Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

2016-01-14PTS 2015/6 PŁ1 Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia Podstawowe postacie i zależności Widmo amplitudowo-fazowe.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "2016-01-14PTS 2015/6 PŁ1 Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia Podstawowe postacie i zależności Widmo amplitudowo-fazowe."— Zapis prezentacji:

1 PTS 2015/6 PŁ1 Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia Podstawowe postacie i zależności Widmo amplitudowo-fazowe

2 PTS 2015/6 PŁ2 Postacie trygonometryczne szeregu Fouriera funkcji okresowych: gdzie:

3 PTS 2015/6 PŁ3 Wzory podstawowe dla współczynników: Składowa stała

4 PTS 2015/6 PŁ4 Wykładnicza postać szeregu Fouriera : Wykorzystując wzory: w definicyjnej postaci trygonometrycznej:

5 PTS 2015/6 PŁ5 I wprowadzając następujące oznaczenia: Otrzymamy wykładniczą postać szeregu Fouriera: Gdzie współczynniki Zespolone są postaci: A dla n=0:

6 PTS 2015/6 PŁ6 Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: Wsp. postaci trygonometrycznych Wsp.zespolon y

7 PTS 2015/6 PŁ7 Szeregi FOURIERA -warunki Bezwzględnej całkowalności Skończonej liczby punktów ekstremalnych Skończonej liczby nieciągłości (o skończonej wartości) Jeżeli dla funkcji okresowej spełnione są warunki:

8 PTS 2015/6 PŁ8 to szereg Fouriera jest zbieżny do funkcji oryginalnej we wszystkich punktach gdzie jest ona ciągła, a we wszystkich punktach nieciągłości t i zbiega się do wartości:

9 PTS 2015/6 PŁ9 Niespełniony warunek 2):

10 PTS 2015/6 PŁ10 Niespełniony warunek 3):

11 PTS 2015/6 PŁ11 Funkcja okresowa nie musi być ciągła: dla t 1 : dla T:

12 PTS 2015/6 PŁ12 A m1 A m2 x(t) t T T/2 1) 1) Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera oraz wykładniczego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji. ZADANIE

13 PTS 2015/6 PŁ13 Rozwiązanie: Tabela 1 k akak bkbk Am k ΦkΦk

14 PTS 2015/6 PŁ14 WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE

15 PTS 2015/6 PŁ15 SYNTEZA PRZEBIEGU: DLA N=50 HARMONICZNYCH

16 PTS 2015/6 PŁ16 DLA N=3 DLA N=10

17 PTS 2015/6 PŁ17 PRZYKŁAD 2 1) Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji.

18 PTS 2015/6 PŁ18 Rozwiązanie:

19 PTS 2015/6 PŁ19

20 PTS 2015/6 PŁ20 WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE

21 PTS 2015/6 PŁ21 Synteza sygnału n=10 n=50 n=200 Efekt Gibbsa

22 PTS 2015/6 PŁ22 Widmem zespolonym sygnału okresowego nazywamy ciąg współczynników rozwinięcia funkcji okresowej f(t) w zespolony szereg Fouriera.

23 PTS 2015/6 PŁ23 Widmem amplitudowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych :Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych :

24 PTS 2015/6 PŁ24 Z zależności Wynika, że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a fazowe nieparzystą

25 PTS 2015/6 PŁ25 Aproksymacja sygnału  reprezentacja sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów szeregu Fouriera (sumą częściową) Stąd definiuje się pojęcie błędu aproksymacji:

26 PTS 2015/6 PŁ26 Za miarę tego błędu przyjmuje się wartość skuteczną sygnału błędu: Można wykazać, że

27 PTS 2015/6 PŁ27 Kryterium dokładności aproksymacji sygnału okresowego f(t) jego sumą częściową jest zazwyczaj błąd względny Na jego podstawie można wyliczyć liczbę wyrazów sumy częściowej zapewniającą aproksymację sygnału f(t) o założonej dokładności.

28 PTS 2015/6 PŁ28

29 PTS 2015/6 PŁ29

30 PTS 2015/6 PŁ30

31 PTS 2015/6 PŁ31 Zjawisko Gibbsa (cd) Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej zmniejsza błąd aproksymacji Ale w sygnałach o skokowych zmianach wartości w otoczeniu punktów nieciągłości występują niekorzystne oscylacje funkcji (sygnału)  efekt Gibbsa

32 PTS 2015/6 PŁ32 Zjawisko Gibbsa (cd) Można wykazać, że w otoczeniu punktu nieciągłości (w którym funkcja okresowa zmienia wartość skokowo) skończony szereg aproksymujący posiada oscylacje, z których największa przyjmuje wartość ~9% wartości skoku w punkcie nieciągłości

33 PTS 2015/6 PŁ33 9% 100%

34 PTS 2015/6 PŁ34 Podsumowanie:  Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf (k  )  Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera  Suma składowej stałej i harmonicznych o postaci gdzie

35 PTS 2015/6 PŁ35 Podsumowanie (cd)  Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera (cd)  Suma składowej stałej i funkcji cosinusoidalnych i sinusoidalnych  Suma składników zespolonych (zespolony szereg Fouriera)

36 PTS 2015/6 PŁ36 Podsumowanie (cd)  Podstawowe wzory umożliwiające obliczenie współczynników drugiej postaci:

37 PTS 2015/6 PŁ37 Podsumowanie (cd)  Podstawowe relacje między postaciami szeregu (I i II)

38 PTS 2015/6 PŁ38 Podsumowanie (cd)  Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: Wsp. postaci trygonometrycznychWsp. postaci trygonometrycznych Wsp.zespolonyWsp.zespolony


Pobierz ppt "2016-01-14PTS 2015/6 PŁ1 Wykład drugi Szereg Fouriera Warunki istnienia Podstawowe postacie i zależności Widmo amplitudowo-fazowe."

Podobne prezentacje


Reklamy Google