Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 1 Podstawy automatyki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 1 Podstawy automatyki."— Zapis prezentacji:

1 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 1 Podstawy automatyki I - studia stacjonarne Wykład /2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Zera, bieguny – stabilność (systemy liniowe stacjonarne) - część II

2 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 2 Kryterium Nyquista Cecha charakterystyczna kryterium Nyquist’a Analiza stabilności systemu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym wyjścia prowadzona jest w oparciu charakterystyki częstotliwościowe (wykres Nyquista, wykresy Bode’a) transmitancji systemu otwartego Harry Nyquist (ur. 7 lutego 1889r., Nilsby, Szwecja, zm. 4 kwietnia 1976r. Harlingen, Teksas), elektrotechnik amerykański pochodzenia szwedzkiego. Wieloletni pracownik Bell Telephone Laboratories. Twórca kryterium do badania stabilności układów sterowania. Prowadził prace z automatyki. /Wikipedia/

3 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 3 stabilność układu zamkniętego stabilność układu otwartego Transmitancja układu otwartego Równanie charakterystyczne układu otwartego Transmitancja układu zamkniętego Równanie charakterystyczne układu zamkniętego Układ otwarty – układ zamknięty

4 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 4 W oparciu o wyniki przedstawione na poprzednim wykładzie możemy twierdzić: 1. Zera układu zamkniętego G z (s) są takie same jak zera układu otwartego G o (s) Układ otwarty – układ zamknięty

5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 5 Układ otwarty – układ zamknięty 2. Bieguny 1 + G o (s) są też biegunami transmitancji układu otwartego G o (s),

6 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 6 Układ otwarty – układ zamknięty 3. Zera 1 + G o (s) są biegunami transmitancji układu zamkniętego G z (s), a zatem pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego

7 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 7 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Odwzorowanie punktów pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi Kryterium Nyquist’a opiera się na zasadzie argumentu Cauchy’ego związanej z odwzorowaniami zespolonymi Transmitancje są odwzorowaniami zespolonymi

8 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 8 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Skupimy uwagę na odwzorowaniach postaci Odwzorowanie konturów (krzywej zamkniętej) pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi i prześledźmy zagadnienie:

9 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 9 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Odwzorowanie konturu wskazanego na s-płaszczyźnie może odbywać się przy przemieszczaniu się po nim punktu s na nim: 1. w prawo - zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara – ujemna zmiana kąta wektora wodzącego, albo 2. w lewo - przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara – dodatnia zmiana kąta wektora wodzącego Przyjmiemy konwencję W PRAWO

10 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 10 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ponieważ kryterium Nyquist’a jest metodą graficzną należy ustalić rozumienie pewnych używanych w nim i związanych z nim pojęć graficznych Punkt obejmowany i okrążany przez kontur  Obejmowany – Będziemy mówili, że punkt jest obejmowany przez kontur (krzywą zamkniętą), jeżeli znajduje się on wewnątrz tego konturu Punkt A jest obejmowany przez kontur Γ, ponieważ A znajduje się wewnątrz konturu Γ Punkt B nie jest obejmowany przez konturΓ, ponieważ B znajduje się na zewnątrz konturu Γ

11 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 11 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a  Okrążany – Będziemy mówili, że punkt lub obszar jest okrążany przez kontur, jeżeli leży on po prawej stronie konturu przy jego przechodzeniu w przypisanym kierunku Punkt A jest okrążany przez konturem

12 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 12 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Kiedy punkt jest okrążany przez kontur , przypisujemy liczbę N liczbie tych okrążeń Okrążeniu zgodnemu z ruchem wskazówek zegara przypisuje się wartość -1 Okrążeniu przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara przypisuje się wartość 1

13 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 13 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Praktyczny sposób określania liczby okrążeń – na przykładzie początku układu współrzędnych G- płaszczyzny

14 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 14 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Pytania - przy obieganiu przez s konturu Γ s na s-płaszczyźnie w prawo w jakim kierunku będzie obiegał G(s) kontur Γ G na G-płaszczyźnie? - jak będzie umiejscowiony kontur Γ G na G-płaszczyźnie w zależności od tego, czy kontur Γ s na s-płaszczyźnie obejmuje na niej, czy też nie obejmuje jakieś zera lub bieguny odwzorowania G(s)?

15 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II Kontur Γ G okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny wtedy, i tylko wtedy, gdy kontur Γ s na s-płaszczyźnie obejmuje na tej płaszczyźnie jakiekolwiek zero lub jakikolwiek biegun odwzorowania G Zachodzi: 2a. Jeżeli kontur Γ s okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara biegun (P=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur Γ G okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (N=1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi 2π 2b. Jeżeli kontur Γ s okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara zero (Z=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur Γ G okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku zgodnym do ruchu wskazówek zegara (N=-1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi -2π Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

16 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 16 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ilustracja do zasad z poprzedniego slajdy

17 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 17 Ilustracja do zasad z poprzedniego slajdy Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

18 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 18 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Uogólnienie: Jeżeli kontur Γ s okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara Z zer i P biegunów odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur Γ G okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny N=P-Z razy, przy czym jeżeli N>0 to w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a jeżeli N<0 to w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara Zasada argumentu Cauchy’ego

19 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 19 Kryterium Nyquista bazuje na zasadzie argumentu Cauchy’ego (analiza zespolona) Niech G(s) będzie funkcją zmiennej zespolonej s, analityczną (różniczkowalną względem zmiennej zespolonej) w pewnym obszarze s- płaszczyzny, co najwyżej z wyjątkiem skończonej liczby punktów. Załóżmy, że pewien kontur Γ s został wybrany na s-płaszczyźnie w taki sposób, że wszystkie jego punkty są analityczne. Kontur Γ G uzyskany na G-płaszczyźnie z odwzorowania konturu Γ s funkcją G(s), będzie okrążał początek układu współrzędnych G-płaszczyzny tyle razy, ile wynosi różnica liczby biegunów i liczby zer funkcji G(s), które są obejmowane przez kontur Γ s N = P - Z gdzie Z jest liczbą zer G(s) obejmowanych przez Γ s, P jest liczba biegunów G(s) obejmowanych przez Γ s, a N jest liczbą okrążeń przez Γ G początku układu współrzędnych G-płaszczyzny Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

20 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 20 Konstrukcja kryterium Nyquist’a Jak określić kontur Γ s jeżeli interesuje nas badanie stabilności? Kontur Γ s powinien obejmować całą prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej s wraz z osią urojoną z wyłączeniem co najwyżej skończonej liczby jej punktów – kontur ten będziemy nazywali konturem Nyquist’a lub D-konturem

21 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 21 Konstrukcja kryterium Nyquist’a Przypadek kiedy bieguny lub zera układu leżą w początku układu współrzędnych płaszczyzny s lub na osi urojonej Sposób postępowania (jeden z możliwych) Modyfikujemy kontur Nyquist’a tak, aby obejść biegun lub zero jako położony w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s – obchodzimy go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu  położonym w prawej półpłaszczyźnie

22 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 22 Konstrukcja kryterium Nyquist’a Kontur Nyquista Wykres Nyquista (wykreślanie wykresu transmitancji układu otwartego dla określenia stabilności układu zamkniętego) Punktem krytycznym staje się punkt (-1, j0) zamiast punktu (0,j0) Wykres Cauchy’e go Kryterium Nyquista bazuje na odwzorowaniu konturu Nyquista w wykres Nyquista układu otwartego

23 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 23 Problem stabilności – kryterium Nyquist’a 1. Czy układ zamknięty posiada bieguny w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s? Bieguny transmitancji układu zamkniętego G z (s) są zerami M(s)=1+G o (s) Wiemy: (patrz początek materiału) 2. Czy M(s)=1+G o (s) posiada zera w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s?  Korzystając z zasady argumentu możemy twierdzić, że liczba tych zer wynosi: Z = P - N 3. Aby układ zamknięty był stabilny: Z=0 lub P=N

24 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 24 Przypomnijmy co reprezentują w tym ujęciu Z, P oraz N? Z – liczba zer M(s)=1+G o (s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. Dla stabilnego układu zamkniętego Z musi być równe zero P – liczba biegunów M(s)=1+G o (s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. P może być określone wprost lub z kryterium Routh’a N – liczba okrążeń charakterystyki Nyquista układu otwartego punktu (- 1,j0). Okrążenia przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara są dodatnie, zgodne w kierunkiem ruchu wskazówek zegara są ujemne Problem stabilności – kryterium Nyquist’a

25 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 25 Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquista można sformułować następująco Aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego G o (s)=G(s)H(s) powinien okrążać punkt (-1, j0) tyle razy ile biegunów układu otwartego leży w prawej półpłaszczyźnie zespolonej s; okrążenia wykresu Nyquist’a punktu (-1,j0), jeżeli istnieją powinny być w kierunku przeciwnym do kierunku konturu Nyquist’a Kryterium Nyquista dla bardzo częstego przypadku kiedy P=0 - liczba biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej wynosi zero, tzn. kiedy układ otwarty jest stabilny Jeżeli układ otwarty jest stabilny, P=0, to aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego G o (s)=G(s)H(s) nie powinien obejmować punktu (-1, j0)

26 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 26 Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Podsumowanie - kryterium Nyquista  Problem: Czy funkcja wymierna 1 + G o (s) ma, czy też nie ma zer w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s?  Rozwiązanie: Wykorzystanie zasady argumentu Cachy’ego Podstawienie  Ułatwienie: Wykorzystanie charakterystyki układu otwartego i punktu (-1,j0) jako punktu krytycznego

27 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 27 Przykłady Przykład 1 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

28 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 28 Przykłady K= i i K= i i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2

29 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 29 Przykłady

30 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 30 Przykłady Przykład 2 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

31 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 31 Przykłady K= i i K= i i K= i i P=0, N=0; Z=P-N=0

32 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 32 Przykłady

33 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 33 Przykłady Przykład 3 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

34 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 34 Przykłady K= i i K= i i K= i i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2

35 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 35 Przykłady

36 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 36 Przykłady K= i i K= i i K= i i P=0, N=0; Z=P-N=0 Przykład 4

37 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 37 Przykłady

38 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 38 Przykłady Przykład 5

39 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 39 Przykłady K= i i K= i i K= i i K= i i P=0, N=-2; Z=P-N=2 Dla wszystkich przypadków:

40 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 40 Przykłady

41 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 41 Przykłady Przykład 6 P =0, N = 0; Z=P-N=0

42 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 42 Przykłady P =1, N = -1; Z=P-N=2 Przykład 7

43 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 43 Przykłady K= K= i i K= i i

44 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 44 Przykłady

45 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 45 Przykłady Przykład 8 P =1, N = 1; Z=P-N=0

46 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 46 Przykłady i i

47 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 47 Przykłady

48 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 48 Zapas stabilności Istnieje potrzeba określania w jakim stopniu układ jest stabilny – jak daleko znajduje się od punktu w którym stanie się niestabilny Użyteczne idee  zapas modułu (wzmocnienia) – g m (2-6)  zapas fazy –  m (45o – 60o) Obydwie miary określają bliskość wykresu Nyquist’a od punktu krytycznego (-1, j0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

49 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 49 Zapas stabilności  Jeżeli moduł transmitancji układu otwartego, stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym przesunięciu fazowemu –180o wynosi  to zapas modułu (wzmocnienia) wynosi g m = 1/  Zapas modułu (wzmocnienia) – g m

50 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 50 Zapas stabilności Zapas fazy –  m  Jeżeli przesuniecie fazowe transmitancji układu otwartego stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym modułowi o wartości 1 wynosi  to zapas fazy wynosi  m = 

51 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 51 Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu


Pobierz ppt "© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Zera, bieguny, stabilność II 1 Podstawy automatyki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google