Matematyka na studiach technicznych w Politechnice Wrocławskiej Zdzisław Porosiński Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska VIII Konferencja Regionalna Przedmioty ścisłe w szkole i na studiach Politechnika Wrocławska, 5 grudnia 2011

Matematyka w szkole i na studiach Co powinien umieć uczeń po egzaminie dojrzałości na poziomie podstawowym, a co po maturze na poziomie rozszerzonym? Czego maturzysta ma prawo nie umieć, bo nie wymaga tego podstawa programowa? Czego uczymy z matematyki ma pierwszym stopniu studiów ma kierunkach technicznych (inżynierskich)? Co można zrobić i co się robi, aby uzupełnić wiedzę matematyczną kandydatów do studiowania kierunków technicznych?

System boloński System boloński zakłada mobilność studentów – zmianę uczelni lub kierunku studiów Przy zmianie kierunku Dziekan ustala dorobek akademicki studenta oraz różnice programowe wymagające uzupełnienia Pożądana jest więc możliwie duża jednolitość kursów z przedmiotów podstawowych, w tym matematyki

Krajowe Ramy Kwalifikacji Wszystkie kraje Unii Europejskiej oraz znaczna liczba krajów spoza Unii zdecydowały, by swoje szkolnictwo wyższe oprzeć na krajowej ramie kwalifikacji Z początkiem roku akademickiego 2012/13 uczelnie wyższe rozpoczną realizację procesu kształcenia zgodnie zasadami wynikającymi z wprowadzenia Krajowych Ram Kwalifikacji Aktualnie w PWr trwa proces dostosowania programów kształcenia do wymagań określonych w znowelizowanej ustawie Prawo o szkolnictwie wyższym i wydanych na jej podstawie rozporządzeniach

Dlaczego wprowadza się KRK? Mobilność Powód pierwszy - rosnąca z każdym rokiem mobilność obywateli Unii, w tym studentów, zachęcanych za pomocą systematycznie rosnących środków europejskich (Erasmus) do spędzenia choćby części czasu studiów w uczelni zagranicznej, jak też absolwentów uczelni na - praktycznie otwartym – europejskim rynku pracy. Pytanie „Jakie efekty kształcenia uzyskał posiadacz dyplomu szkoły wyższej?” jest istotne dla komisji rekrutacyjnych, pracodawców i pracowników. Klarowny opisu efektów kształcenia, a także umiejscowienie dyplomów szkół wyższych na tle wszystkich kwalifikacji nadawanych w danym kraju staje się sprawą ważną i pilną.

Uczenie się przez całe życie Powód drugi – coraz wyraźniej rysująca się potrzeba uwzględnienia perspektywy uczenia się przez całe życie. Z tej perspektywy należy być przygotowanym na wielokrotne powroty wielu osób do systemu edukacji, w celu wzbogacenia lub potwierdzenia swoich kwalifikacji. Aby uczynić te powroty możliwymi i efektywnymi, należy dobrze identyfikować i wykorzystać efekty wcześniejszego kształcenia, a następnie przedstawić – z perspektywy ram kwalifikacji – przyrost kompetencji osób uczących się.

Zróżnicowanie kształcenia Powód trzeci – umasowienie w Polsce kształcenia na poziomie wyższym. Liczba studentów wzrosła niemal pięciokrotnie - obecnie więcej niż co drugi młody człowiek w wieku 19-24 lat studiuje. Jeszcze niedawno przyjmowano na studia zaledwie około 10% najzdolniejszych młodych ludzi z każdego rocznika. Realizacja procesu kształcenia w dotychczasowej formie nie może prowadzić do tak dobrych wyników jak dawniej. Wyjściem akceptowalnym jest wyraziste sformułowanie wymagań dyplomowych dla każdego kierunku studiów, a w szczególności klarowne zróżnicowanie w tym zakresie dyplomów licencjata i magistra.

Efekty kształcenia w KRK Odpowiednim narzędziem do zróżnicowania procesu kształcenia są właśnie Krajowe Ramy Kwalifikacji oraz wdrażany wraz z nimi opis kierunków studiów w języku efektów kształcenia w zakresie: Wiedzy Umiejętności Kompetencji społecznych Język ten pozwala zarówno monitorować postępy osób studiujących, jak i określić wymagania, które należy spełnić, by uzyskać końcowy dyplom.

Jakie zmiany przyniosły reformy kształcenia? Nauka o klasy zerowej do matury trwa teraz 12 lat – o rok krócej niż przed reformą. Musi więc z podstawy ubyć materiał odpowiadający jednej klasie. Znacznie więcej młodzieży uczy się w liceach i ma aspiracje podjąć studia – średni poziom możliwości uczniów szkół średnich wyraźnie się obniżył a poziom egzaminu dojrzałości został do niego dostosowany. Nawet w zakresie rozszerzonym nie da się utrzymać poziomu dawnych liceów matematyczno-fizycznych.

Czego maturzysta może nie umieć, a umieć powinien? Zwykle pierwszymi tematami kursów matematycznych są rachunek różniczkowy (potem całkowy) funkcji jednej zmiennej i algebra macierzy. Zakładana jest znajomość własności funkcji moduł, wielomianowej, wymiernej, wykładniczej logarytmicznej i trygonometrycznych, oraz rozwiązywanie równań i nierówności powiązanych z tymi funkcjami. W praktyce maturzyści z maturą z matematyki na poziomie podstawowym znają jedynie funkcję liniową i kwadratową i mają problemy z przekształceniami wyrażeń algebraicznych.

Egzamin maturalny – poziom rozszerzony - NIE SPRAWDZA: Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Wzór (a – 1)(1 + a +...+ an-1) = an -1. Indukcja matematyczna. Różnowartościowość funkcji. Funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Dwumian Newtona. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Nierówności trygonometryczne. Wzory redukcyjne. Przykłady ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie. Pojęcie granicy ciągu. Obliczanie granic ciągów. Suma szeregu geometrycznego. Pojęcie funkcji ciągłej. Pojęcie pochodnej. Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej. Obliczanie pochodnych wielomianów i funkcji wymiernych. Związek pochodnej z istnieniem ekstremów i z monotonicznością funkcji. Zastosowanie pochodnej do rozwiązywania problemów praktycznych. Przykłady przekształceń geometrycznych: obrót. Twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych. Wielościany foremne. Rzut prostokątny na płaszczyznę. Prawdopodobieństwo warunkowe.

Egzamin maturalny – poziom podstawowy - NIE SPRAWDZA: Podstawowe pojęcia rachunku zdań. Potęgi o wykładniku niewymiernym. Logarytmy; podstawowe własności logarytmów. Dzielenie wielomianów, twierdzenie Bézouta. Definicja ogólna funkcji homograficznej i  jej własności. Sposoby rozwiązywania nierówności z funkcją homograficzną. Przekształcenia wykresów funkcji liczbowych: y=-f(x), y= f(-x). Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie. Opis półpłaszczyzny za pomocą nierówności. Miara łukowa kąta. Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Wykresy funkcji trygonometrycznych. Funkcja wykładnicza. Równania trygonometryczne; sin x=a, cos x=a, tg x= a, dla 0o < x <90o. Równanie okręgu  (x-a)2 + (y-b)2= r2  . Wzory dotyczące permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń.

Standardy wymagań egzaminacyjnych 1 Zdający posiada umiejętności w zakresie wykorzystania i tworzenia informacji: Poziom podstawowy Poziom rozszerzony interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników Zdający potrafi: • odczytać informację bezpośrednio wynikającą z treści zadania • zastosować podany wzór lub podany przepis postępowania • wykonać rutynową procedurę dla typowych danych • przejrzyście zapisać przebieg i wynik obliczeń oraz uzyskaną odpowiedź Zdający potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym oraz: • wykonać rutynową procedurę na niekoniecznie typowych danych • odczytać informację z wykorzystaniem więcej niż jednej postaci danych • precyzyjnie przedstawić przebieg swojego rozumowania

Standardy wymagań egzaminacyjnych 2 Zdający posiada umiejętności w zakresie wykorzystania i interpretowania reprezentacji: Poziom podstawowy Poziom rozszerzony używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi Zdający potrafi: • poprawnie wykonywać działania na liczbach i przedzia-łach liczbowych, przekształcać wyrażenia algebraiczne, rozwiązywać niezbyt złożone równania, ich układy oraz nierówności, odczytywać z wykresu własności funkcji, sporządzać wykresy niektórych funkcji, znajdować stosunki miarowe w figurach płaskich i przestrzennych (także z wykorzystaniem układu współrzędnych lub trygonometrii), zliczać obiekty i wyznaczać prawdo-podobieństwo w prostych sytuacjach kombinatorycznych • zastosować dobrze znaną definicję lub twierdzenie w typowym kontekście Zdający potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, także: • w odniesieniu do bardziej złożonych obiektów matematycznych, a ponadto potrafi podać przykład obiektu matematycznego spełniającego zadane warunki

Standardy wymagań egzaminacyjnych 3 Zdający posiada umiejętności w zakresie modelowania matematycznego: Poziom podstawowy Poziom rozszerzony dobiera model matematyczny do prostej sytuacji buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia Zdający potrafi, także w sytuacjach praktycznych: • podać wyrażenie algebraiczne, funkcję, równanie, nierówność, interpretację geometryczną, przestrzeń zdarzeń elementarnych opisujące przedstawioną sytuację • przetworzyć informacje wyrażone w jednej postaci w postać ułatwiającą rozwiązanie problemu • ocenić przydatność otrzymanych wyników z perspektywy sytuacji, dla której zbudowano model Zdający potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, także: • buduje model matematyczny danej sytuacji, także praktycznej, również wymagający uwzględnienia niezbędnych ograniczeń i zastrzeżeń

Standardy wymagań egzaminacyjnych 4 Zdający posiada umiejętności w zakresie użycia i tworzenia strategii: Poziom podstawowy Poziom rozszerzony stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania tworzy strategię rozwiązywania problemu Zdający potrafi: • dobrać odpowiedni algorytm do wskazanej sytuacji problemowej • ustalić zależności między podanymi informacjami • zaplanować kolejność wykonywania czynności, wprost wynikających z treści zadania, lecz nie mieszczących się w ramach rutynowego algorytmu • krytycznie ocenić otrzymane wyniki Zdający potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, także: • zaplanować i wykonać ciąg czynności prowadzący do rozwiązania problemu, nie wynikający wprost z treści zadania

Standardy wymagań egzaminacyjnych 5 Zdający posiada umiejętności w zakresie rozumowania i argumentacji: Poziom podstawowy Poziom rozszerzony prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków. tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. Zdający potrafi: • wyprowadzić wniosek z prostego układu przesłanek i go uzasadnić • zastosować twierdzenie, które nie występuje w treści zadania Zdający potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, także: • wyprowadzić wniosek ze złożonego • analizować i interpretować otrzymane wyniki • przeprowadzić dowód

Gdyby kandydaci te umiejętności mieli …. Co się robi na PWr? Kursy przygotowawcze do matury i studiów Kurs korespondencyjny – z 40-letnią tradycją Studium Talent Matematyka Reaktywacja - kurs wyrównawczy z matematyki z wykorzystaniem technologii informacyjno-komunikacyjnych dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych Każdy student PWr ma dostęp do e-portalu zawierającego m.in. Repetytorium z matematyki szkoły średniej. Kursy uzupełniające dla studentów prowadzone przez uczelnie. Na PWr uzupełnianie wiadomości odbywa się w ramach kursów ogólnouczelnianych.

Stacjonarne kursy przygotowawcze http://www.wppt.pwr.wroc.pl/570399.dhtml Wydział Podstawowych Problemów Techniki PWr organizuje Kurs przygotowawczy do matury i na studia – Matematyka   i/lub  Fizyka (45 godzin, po 3 godz. tyg.)   Informacje: www.wppt.pwr.wroc.pl, zakładka „kandydaci” ; tel. (71) 320-25-23  lub  320-34-09,  e-mail: dziekan.wppt@pwr.wroc.pl Pierwsze terminy  odbywania  zajęć:  w październiku 1) 28.10.2010, pt 17:15-19:40 (Mat.-doc.dr J.Górniak, Fiz - dr. K.Sierański) 2) 29.10.2010, so 09:10-11:30  (Mat.- doc.dr J.Górniak, Fiz - dr J. Szatkowski) 3) 29.10.2010, so 13:15-15:40  (Mat.- ..., Fiz - ...­)  drugi, niezależny, kurs w styczniu  1) 6.01.2011, pt 17:15-19:40 (Mat. - ..., Fiz - ...­), 2) 7.01.2011, so 09:10-11:30 (Mat. - ..., Fiz - ...­) 3) 7.01.2011, so 13:15-15:40 (Mat. - ..., Fiz - ...­) Zapisy: Dziekanat WPPT  p. 207 bud. A-1 (Gmach Główny), Wrocław, Wybrzeże Wyspiańskiego 27 

Kurs korespondencyjny http://www.im.pwr.wroc.pl/kurs Bezpłatny (koszty pocztowe) 8 prac kontrolnych – od września do kwietnia Poziom podstawowy i rozszerzony Wnikliwe sprawdzanie i komentowanie przez matematyków z IMI

Kurs korespondencyjny http://www.im.pwr.wroc.pl/kurs Bezpłatny (koszty pocztowe) 8 prac kontrolnych – od września do kwietnia Poziom podstawowy i rozszerzony Wnikliwe sprawdzanie i komentowanie przez matematyków z IMI

Studium Talent http://www.wppt.pwr.wroc.pl/570399.dhtml Informacje: zakładka Studium Talent na www.wppt.pwr.wroc.pl Zebrania organizacyjne w sprawie Studium Talent  11/12 odbyły się 18 października 2011. Zajęcia we Wrocławiu rozpoczęły się w tygodniu 20-22.10.2011 i kończą w I połowie marca 2012 (jedna grupa do wyboru). Studium Talent prowadzone jest również w Zamiejscowych Ośrodkach Dydaktycznych Politechniki Wrocławskiej w Legnicy, Jeleniej Górze i Wałbrzychu. Informacji – w sprawach organizacyjnych udzielają sekretariaty ZOD: (adresy i telefony zamiejscowych ośrodków dydaktycznych: Wałbrzych, ul. Armii Krajowej 78, tel. 00 74  847 65 94; Legnica, ul. Batorego 8, tel. 00 76 862 47 32;   Jelenia Góra, pl. Piastowski 27, tel. 00 75 755 15 99)

Matematyka Reaktywacja http://www.matematyka-reaktywacja.pl/

E-portal – repetytorium http://eportal.pwr.wroc.pl/

Funkcjonalność repetytorium Materiał wykładowy - strony WWW, na których dodatkowo osadzono aplety Java zawierające ćwiczenia związane z omawianymi w danym miejscu pojęciami i zagadnieniami. Materiał ćwiczeniowy - strony WWW z e-ćwiczeniami o wspólnej tematyce i zróżnicowanym stopniu trudności. Sprawdziany - elektroniczny odpowiednik prawdziwych kartkówek, klasówek i egzaminów. Przykładowe ćwiczenie

Matematyka na kierunkach inżynierskich Mimo opisu wymagań dyplomowych w Krajowych Ramach Kwalifikacji przez efekty kształcenia w kategoriach wiedzy, umiejętności i kompetencji społecznych kanon podstawowego wykształcenia inżyniera w zakresie nauk ścisłych, w tym matematycznego, powinien zostać utrzymany Trudno wyobrazić sobie inżyniera bez znajomości podstaw algebry liniowej, liczb zespolonych, geometrii analitycznej, rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych z zastosowaniami oraz podstaw probabilistyki i statystyki

Matematyka na kierunkach inżynierskich Semestr 1 Algebra z Geometrią Analityczną Analiza Matematyczna 1 Semestr 2 Analiza Matematyczna 2 Możliwe tematy dodatkowe do wyboru: całka potrójna, funkcje uwikłane, elementy analizy wektorowej, szeregi Fouriera, elementy równań różniczkowych zwyczajnych

Podobieństwa i różnice kursów Warianty A – zakładana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie rozszerzonym B – zakładana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym Podobieństwa kursów te same treści ‘akademickie’ te same wymagania końcowe dla wariantów A i B Różnice kursów rozszerzenia o elementy matematyki ponadgimnazjalnej pewne treści do wyboru w zależności od wymagań kierunku zakończenie przez zaliczenie lub egzamin różne liczby godzin na realizację programu

Kursy dodatkowe z matematyki Treści wymagane przez minima programowe nie ujęte w AzGA, AM1 i AM2 realizowane przez kursy dodatkowe semestr: 2-4 treści: dopasowane do wymagań kierunku godziny: 15-30 W 0-30 C Algebra liniowa 2 Elementy analizy wektorowej Równania różniczkowe zwyczajne Rachunek prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna Statystyka stosowana Matematyka dyskretna Równania różniczkowe cząstkowe Funkcje zespolone

Jednolite kursy z matematyki Wariant A Wariant B Semestr pierwszy 90-105 h 135 h Algebra z geometrią analityczną 2W 1C 2W 2C Analiza matematyczna 1.1 Analiza matematyczna 1.2 3W 2C Semestr drugi 60-75 h 75 h Analiza matematyczna 2.1 Analiza matematyczna 2.2

Schemat kursów z matematyki Semestr 1 Semestr 2 Semestr 3 A AzGA 2W 1C AM 2.1 2W 2C AM 2.2 3W 2C Kurs dod. 3.1 AM 1.1 2W 2C AM 1.2 2W 1C Kurs dod. 3.2 Kurs dod. 2.1 B AzGA 2W 2C AM 2.1 3W 2C AM 2.2 3W 2C Kurs dod. 3.1 AM 1.1 3W 2C Kurs dod. 3.2 Kurs dod. 2.1

Uzupełnianie wiadomości w kursie AzGA – 8h WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (2h). Wzory skróconego mnożenia. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych INDUKCJA MATEMATYCZNA (2h). Wzór dwumianowy Newtona. Uzasadnianie tożsamości, nierówności itp. za pomocą indukcji matematycznej GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE (4h). Wektory na płaszczyźnie. Działania na wektorach. Iloczyn skalarny. Warunek prostopadłości wektorów. Równania prostej na płaszczyźnie (w postaci normalnej, kierunkowej, parametrycznej). Warunki równoległości i prostopadłości prostych. Odległość punktu od prostej. Elipsa, hiperbola. Część ‘akademicka’: MACIERZE (2h) WYZNACZNIKI (2h) UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH (4h) GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI (5h) LICZBY ZESPOLONE (4h) WIELOMIANY (3h)

Uzupełnianie wiadomości w kursie AM 1 AM 1B (45W+30C) - 15h na uzupełnienie wiadomości Elementy logiki matematycznej i teorii zbiorów. Kwantyfikatory. Zbiory na prostej. (2h) Funkcja. Dziedzina, zbiór wartości, wykres. Funkcja monotoniczna. Przykłady funkcji: liniowa, |x|, kwadratowa, wielomianowa, wymierna. Równania i nierówności wymierne. (3h) Składanie funkcji. Przekształcanie wykresu funkcji (przesunięcie, zmiana skali, symetria względem osi i początku układu). (2h) Funkcje trygonometryczne. Kąt skierowany, koło trygonometryczne. Wzory redukcyjne i tożsamości trygonometryczne. Równania i nierówności trygonometryczne. (4h) Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. (2h) Funkcje różnowartościowe. Funkcje odwrotne. Wykres funkcji odwrotnej. Funkcje cyklometryczne. (2h) AM 1A (30W+30C) - 6h na uzupełnienie wiadomości Składanie funkcji. Funkcja różnowartościowa. Funkcja odwrotna i jej wykres. Funkcje potęgowe i wykładnicze oraz odwrotne do nich. (2h) Funkcje trygonometryczne. Wzory redukcyjne i tożsamości trygonometryczne. Funkcje cyklometryczne i ich wykresy. (2h)

Program kursu AM 1 – część ‘akademicka’ Od ciągów do całki nieoznaczonej - w 24-30 h Ciąg liczbowy. Granica ciągu. Liczba e. Obliczanie prostych granic. (4h) Granica funkcji w punkcie. Granice w nieskończoności. Wyrażenia nieoznaczone. (3h) Asymptoty funkcji. Ciągłość funkcji w punkcie i na przedziale. Punkty nieciągłości i ich rodzaje. (2h) Pochodna funkcji w punkcie. Reguły różniczkowania. Pochodne wyższych rzędów. (4h) Styczna. Różniczka funkcji. Przybliżone rozwiązywanie równań. Reguła de L`Hospitala. (4h) Przedziały monotoniczności funkcji. Ekstrema lokalne funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji. (4h) Wartość największa i najmniejsza funkcji. Zadania z geometrii, fizyki i techniki na ekstrema funkcji. (2h) Całki nieoznaczone. Całkowanie przez części i podstawienie. Całkowanie funkcji wymiernych. (5h) Temat do wyboru (np. wypukłość i punkty przegięcia lub twierdzenie Lagrange`a i wzór Taylora). (2h)

Problemy studentów z matematyką na studiach niska sprawność rachunkowa płytka wiedza (słowo ‘dowód’ paraliżuje) problemy z samodzielnym, twórczym myśleniem oraz z myśleniem abstrakcyjnym niewielu studentów potrafi podać całe rozwiązanie, natomiast wielu jest w stanie rozwiązać zadanie częściowo niesystematyczność samodzielnej pracy

Co może robić nauczyciel, żeby jego uczniowie posiedli wiedzę, a nie powielali schematy Przede wszystkim uczyć matematyki a nie ‘przygotowywać do matury’, w sensie ćwiczenia prostych rozumowań wystarczających do jej zdania Zachęcać uczniów do wyboru (o ile to możliwe) poziomu rozszerzonego matematyki w szkole średniej We współczesnym, bardzo szybko rozwijającym się świecie, żadna szkoła nie jest w stanie zapewnić swoim uczniom takiej wiedzy i umiejętności, które starczyłyby na całe życie Szkoła – czyli nauczyciel - musi więc nade wszystko nauczyć młodych ludzi samodzielnego uczenia się