Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Dlaczego rozwiązując problem inżynierski warto od razu rozwiązać problem dualny Maciej Paszyński Katedra Informatyki Akademia Górniczo-Hutnicza Kraków,

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Dlaczego rozwiązując problem inżynierski warto od razu rozwiązać problem dualny Maciej Paszyński Katedra Informatyki Akademia Górniczo-Hutnicza Kraków,"— Zapis prezentacji:

1 Dlaczego rozwiązując problem inżynierski warto od razu rozwiązać problem dualny Maciej Paszyński Katedra Informatyki Akademia Górniczo-Hutnicza Kraków, Poland home.agh.edu.pl/paszynsk

2 PLAN PREZENTACJI Przykładowy problem prosty Funkcja celu Sformułowanie silne Sformułowanie słabe Dyskretyzacja metodą Galerkina Szacowanie dokładności rozwiązania numerycznego Wpływ dokładności rozwiązania globalnego na dokładność wartości funkcji celu Rozwiązanie problemu dualnego – funkcja wpływu Przykładowe problemy proste i dualne

3 dla, Szukamy, takiego że PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY SFORMUŁOWANIE SILNE dla Naszym celem jest obliczenie wartości funkcji w punkcie (zwana funkcją celu)

4 dla, Szukamy, takiego że PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY SFORMUŁOWANIE SILNE / SFORMUŁOWANIE SŁABE dla Sformułowanie słabe dla Szukamy, takiego że Sformułowanie silne

5 Rozwiązanie przybliżone kombinacja liniowa funkcji bazowych przestrzeni PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY DYSKRETYZACJA METODĄ GALERKINA Dyskretyzacja metodą Galerkina dla Szukamy, takiego że Otrzymaliśmy układ równań liniowych o wyrazach Przykładowa baza przestrzeni o niewiadomych a i

6 SZACOWANIE DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA Jak oszacować dokładność ? Jeśli nie znam rozwiązania dokładnego, wówczas mogę rozwiązać problem słaby na większej podprzestrzni uzyskując rozwiązanie i szacując błąd względny Jeśli znam rozwiązanie dokładne u exact wówczas mogę oszacować błąd

7 Jak dokładność rozwiązania wpływa na dokładność wartości funkcji celu ZALEŻNOŚĆ DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA A DOKŁADNOŚCI FUNKCJI CELU PROBLEM DUALNY O tym mówi tzw. funkcja wpływu (influence function) którą otrzymuje się rozwiązując tzw. problem dualny

8 Jeśli B jest symetryczna wówczas rozwiązanie problemu dualnego to rozwiązanie problemu prostego dla nowej prawej strony LU faktoryzacje układu równań wykonuje się tylko raz Dla danego szukamy takiego że dla PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (1/4) dla Problem prosty Szukamy, takiego że Problem dualny Tutaj Go to funkcja Greena

9 PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (2/4) Problem prosty Jednorodny transport ciepła Funkcja celu Q(u) = wartość rozwiązania (temperatura) w punkcie (0.6,0.6) Problem dualny Problem dualny Rozwiązanie problemu dualnego funkcja wpływu (Influence function) Rozwiązanie problemu prostego – rozkład temperatury

10 PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (3/4) Problem prosty Liniowa sprężystość, problem rotacji belki Funkcja celu Q(u) = składowa przemieszczenia x na górze na środku belki Problem dualny Problem dualny Rozwiązanie problemu dualnego funkcja wpływu (Influence function) Rozwiązanie problemu prostego – pole przemieszczeń

11 PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (4/4) Problem prosty Liniowa sprężystość, obciążenie części maszyny Funkcja celu Q(u) = norma z naprężenia na środku górnego ramiona Problem dualny Rozwiązanie problemu dualnego funkcja wpływu (Influence function) Rozwiązanie problemu prostego – pole przemieszczeń

12 PODSUMOWANIE Rozwiązanie problemu dualnego dla danej funkcji celu pozwala nam znaleźć funkcje wpływu (influence function) mówiącą o tym w jakim stopniu rozwiązanie problemu prostego wpływa na wartość funkcji celu. Dzięki temu wiemy np. w jaki sposób poprawiać dokładność rozwiązania problemu prostego żeby poprawić dokładność wartości funkcji celu. W przypadku problemów symetrycznych rozwiązanie problemu dualnego uzyskujemy używając drugiej dodatkowej prawej strony – koszt obliczeniowy rozwiązania to jedna LU faktoryzacja oraz 2 podstawiania wstecz.


Pobierz ppt "Dlaczego rozwiązując problem inżynierski warto od razu rozwiązać problem dualny Maciej Paszyński Katedra Informatyki Akademia Górniczo-Hutnicza Kraków,"

Podobne prezentacje


Reklamy Google