Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność"— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność Stabilność to jedno z najważniejszych pojęć dynamiki systemów i teorii sterowania W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy: ustabilizować system niestabilny uczynić bardziej stabilnym system stabilny Istnieje kilka możliwych definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi

2 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 2 Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny mówimy, że punkt/stan jest punktem/stanem równowagi, jeżeli jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t 0 lub k 0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście

3 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 3 Stabilny stan równowagi Niestabilny stan równowagi Uwaga 2: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny Uwaga 1: Istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności

4 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 4 Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System ciągły System dyskretny Wniosek: stan jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale mogą istnieć również inne stany równowagi Stan jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli System ciągły System dyskretny Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy odosobnionym/izolowanym (ang. isolated) stanem równowagi Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości

5 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 5 Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości System ciągły System dyskretny Jeżeli, system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System ciągły System dyskretny co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi

6 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 6 Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k wówczas dla wszystkich Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili, jeżeli dla dowolnej istnieje wartość taka, że jeżeli Stan, który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym w sensie Lapunowaa Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie stabilnym Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili, jeżeli nie jest on stabilny

7 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 7 Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego

8 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 8 taka, że jeżeli wówczas Stabilność asymptotyczna Stan jest stanem asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili, jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie asymptotycznie stabilnym Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego

9 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 9 Podane definicje stabilności dotyczą stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia spełniające warunek dla wszystkich, wówczas system Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO) Stabilność zewnętrzna - definicje

10 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 10 Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna - kryteria Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunowa Stabilność (w sensie Lapunowa) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste Dodatek A – przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności

11 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 11 Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności na kryteria stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna - kryteria Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunowa Stabilność (w sensie Lapunowa) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

12 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 12 Stabilność zewnętrzna – kryteria Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem Stabilność BIBO – system ciągły wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i Stabilność BIBO – system dyskretny równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego Dodatek B – przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej

13 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 13 Przykład 1. Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji i skokowe wejście Przyjmijmy zerowe warunki początkowe poza tym

14 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 14 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych

15 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 15 oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych

16 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 16 Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

17 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 17 ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało ukryte na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

18 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 18 Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

19 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 19 Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Wyjście systemu Takie samo jak dla zerowych w.p.

20 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 20 Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO i niech będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i są określone przez Następujące stwierdzenia są równoważne (i) są obserwowalne (ii)

21 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 21 Przykład 2. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

22 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 22 Zatem rank M o = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

23 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 23 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

24 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 24 Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

25 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 25 dla nowych warunków początkowych Odpowiedź wyjścia systemu

26 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 26 Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu

27 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 27 Zbadajmy sterowalność systemu Równania stanu n=2 System jest niesterowalny

28 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 28 Przykład 3. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

29 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 29 Zatem rank M o = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank M c = 2 – system jest sterowalny

30 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 30 Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)

31 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 31 Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

32 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 32 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

33 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 33 Dodatek A

34 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 34 Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu

35 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 35 Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski: System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunowa System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny

36 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 36 Wyniki symulacji System a. Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście

37 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 37 System b. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi Wyniki symulacji

38 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 38 Wynik symulacji

39 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 39 System c. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście Wyniki symulacji

40 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 40 Dodatek B

41 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 41 Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy

42 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 42 Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny

43 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 43 Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów

44 Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 44 Stabilność wyjścia


Pobierz ppt "Teoria sterowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania IV Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Stabilność"

Podobne prezentacje


Reklamy Google