Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Wykład 1 ALGEBRA ZBIORÓW Celem wykładu jest zdobycie umiejętności poprawnego wnioskowania i zrozumienie podstawowych pojęc matematycznych takich jak zbiór, funkcja, ciąg, relacja, graf itd. Tak się składa, że pojęcia te są również niezbędne z informatyce. Wykład będzie zawierał elementy logiki matematycznej, teorii mnogości algebry abstrakcyjnejm kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Wszystkie te tematy należą do działu, który od pewnego czasu zwie się Matematyką Dyskretną. Być może niektóre pojęcia i tematy poruszane w wykładzie będzą powtórzeniem materiału poznanego w szkole średniej. Niech to będzie okazją do ujednolocenia notacji przypomnienia pewnych definicji i poglebienia wiedzy. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Zbiór Przykłady: zbiór studentów 1go roku PJWSTK zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*) Zamiast mówić, że 5 jest liczbą naturalną, mówimy, że 5 należy do zbioru liczb naturalnych i piszemy 5N. Symbol  nazywamy relacją należenia. Jeśli element nie należy do zbioru, np nie jest liczbą naturalną, tzn nie należy do zbioru N, tzn N. Dział matematyki, którego zadaniem jest badanie ogólnych własności zbiorów nazywamy Teorią Mnogości. Za jego twórcę uważa się George Cantora. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Definiowanie zbiorów A = {a,b,c,d,e,f,g} przez wymienienie ich elementów przez podanie własności, które muszą spełniać elementy przez podanie sposobu wyliczania elementów Zbiór A nie jest pusty, bo należy do niego element a. A , bo aA. Jeśli jakiś obiekt nie należy do zbioru, to używamy symbolu , np. h A. Nie ma takiego obiektu, który należałby do zbioru pustego! B = {x : xN oraz x<6} C = {x2 + 1 : xN} Jeśli zbiór nie posiada żadnych elementów, to powiemy że jest pusty. Zbiór pusty oznaczamy przez . Przykład Jeśli A= {0,1}, to 000  A*,  A*. Do zbioru A* zalicza się też ciąg pusty ozn.  Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Równość zbiorów Definicja Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają dokładnie te same elementy. A = B wttw dla dowolnego x, jeżeli x A, to x  B i odwrotnie jeżeli x B, to x  A . Przykład A = {5,50,500,5000} = {5* 10x: xN i x<4} A = {5000,5,50,500} AB wttw istnieje taki element zbioru A, który nie należy do B lub istnieje taki element zbioru B, który nie należy do A. Uwaga : Jeżeli A = B i B= C , to A = C. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Relacja zawierania inkluzja Definicja Powiemy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, ozn. A B wttw dla dowolnego obiektu x, jeśli x A, to x  B. Jeśli A=B, to również AB. O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B, a o B mówimy, że jest nadzbiorem A. Jeśli AB i A  B, to mówimy, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B, ozn. A B. Zbiór B zawiera zbiór A B A jest zawarty w zbiorze B A Przykłady: N  R, Q  R, Z  R {d, a}  {a,b,c,d,e,f} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Relacja zawierania Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, to musi istnieć taki obiekt (element), który należy do zboru A i jednocześnie nie należy do zbioru B. A A B B A B wttw istnieje takie x, że xA i x B. A B Przykład. Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 5, bo np. 4 jest podzielne przez 2 a nie jest podzielne przez 5. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Własności inkluzji Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :  A A A Jeśli A  B oraz B  C, to A  C. Jeśli A  B oraz B  A, to A = B. Jeśli A B, to non A  B lub non B  A. Uwaga Jeśli xA, to { x}  A. Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów pewnego zbioru A nazywa się zbiorem potęgowym. Ozn. P(A) Przykład P() = {} Niech A={1,2,3}. Wtedy P(A) = {, {1},{2}, {3}, {1,2},{2,3},{1,3}, {1,2,3}} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Suma zbiorów Definicja Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy przez A B . x A B wttw x  A lub x  B A B Uwaga Kiedy x  A B? x  A B wttw x  A i x  B Przykład. A={3k: k  N}, B= {2k : k N}. A B = {n: n jest liczbą,, która dzieli się przez 2 lub przez 3. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Własności sumy Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :   A = A A  A = A A B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) przemienność łączność Uwaga Powyższe równości można udowodnić wykazując, że jeżeli element należy do lewej strony równości, to należy do prawej strony i odwrotnie. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Inkluzja a suma Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A, B, C: A  A  B oraz B  A  B Jeśli A  C i B  C , to A  B  C Jeśli A  B i C  D , to A  C  B  D A  B wttw A  B = B Dowód (4). Niech A  B oraz x A  B . Wtedy x należy albo do A lub do B. Na mocy założenia , jeśli x  A, to x  B. Zatem x  B .Ponieważ powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x więc udowodniliśmy, że jeśli A  B to A  B= B. Odwrotnie, załóżmy, że A  B = B. Jeżeli x  A wtedy x  A  B, a ponieważ zbiory A  B i B są równe więc x B. Czyli A  B. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Iloczyn zbiorów Definicja Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są te elementy zbioru A , które są równocześnie elementami zbioru B. x A B wttw x  A i x  B Kiedy element nie należy do iloczynu? B A x A B wttw x  A lub x  B Przykład. A={2i : i<16} B={3i : i<11} A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i < 6} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Własności iloczynu = Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C :
A  A = A A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) przemienność łączność Diagramy Eulera-Venna A B A B = C C Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Iloczyn a suma Prawa absorbcji Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A  (A  B) = A (A  B)  B = B A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Prawa rozdzielnosci Przykład dowodu (3): (A  B)  (A  C) A  (B  C) A B A B = C C Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Różnica symetryczna Róznicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy zbiór A B taki, że x A lub x B ale x nie należy do obu zbiorów równocześnie. Przykład A= {2i : i<6} B= {3i : i<6} A  B = {2, 3,4,8,9,10,15} A B = {0,2,3,4,6,8,9,10,12,15} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Różnica zbiorów Definicja Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór , którego elementami są te obiekty zbioru A, które nie są równocześnie elementami zbioru B.Różnicę zbiorów oznaczamy przez A\B. x A\B wttw x  A i x  B Przykład A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5} wtedy A\B = {2,4,6} B\A = {7,9} A B Uwaga x  A  B wttw x  A\B lub x  B\A. x  A\ B wttw x  A lub x  B . Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Własności różnicy Dowód (3) Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : A\B  A A B wttw A\B =  Jeśli A  B, to C\B  C\A Jeśli A \(B C)= (A\B)\C. B C A B C A Dowód (4): x  A \(B C) wttw x  A i x (B C) wttw x  A i xB i xC wttw x  A\B i xC wttw x  (A \B)\C. A\(B C) = (A\B)  (A\C) A\(B C) = (A\B)  (A\C) Prawa de Morgana C\B  C\A Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Dopełnienie zbioru W zastosowaniach algebry zbiorów bardzo często ograniczamy się do podzbiorów pewnego ustalonego zbioru. Nazywać go będziemy uniwersum, lub przestrzenią. Definicja Dopełnieniem(Uzupełnieniem) zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego elementami są wszystkie elementy przestrzeni U nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i dowolnego podzbioru A przestrzeni U: x- A wttw x  A Oczywiście mamy U\A = -A U Przykład Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i  N}. Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych. A Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Własności dopełnień Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego uniwersum U : - = U -U =  -(-A ) = A Jeśli A  B, to - B  -A. Prawa de Morgana -(A  B) = -A  -B -(A  B) = -A  -B Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Działania nieskończone (tego nie było trzeba zrobić później)
Definicja Niech będzie rodzina zbiorów A= {Ai : i  I}. Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór  Ai taki, że x   Ai wttw istnieje takie i  I, że x  Ai . Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór  Ai taki, że x   Ai wttw dla wszystkich i  I, x  Ai Przykład. 1.Niech dla i  N, Ai = zbiór ciągów długości i o elementach z pewnego zbioru S. Wtedy zbiór  Ai = S*. 2. Ai = {x  R : x<i} dla i  N  Ai = R  Ai = {x  R : x<0} + x Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres

Wejść

Zaloguj się poprzez sieć społeczną:

Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres