Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji W istocie: dwa warunki:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji W istocie: dwa warunki:"— Zapis prezentacji:

1 Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji W istocie: dwa warunki:

2 Kryterium rozstrzygające Zjawisko, które nie spełnia kryterium liniowości jest nieliniowe

3 Przykład W elektrotechnice obwody RLC są nazywane liniowymi Rezystor R: tgα=1/R

4 Przykład Co mówi kryterium?

5 Przykład: cewka Cewka: Prawo znane jako reguła Lenza – rozłączanie i załączanie obwodów indukcyjnych jest ryzykowne (przepięcia)

6 Przykład: cewka Kryterium:

7 Ćwiczenie Czy kondensator jest też elementem liniowym? Kondensator:

8 Przykład R=1/D To jest układ liniowy

9 Przykład To też jest układ liniowy (zasada superpozycji)

10 Przykłady Nie są liniowe np. zjawiska na giełdzie papierów wartościowych: jeśli w ciągu miesiąca te akcje przyniosły 3 tys. zł, to w ciągu roku przyniosą 36 tys. zł. zysku (rzucam pracę!) – niestety, nie.

11 Dlaczego tak ważne, żeby rozróżniać? Nałożenie warunku na układ to stworzenie równania lub nierówności Np.: Przez ten rezystor (1kΩ) nie może płynąć prąd większy niż 100mA: (czyli przypadek graniczny:)

12 Dlaczego tak ważne...? Rozwiązanie równania to wyznaczenie jakiegoś interesującego parametru: Jeżeli mamy kilka zmiennych niezależnych, i nałożymy na nie kilka warunków ograniczających i wiążących je ze sobą, to powstanie zbiór (układ) równań

13 Dlaczego tak ważne...? Układ równań opisujących zjawiska liniowe będzie układem równań liniowych Jeśli choć jeden fragment systemu ma charakter nieliniowy – powstanie układ równań nieliniowych Na rozwiązywanie równań/układów równań liniowych jest dobra metoda, w przypadku równań/układów równań nieliniowych – jest dużo gorzej

14 Równania liniowe/nieliniowe Bez problemu można rozwiązać liniowe równanie: Niektóre równania nieliniowe można rozwiązać również dość łatwo:

15 Równania liniowe/nieliniowe Większość jednak równań nieliniowych dostarcza nam dużo większych kłopotów:

16 Układy równań liniowych Na rozwiązywanie układów równań liniowych są metody, których mają trzy ważne cechy: Algorytm zawsze kończy pracę w obrębie ściśle określonego limitu liczby kroków obliczeniowych Algorytm zawsze znajduje unikalne rozwiązanie lub potrafi stwierdzić, że takiego rozwiązania nie ma Dokładność wyznaczenia rozwiązania jest związana z dokładnością obliczeń maszyny liczącej a nie jest cechą algorytmu (można więc w pewnym sensie powiedzieć, że algorytm wyznacza rozwiązanie dokładne)

17 Układy równań liniowych Układ równań

18 Układy równań liniowych Zapis macierzowy:

19 Układy równań liniowych

20 Zapis macierzowy: macierz o rozmiarach m x n (m równań/wierszy, n zmiennych/kolumn) wektor kolumnowy zmiennych o rozmiarach n x 1 (n wierszy/zmiennych) wektor kolumnowy wyrazów wolnych o rozmiarach m x 1 (m wierszy/wyrazów wolnych)

21 Układy równań liniowych Tylko układy, które mają tyle niezależnych równań ile zmiennych dają jednoznaczne rozwiązanie, Niekoniecznie jest to tożsame z m=n – niektóre równania mogą być liniowo zależne Zamiast m liczy się tzw. rząd macierzy r, mówiący o liczbie liniowo niezależnych równań

22 Układy równań liniowych To wydaje się układ 3 równań:...ale w rzeczywistości to 2 równania – trzecie równanie to cztery razy pierwsze – równania są liniowo zależne

23 Układy równań liniowych Jeśli r < n to układ jest niedookreślony, ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n - r) parametrów Jeśli r=n to istnieje jedno unikalne rozwiązanie Jeśli m>n, to albo część równań jest linowo zależnych (dzięki czemu r<=n) albo układ jest nadokreślony – sprzeczny.

24 Układy równań liniowych Własciwości układu równań liniowych (np. istnienie rozwiązań, wrażliwość rozwiązania na fluktuacje wektora b) są określone właściwościami macierzy A (np. jej rzędem, jej spektrum) proces (A) wejście (x)wyjście (b) Równanie: jakie potrzebne x, żeby uzyskać b?

25 Układy równań liniowych Rozwiązanie układu równań można przeprowadzić za pomocą operacji macierzowych Rozwiązanie układu:

26 Rozwiązanie układu równań liniowych Rozwiązanie układu obejmuje wyznaczenie odwrotności macierzy A, z czego wynika, że musi to być macierz kwadratowa o pełnym rzędzie O dużej klasie algorytmów rozwiązujących układy równań liniowych można myśleć jako o algorytmach znajdujących odwrotność macierzy A Klasyczny algorytm to algorytm eliminacji Gaussa- Jordana

27 Algorytm Gaussa-Jordana Karl Friedriech Gauss ( )Wilhelm Jordan (1842 to 1899)

28 Algorytm Gaussa-Jordana Algorytm dąży do tego, aby skonstruować równanie Ux=d, przy czym U to macierz trójkątna górna:

29 Algorytm Gaussa-Jordana Na podstawie tej postaci łatwo wyznaczyć rozwiązania w procesie wstecznego podstawiania: z ostatniego równania wprost można wyznaczyć x n, znając x n z równania przedostatniego można wyznaczyć x n-1,itd.

30 Algorytm Gaussa Jordana

31

32

33

34 Algorytm Gaussa-Jordana Doprowadzenie do postaci trójkątnej górnej rezlizuje się w pierwszej fazie algorytmu poprzez ciąg operacji polegających na dodawaniu (odejmowania) do jednego równania wielokrotności drugiego Bezpośrednim celem każdej takiej operacji jest wyzerować współczynnik przy kolejnej zmiennej W zapisie macierzowym operacja na równaniu polega na jednoczesnym poddawaniu tym samym przekształceniom wierszowym i macierzy A i wektora b

35 Algorytm Gaussa-Jordana Np. pierwsza operacja – odjąć od drugiego wiersza pierwszy pomnożony przez : Powtórzyć to samo, dla wierszy 3 do n, zapewniając, że w każdym wierszu pierwszy współczynnik zostanie wyzerowany W drugim kroku zacząć od trzeciego równania i odjąć drugie pomnożone przez:. Kontynuować dla wierszy 4 do n Powtarzać krok algorytmu polegający na wyzerowaniu (p-1)-tego współczynnika w równaniach p do n aż osiągnięta zostanie macierz trójkątna górna (p ma się zmieniać od 2 do n)

36 Algorytm Gaussa-Jordana for p := 2 to n do for k := p to n do begin m := a(k,p-1)/a(p-1,p-1) b(k) := b(k)-b(k-1)*m; for l := 1 to n do if (l < p) then a(k,l) := 0 else a(k,l) := a(k,l) – a(k-1,l)*m; end;

37 Algorytm Gaussa - Jordana Dodatkowy element algorytmu – w każdym kroku algorytmu równania są dzielone przez wartość Dobrze jest, aby było jak największe Dlatego algorytm nie jest realizowany zgodnie z sekwencją równań, ale w każdym kroku do odejmowania wybierane jest równanie z jak największym Zabieg ten nazywany jest piwotem


Pobierz ppt "Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji W istocie: dwa warunki:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google