PODZIELNOŚĆ WIELOMIANÓW

DEFINICJA Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) różny od wielomianu zerowego wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q(x), dla którego W(x)=Q(x) *P(x). Wówczas wielomian Q(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x) przez P(x). Wielomian P(x) jest dzielnikiem wielomianu W(x). Jeśli wielomian W(x) = 0, to każdy niezerowy wielomian P(x) jest dzielnikiem wielomianu W(x), przy czym iloraz Q(x) jest wielomianem zerowym (Q(x)=0)

Podzielność wielomianów jest bardzo podobna do podzielności liczb całkowitych Liczba 45 jest podzielna przez 9, bowiem: 45= 5*9 W dzieleniu 45:9 : liczba 9 jest dzielnikiem liczba 4 jest ilorazem liczby 45przez 9 Wielomian W(x)=x2-25 jest podzielny przez wielomian P(x)= x+5, bowiem: W(x)= (x-5) * (x+5) W dzieleniu W(x):P(x) : wielomian P(x)= x+5 jest dzielnikiem wielomian Q(x)=x-5 jest ilorazem wielomianu W(x) przez P(x)

Uwaga! Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), to jest również powdzielny przez wielomian c*P(x), gdzie c jest liczbą rzeczywistą różną od zera. Przykład Dany mamy wielomian W(x)= x2-1 , możemy go zapisać w postaci: W(x)= (x+1)(x-1) więc jest podzielny przez P1 (x)= x+1 W(x)= (1/2x +1/2x)*(2x-2) więc jest podzielny przez P2(x)=1/2x+1/2 W(x)=(3x+3)*(1/3x-1/3) więc jest podzielny przez P3(x)=3x+3 itd.

W(x)= (4x2-1)(2x+3), a po uporządkowaniu W(x)= 8x3+12x2-2x-3 Zadanie 1. Wielomian W(x)= 8x3+ax2-bx-3 podzielono przez wielomian P(x)=4x2-1. W wyniku tego otrzymano iloraz Q(x)=2x+3. Wyznacz wartości współczynników a i b. Wielomian(x) podzielono przez wielomian P(x), a iloraz tego dzielenia wynosi Q(x), więc: W(x)= P(x)*Q(x), stąd W(x)= (4x2-1)(2x+3), a po uporządkowaniu W(x)= 8x3+12x2-2x-3 Wiemy, że: W(x)=8x3+ax2-bx-3 oraz W(x)=8x3+12x2-2x-3 Na podstawie twierdzenia o równości wielomianów otrzymujemy : a=12 b=2 . ( Wartości współczynników wielomianu)

Zadanie 2. Dany jest wielomian W(x)=x(x-1)(x+2)(x-3). Określ stopień wielomianu W(x). Następnie podaj przykład wielomianu stopnia drugiego i wielomianu stopnia trzeciego, króry jest dzielnikiem wielomianu W(x). Wielomian W(x) jest iloczynem czterech czynników W(x)= x*(x-1)*(x+2)*(x+3) Każdy czynnik jest wielomianem stopnia pierwszego, zatem: st.W(x)=1+1+1+1=4 Rozpatrzmy wielomian: P(x)=x(x-1), st.P(x)=2 Dla wielomianu P(x) istnieje wielomian: Q(x)=(x+2)(x-3), dla którego W(x)=P(x)*Q(x) Stąd dzielnikiem wielomianu W(x) jest wielomian P(x)= x2-x. Niech wielomian K(x) będzie iloczynem trzech czynników: K(x)=x(x-1)(x+2), st.K(x)=3 Wielomian można przedstawić jako: W(x)=K(x)*(x-3) Zatem dzielnikiem wielomianu W(x) jest wielomian K(x)=x3+x2-2x

W(x)=(x2+2x-3)(mx+n)=mx3+(n+2m)x2+(2n-3m)x-3n Zadanie 3. Wielomian W(x)=2x3-x2-16x+15 jest podzielny przez wielomian P(x)=x2+2x-3. Znajdź iloraz W(x) przez P(x). Wielomian W(x)=2x3-x2-16x+15 możemy również zapisać jako: W(x)=(x2+2x-3)*Q(x) Wielomian W(x) jest trzeciego stopnia więc st.Q(x)=1. Zatem iloraz jest funkcją liniową Q(x)=mx+n, gdzie m≠0. Otrzymujemy: W(x)=(x2+2x-3)(mx+n)=mx3+(n+2m)x2+(2n-3m)x-3n Porównujemy współczynniki przy x3 i wyrazy wolne: m=2 -3n=15, stąd n=-5 Pozostaje jeszcze sprawdzić równość współczynników przy x2 i x : n+2m=-5+2*2=-1 2n-3m=2*(-5)-3*2=-16 Szukanym ilorazem jest wielomian Q(x)=2x-5

Wykonały: Małgorzata Swoboda, Hanna Kuraszkiewicz