Pamięci Henryka Pawłowskiego

Prezentacja na temat: "Pamięci Henryka Pawłowskiego"— Zapis prezentacji:

1 Pamięci Henryka Pawłowskiego

2 Dodatnie liczby całkowite m i n spełniają warunek
Udowodnić, że I sposób.

3 Dodatnie liczby całkowite m i n spełniają warunek Udowodnić, że
II sposób.

4 Udowodnić, że dla dowolnych, dodatnich liczb rzeczywistych x i y nierówności są równoważne.

5 Liczby rzeczywiste x, y spełniają warunki Wykazać, że

6 Liczby rzeczywiste x, y spełniają warunki
Wykazać, że

7 Wykazać, że jeżeli dodatnie liczby całkowite m i n spełniają nierówność to prawdziwa jest nierówność

8 Niech a, b, c i d będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi
Niech a, b, c i d będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że wykresy funkcji mają dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy wykresy funkcji mają dokładnie jeden punkt wspólny.

9 Dany jest czworokąt wypukły, w który można wpisać okrąg
Dany jest czworokąt wypukły, w który można wpisać okrąg. We wnętrzu tego czworokąta wpisano cztery okręgi, z których każdy jest styczny do dwóch boków czworokąta i zewnętrznie styczny do dwóch sąsiednich okręgów. Udowodnić, że dwa z nich są przystające.

10 W trapezie ABCD podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD
W trapezie ABCD podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD. Niech E jest środkiem przekątnej AC, a prosta BE przecina bok AD w punkcie P. Wyznaczyć stosunek pola czworokąta PECD do pola trapezu ABCD.

11 Na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC obrano odpowiednio punkty K, L, M tak, że Udowodnić, że jeżeli odcinki AK, BL, CM mają punkt wspólny, to jest on środkiem ciężkości tego trójkąta.

12 Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E
Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Udowodnić, że jeżeli suma pól trójkątów AED i BEC jest równa sumie pól trójkątów AEB i CED, to jedna przekątna tego czworokąta połowi drugą.