległość między dwoma sąsiednimi punktami, będzie podstawą każdego prostokąta:

17 Metoda prostokątów Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie: Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych wartości funkcji przez odległość dx między dwoma sąsiednimi punktami - da to sumę pól poszczególnych prostokątów ograniczonych wykresem funkcji: S = f 1 dx + f 2 dx f n dx lub S = dx (f 1 + f f n ) Otrzymana suma jest przybliżoną wartością całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale

18 Wzór prostokątów - kwadratura 18 We wzorze kwadraturowym podstawmy ϕ(x) = f (x 0 ) = const. Otrzymujemy przy czym w 0 = b − a.

19 Przykład 19 Obliczymy ręcznie przybliżoną wartość całki oznaczonej z funkcji f(x) = sin(x) w przedziale. Przedział podzielimy na n+1 = 5 punktów: Odległość między dwoma sąsiednimi punktami wynosi: Dla każdego z wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x) = sin(x): Obliczamy sumę pól prostokątów: S = dx (f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ) S = 0,7854 (0, , , ,0000) S = 0,7854 × 2,4142 S = 1,8961 Dokładna wartość takiej całki oznaczonej wynosi 2 – popełniliśmy błąd około 5%

20 Algorytm 20 Po odczytaniu informacji o krańcach x p i x k przedziału całkowania ustawiamy sumę s na 0, obliczamy odległość dx pomiędzy sąsiednimi punktami podziałowymi i ustawiamy ich licznik na 1. Rozpoczynamy pętlę iteracyjną, która wykona się n-razy. Wewnątrz pętli obliczamy i-ty punkt podziałowy oraz wartość funkcji w tym punkcie, którą dodajemy do sumy s. Po zakończeniu pętli sumę s musimy jeszcze pomnożyć przez szerokość podstawy prostokątów, czyli odległość dx. Po tej operacji s zawiera wartość przybliżoną całki. Zwracamy ją użytkownikowi i kończymy algorytm.

21 Wybór położenia węzła 21 W zależności od wyboru położenia węzła x0 otrzymujemy wzory: (a) lewych prostokątów, gdy x0 = a

22 Wybór położenia węzła 22 (b) środkowych prostokątów, gdy x0 = (a + b)/2

23 Wybór położenia węzła 23 (c) prawych prostokątów, gdy x0 = b

24 Metoda trapezów 24 Metoda prostokątów nie jest zbyt dokładna, ponieważ pola użytych w niej prostokątów źle odwzorowują pole pod krzywą. Dużo lepszym rozwiązaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o wysokości dx i podstawach równych odpowiednio wartości funkcji w punktach krańcowych. Sama zasada nie zmienia się. Przedział całkowania dzielimy na n+1 równo odległych punktów x 0, x 1, x 2,..., x n. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:

25 Metoda trapezów 25 Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - będzie to wysokość każdego trapezu: Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie: Pole pod wykresem funkcji przybliżane jest polami n trapezów. Pole i-tego trapezu obliczamy wg wzoru: Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów:

26 Wzór trapezów - kwadratura 26 Jeśli do interpolacji funkcji f (x) zastosujemy interpolację za pomocą wielomianu liniowego zbudowanego na bazie Lagrange’a, to otrzymamy wzór kwadraturowy, nazywany wzorem trapezów. Wagi w i, i = 0, 1 występujące we wzorze trapezów można wyznaczyć rozwiązując układ równań:

27 Przykład 27 Porównamy wynik z metodą prostokątów dla tego samego zadania, czyli Obliczamy sumę pól trapezów: Otrzymaliśmy wynik identyczny jak w przypadku metody prostokątów i zbyt mały – powinno wyjść 2.

28 Algorytm 28 Po odczytaniu informacji o krańcach x p i x k przedziału całkowania ustawiamy sumę s na 0, obliczamy odległość dx pomiędzy sąsiednimi punktami podziałowymi i ustawiamy ich licznik na 1. Rozpoczynamy pętlę iteracyjną, która wykona się (n-1)-razy. Wewnątrz pętli obliczamy i-ty punkt podziałowy oraz wartość funkcji w tym punkcie, którą dodajemy do sumy s. Po zakończeniu pętli do sumy s dodajemy średnią wartość funkcji na krańcach przedziału i całość przemnażamy przez dx. Po tej operacji s zawiera wartość przybliżoną całki. Zwracamy ją użytkownikowi i kończymy algorytm.

29 Metoda Simpsona 29 W metodzie Simpsona fragment funkcji pomiędzy węzłami x i i x i+1 będziemy przybliżali parabolą (w metodzie trapezów była to linia prosta przechodząca przez węzły, a w metodzie prostokątów – linia pozioma). Dla paraboli wartość całki można łatwo policzyć analitycznie Przedział całkowania dzielimy na n równo odległych punktów x 1,x 2,...,x n. Punkty te wyznaczamy wg wzoru: odległość między dwoma sąsiednimi punktami: Dla każdych dwóch sąsiednich punktów wyznaczamy punkt środkowy t i wg wzoru:

30 Metoda Simpsona 30 Dla węzłów i punktów środkowych wyznaczamy wartości funkcji f: W każdym podprzedziale przybliżamy funkcję za pomocą paraboli g(x) o następującej postaci: dla i = 1,2,...,n g i (x) = a i x 2 + b i x + c i, x  Pole pod parabolą w przedziale będzie równe całce oznaczonej:

31 Metoda Simpsona 31 Przekształcając to wyrażenie możemy pozbyć się współczynników a,b,c, a więc nie trzeba ich będzie wyliczać, jak to było w przypadku różniczkowania Wartość całki dla przedziału [x p,x k ] jest przybliżona sumą całek po parabolach

32 Kwadratura dla metody Simpsona 32 Zastosowanie kwadratowej interpolacji Lagrange’a prowadzi do wzoru kwadraturowego: Po przekształceniach Dla 3 węzłów równoodległych, tzn. gdy c = 0.5 · (a + b) współczynniki wagowe wi, i = 0, 1, 2 we wzorze Simpsona oblicza się z układu równań Co daje

33 Przykład 33 Porównamy wynik z wcześniejszymi metodami dla tego samego zadania, czyli Obliczamy sumę pól pod parabolami: S = (x 2 -x 0 )/(6∙2)(f 0 + f 2 +2 f 1 + 4(f t1 +f t2 ) S = 3,1415/12 ( ∙ 0,7071) S = 0,2618 × (2+5,6569) S = 2,004

34 Algorytm 34 Odczytujemy krańce przedziału całkowania. Do obliczenia całki musimy zliczyć dwie sumy – s dla wartości funkcji w punktach podziałowych x i oraz ws t dla wartości funkcji w punktach środkowych przedziałów t i. Wyznaczamy odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi dx i rozpoczynamy pętlę, w której zmienna i pełni rolę numeru punktu podziałowego i środkowego. Pętla ta wykonuje się n-razy od i=1 do i=n włącznie. W pętli wyznaczamy x i i umieszczamy ją w zmiennej x. Następnie obliczamy wartość funkcji w t i, który jest odległy o połowę dx od wyznaczonego wcześniej punktu x i. Wartość tę dodajemy do sumy s t. Drugą sumę tworzymy w zmiennej s. Jednakże powinna ona zawierać jedynie wartości funkcji dla punktów podziałowych od x 1 do x n-1.

35 Wzory Newtona-Cotesa 35 Zastosowanie wielomianów ϕ(x) coraz to wyższych stopni we wzorze kwadraturowym prowadzi do tzw. wzorów Newtona-Cotesa. Dla wielomianów ϕ(x) kolejnych stopni n wartości współczynników wagowych w i otrzymuje się z rozwiązania układu równań. W poniższej tablicy są zestawione wartości współczynników wagowych w i : Wartości wag występujące we wzorze N-C obliczane są według wzoru

36 Metoda Monte-Carlo 36 Monte Carlo jest jedną z najczęściej używanych metod symulacyjnych. Jedną z najczęstszych aplikacji metody Monte Carlo jest całkowanie numeryczne Metoda Crude Monte Carlo Chcemy policzyć całkę z funkcji f(x) W przedziale [a, b] losujemy N punktów sortujemy ich wartości i przybliżamy Wygląda to tak samo jak całka Riemanna.

37 Algorytm 37 Obliczenia rozpoczynamy od pobrania informacji o przedziale całkowania oraz o ilości punktów losowych, które należy wygenerować w celu obliczenia wartości średniej funkcji w tym przedziale. Dokładność metody rośnie wraz ze wzrostem n. W zmiennej s będziemy obliczać sumy wartości funkcji. Zmienna ta posłuży później do wyliczenia średniej oraz samej całki oznaczonej. Na początku obliczeń ustawiamy ją na 0. W zmiennej dx zapamiętujemy szerokość przedziału całkowania. Wartość ta jest wykorzystywana zwykle przy generacji liczby losowej oraz na końcu przy obliczeniu wartości całki. Rozpoczynamy pętlę iteracyjną kontrolowaną przez zmienną i. Pętla ta wykona się n-razy. Wewnątrz pętli generujemy liczbę pseudolosową x los leżącą w przedziale.

38 M-C – metoda akceptacji – odrzuceń 38 Jest to najczęściej stosowana metoda Monte Carlo Losujemy punkty z prostokąta (może być wielowymiarowy) [a, b] ∗ [0, d]. Liczymy proporcje punktów leżących pod wykresem do ilości wszystkich punktów lub leżących nad wykresem. k – liczba punktów pod wykresem, N – liczba losowanych punktów. Przykład: policzmy całkę Losujemy N punktów z kwadratu [0, 1] i patrzymy ile z nich leży pod krzywą.

39 M-C– metoda akceptacji – odrzuceń 39

40 M-C– metoda akceptacji – odrzuceń 40

41 Zalety i wady metod M-C 41 W metodzie akceptacji – odrzuceń często trudno jest wyznaczyć wysokość prostokąta. Musimy znać wartość maksymalną i minimalną funkcji w przedziale całkowania. Pojawiają się również kłopoty w przypadku, gdy funkcja zmienia znak. Wady – ogólnie: eksperymenty dla jednak skończonej liczby prób wyniki zawsze będą przybliżeniem wyniki zależą od jakości generatora liczb pseudolosowych Zalety możliwość rozwiązania trudnych problemów prosta forma zastąpienia rozwiązań analitycznych rosnąca moc obliczeniowa komputerów uwalniają użytkownika od skomplikowanej teorii i wzorów, pozwalając skupić się na istocie pytania, na które statystyka ma odpowiedzieć

42 http://www.matemaks.pl/wprowadzenie-do-calek.html Literatura


Pobierz ppt "Wstęp do metod numerycznych Wykład 9 Całkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki"

Podobne prezentacje


Reklamy Google