Analiza tendencji centralnej „Człowiek – najlepsza inwestycja”

Analiza badanych zbiorowości statystycznych z określonego punktu widzenia na podstawie cech mierzalnych wymaga ustalenia dla tych zbiorowości przeciętnego poziomu wartości.

Badane zbiorowości charakteryzują się zwykle pewną tendencją centralną, co oznacza, że wartości cechy, które są bliższe przeciętnemu poziomowi wartości cechy, występują z większą częstotliwością.

Przeciętny poziom wartości cechy obliczamy za pomocą specjalnych miar statystycznych – średnich. Średnia jest miarą odzwierciedlającą przeciętny poziom cechy mierzalnej jednostek zbiorowości statystycznej, charakteryzuje centralnie położoną wartość, dookoła, której skupiają się jednostki zbiorowości.

Średnie dzieli się na dwie zasadnicze grupy: średnie klasyczne – przy ich wyliczaniu uwzględniamy wszystkie wartości szeregu statystycznego (średnia arytmetyczna, harmoniczna, geometryczna) średnie pozycyjne – będące wartościami konkretnych wyrazów szeregu statystycznego, wyrazów wyróżniających się pod jakimś względem (mediana – wartość środkowa, dominanta – wartość dominująca).

Klasyczne miary średnie to: Średnia arytmetyczna Średnia harmoniczna Średnia geometryczna

Średnia arytmetyczna Wyraża przeciętny poziom badanej cechy (zmiennej) w populacji. Średnia jest sumą wartości cechy podzieloną przez liczbę jednostek zbiorowości.

Średnia arytmetyczna Średnia jest więc taka wartością cechy, jaką miałyby wszystkie jednostki przy ustalonej sumie cechy, gdyby nie występowała zmienność. Oznacza to, że gdyby każda z jednostek przyjmowała jednakową wartość, to ta wartość byłaby równa średniej arytmetycznej.

Średnią arytmetyczną będziemy oznaczać symbolem x Jeżeli informacje podano w formie indywidualnego wykazu (szeregu) wartości, które oznaczamy jako xi = x1, x2,... xn N = ogólna liczba jednostek zbiorowości

Przykład 1 Oblicz przeciętny wiek 5 wybranych osób. Wiek osób w latach: 18, 32, 40, 24, 26 x = ( ): 5 =28 Interpretacja: Przeciętny wiek w badanej zbiorowości wynosi 28 lat.

Średnia arytmetyczna ważona liczona jest dla szeregów rozdzielczych (punktowych i przedziałowych), w których wartości zmiennych występują z różną częstotliwością. Wagami są liczebności odpowiadające poszczególnym wariantom cech..

Dla szeregu rozdzielczego punktowego Dla szeregów rozdzielczych punktowych wartości średniej obliczana jest następująco:

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego. Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych wartości zmiennej mieszczą się w pewnym przedziale. W celu wyznaczenia średniej arytmetycznej należy wyznaczyć środek przedziału. Otrzymuje się go jako średnią arytmetyczną dolnej i górnej granicy poszczególnej klasy. Średnia arytmetyczna w tym przypadku wyrażana jest wzorem:

Średnia harmoniczna Średnią harmoniczną stosuje się w przypadku gdy wartości cechy podane są w przeliczeniu na stałą jednostkę innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, np. km/h, cm/osoba), natomiast wagi są w jednostkach liczników tych cech, np. m, cm. Średnia harmoniczna jest równa odwrotności średniej arytmetycznej z odwrotnością poszczególnych wartości badanej zmiennej.

Dla szeregów szczegółowych oblicza się ją ze wzoru:

Zadanie. Kierowca rajdowy miał do pokonania 2 jednakowe odcinki trasy specjalnej. Pierwszy pokonał z prędkością 80 km/h, a drugi 160 km/h. Oblicz jaką osiągnął przeciętną prędkość na całym odcinku?

Dla szeregów rozdzielczych punkowych wzór przyjmuje postać:

Natomiast dla szeregów rozdzielczych przedziałowych wzór jest następujący:

Średnia geometryczna Średnia geometryczna znajduję zastosowanie w badaniu średniego tempa zmian zjawiska. Kolejną miarą klasyczną jest średnia geometryczna, która definiowana jest jako pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n wartości danej zmiennej:

Cechy średniej arytmetycznej Średnia arytmetyczna, ze względu na logiczną i prostą konstrukcję jest najczęściej stosowaną średnią klasyczną. Odznacza się ona wieloma własnościami: Średnia arytmetyczna jest wielkością mianowaną, tzn. wyrażana jest w konkretnych jednostkach miary np. w zł, mb, kg, latach Średnia arytmetyczna dla danej zbiorowości nie może być wielkością mniejszą od najmniejszej wartości, a większą od największej wartości. Suma wartości cechy jest równa średniej arytmetycznej pomnożonej przez liczebność. Suma odchyleń od średniej arytmetycznej wyrazów szeregu równa się zero.

Dziękuję za uwagę!