Fizyka statystyczna Statistical Physics

Prezentacja na temat: "Fizyka statystyczna Statistical Physics"— Zapis prezentacji:

1 Fizyka statystyczna Statistical Physics
Ryszard Wojciechowski Wydział Fizyki, UAM (2008/2009)

2 Twierdzenie o zachowaniu objętości fazowej (tw. Liouville’a)
Równanie Liouville’a Twierdzenie o zachowaniu objętości fazowej (tw. Liouville’a) Stan klasyczny: punkt w 6N wymiarowej przestrzeni fazowej. Dla układu zachowawczego: równania ruchu to równania Lagrange’a: qi- współrzędna uogólniona N punktów materialnych (cząstek)

3 L=K-U- funkcja Lagrange’a; K- energia kinetyczna; U- energia potencjalna układu.
R. ruchu w formie hamiltonowskiej: H- funkcja Hamiltona (Hamiltonian) (q1,q2,…,q3N,p1,p2,…,p3N)=(X)- zbiór zmiennych kanonicznych

4 Opis statystyczny układu mechanicznego
Stan ‘mechaniczny’ jest całkowicie zdeterminowany przez (x)- mikrostan; Stan makroskopowy określony jest przez mierzalne makroskopowo parametry (wielkości fizyczne) będące funkcjami zmiennych kanonicznych: Fk nie wyznacza wszystkich (X)→ opis statystyczny

5 Fazowa gęstość (rozkład) prawdopodobieństwa ρ(X. t)
Fazowa gęstość (rozkład) prawdopodobieństwa ρ(X.t). Odpowiada ona warunkom w jakich znajduje się układ oraz uwzględnia symetrię układu. (założenie o równych prawdopodobieństwach a priori) Prawdopodobieństwo dla objętości G: Warunek unormowania: Średnia wartość wielkości fizycznej F(X):

6 Odchylenie standardowe:

7 Zespół fazowy: zbiór punktów fazowych, odpowiadający wszystkim możliwym stanom (mikrostanom) danego układu; Statystyczny zespół fazowy: zbiór stanów z przypisanym im prawdopodobieństwem (fazowa gęstość prawdopodobieństwa) → każdy punkt zespołu fazowego staje się zmienną losową. Ruch zespołu fazowego można traktować jako ruch cieczy fazowej. Dla układów hamiltonowskich (spełnione są r. Hamiltona) ciecz fazowa jest nieściśliwa.

8 Równanie ciagłości Dla cieczy nieściśliwej ρ=0

9 Dla cieczy w przestrzeni 6N wymiarowej
Wynika to z równań Hamiltona

10 Twierdzenie Liouville’a o zachowaniu objętości fazowej mówi, że zachowana jest objętość dowolnej części 6N wymiarowej przestrzeni fazowej, ograniczonej zamkniętą hiperpowierzchnią określoną przez punkty w przestrzeni fazowej, przedstawiające stany układu

11 Równanie ruchu zespołu fazowego
Szukamy równania ruchu (ewolucji) dla fazowej gęstości prawdopodobieństwa w ρ(X,t) tzn. chcemy znaleźć ρ(X,t) z ρ(X,t=t0). Niech G0 będzie objętością fazową w chwili t0. W chwili t G0 przejdzie (zgodnie z r. Hamiltona) w objętość Gt i G0= Gt . Z twierdzenia Liouville’a otrzymujemy: ρ(X(t),t)= ρ(X(t0) ,t0), Gdzie X(t) i X(t0) są współrzędnymi w przestrzeni fazowej związane równaniami Hamiltona. Wynika to z wzajemnej jednoznacznej odpowiedniości wszystkich punktów zawartych w objętości G0 z wszystkimi punktami zawartymi w objętości Gt prawdopodobieństwo znajdowanie się układu w obszarze o objętości G0 w chwili t0 jest równe prawdopodobieństwu jego znajdowania w obszarze o objętości Gt w chwili t, pod warunkiem, że nie ingerowano w układ (np. poprzez dokonanie pomiaru) aby spowodować zmiany prawdopodobieństw.

12 Gęstość prawdopodobieństwa znajdowania się układu w obszarze o objętości Gt nie zmienia się w czasie: Z uogólnionego tw. Ostrogradzkiego:

13 Ostatni wzór wynika z uogólnienia następującego wzoru na przypadek 6N wymiarowy:

14 Całka równa się zero dla dowolnego obszaru całkowania Gt:
Korzystając z równań Hamiltona i warunku na nieściśliwość cieczy fazowej otrzymujemy

15 Równanie Liouville’a gdzie [ ] oznacza nawias Poissona. Ostatecznie otrzymujemy:

16 W przypadku kwantowym jest równanie von Neumanna,
w którym zamiast nawiasu Poissona występuje komutator [ , ]/iћ W równowadze termodynamicznej

17 Z mechaniki wiemy, że dla N>3 ruch jest zazwyczaj chaotyczny, tzn
Z mechaniki wiemy, że dla N>3 ruch jest zazwyczaj chaotyczny, tzn. że dwa punkty bliskie sobie w chwili początkowej rozbiegają się wykładniczo w czasie. Jeżeli po ‘długim czasie trajektoria w przestrzeni fazowej pokryje całą podprzestrzeń o danej energii to mówimy, że układ jest ergodyczny. Nie ma pewności, że tak się stanie.

18 Układy ergodyczne (Ergodic systems)
Można pokazać, że istnieją układy mechaniczne, których zachowanie zdeterminowane jest przez jedna całkę ruchu, a mianowicie energię (np. Birkhoff i Kołmogorow ). Są to tzw. Układy ergodyczne. Bardziej formalnie: układy metrycznie nierozkładalne tzn. takie, dla których przestrzeni fazowej nie można podzielić na dwa obszary tak, aby punkt fazowy pozostawał cały czas w jednym obszarze i nie mógł przejść do drugiego obszaru. Dla układów ergodycznych dostępne są wszystkie punkty podprzestrzeni fazowej odpowiadającej danej energii. (punkt fazowy może przebiegać dowolnie blisko podprzestrzeni danej energii). Można pokazać, że dla układów ergodycznych średnia czasowa wielkości mechanicznej (fizycznej) F(X) dla nieskończonego długiego czasu jest funkcja jedynie energii i nie zależy od innych całek ruchu. Oczywiście istnieją układy nieergodyczne np.. szkła, szkła spinowe) Hipoteza ergodyczna Zakładamy, że układ jest ergodyczny tzn., że jego średnia czasowa jest równa średniej fazowej po zespole mikrokanonicznym (Boltzmann):

19 Γ- point in the phase space

20 Różniczki zupełne i niezupełne Warunki stabilności
Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre’a Thermodynamical potentials and the Legendre transform Huan, p.36, honer. P.45 Potencjały Relacje Maxwella Różniczki zupełne i niezupełne Warunki stabilności

21 Maxwell relations The relations folow from the analitical properties of th thermodynamic potentials as functions of their natural variables (including the number of) particles) that is the symmetry of the second derivatives.

22 Can be obtained from:

23

24 Zespoły kanoniczne Gibbsa i odpowiadajace im rozkłady prawdopodobieństwa
Zespół mikrokanoniczny (microcanonical ensemble): izolowany, stała objętość V i liczba cząstek N; Gęstość prawdopodobieństwa: ρ(p,q|E,V.N)= ρ(p,q) Zespół kanoniczny (canonical ensemble): kontakt cieplny (średnia energia), stała objętość V i liczba cząstek N; Gęstość prawdopodobieństwa: ρ(p,q|V.N)=ρ(p,q) Zespół wielki kanoniczny (grand canonical ensemble): wymiana energii i cząstek (układy otwarte) z otoczeniem, stała objętość; Gęstość prawdopodobieństwa: ρ(p,q|V)=ρ(p,q)

25 Changes of external conditions
The internal energy (heat and work are energy contributions which the system exchanges with its environment: The entropy in equilibrium:

26 The entropy in nonequilibrium:

27 The microcanonical systems
H(x)=E. More realistic: E≤H(x)≤E+ΔE. The probability density: The probability of finding the system in the microstate i: The entropy: N!h3N-the natural volume in phase space for a microstate.

28 Normalization:

29 The microcanonical ensemble average of the observable A:

30 The density of ststaes N(E,V,N) (N(E)) is equal to the number of cells i.e. the number of microstates in the interval (E,E+ΔE): Example: The integral over the momenta is equal to the volume of sphere in 3N Dimensional space with radious (2mE)1/2 and is giwne by:

31

32 The entropy with the indistinguishability of particle (N!) :
For fixed volume and energy per particle the entropy is proportional to the number of particle N, as should be. Without the indistinguishability of particle (NlnN would be missing) the entropy per particle would increase with N (for N infinite S is infinite!) in contradiction with the laws of classical thermodynamics. This is so called the Gibbs paradox.

33 The canonical system (ensemble): the system in thermal contact.
Two systems: (1):H(p,q) and H’(p’,q’) (thermostat, thermal,bath) in thermal contact i.e. we allow an exchange of energy (V,N,V’N’-constants), while the total system: Etot =H’(p’,q’)+H(p,q) remains closed (we have to wait until the total system is in a stationary equlibrium state. How to get the probability density(E) for the energy of the system (1)?. The number of microstates of the total system in which the first system has the energy E:

34 The number of microsttses (E) is a rapidly increasing function of the energy. Thus, (E) ’(Etot-E) has a very sharp maximum for macroscopic systems (N-very large). ln((E) ’(Etot-E)) exhibits a maximum for the same value of the energy.

35 The energy density (E|T,V
The energy density (E|T,V.N)(E) for the canonical system and defintion of the temperature.

36 The Boltzmann density (canonical density) (x|T,V,N)(x).
The conditional probability: P(A|B)-the probability of A when B is given; The joint probability: P(AB)-the prob. For the occurrence of A and B; P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A); Independence of random variables A and B: P(AB)=P(A)P(B); A disjoint, complete partition of : the union-iBi=, BiB=;

37

38 The partition function (the statistical sum) Z
The partition function (the statistical sum) Z. The normalization condition, the free enrgy.

39 The grand canonical system (ensemble): the system in thermal contact.
Two systems: (1):H(p,q) and H’(p’,q’) (thermostat, thermal,bath) in thermal contact and with exchange of particles (V,,V’-constants), while the total system: Etot =H’(p’,q’)+H(p,q) remains closed (we have to wait until the total system is in a stationary equlibrium state. How to get the probability density(E,N) for the energy E and the number of particles N of the system (1)?. The number of microstates of the total system in which the first system has the energy E and the number of particles N:

40 The energy density (E,N|T,V)(E,N) for the grand canonical system and defintion of the chemical potential.

41 The chemical potential is an intensive variable
The chemical potential is an intensive variable. For two systems in thermal contact and with an exchange of the particvles (V-const.), the chemical potentials become equal in stationary equlibrium. Until the equlibrium state is reached, there is a flow of particles from the system with higher chemical potential to the system with lower chemical potential. Two systems with slightly different temperature and chemical potential: a quantity of energy dE and a quantity of particles dN flow into one system. Thus the change of the entropy for this system equals:

42 The density for a microstate x=(p,q) of an N-particle system where N can vary from 0 to infinite: the grand or macrocanonical density. The grand canonical partition function Y and grand canonical potential:

43 Klasyczne gazy idealne- rozkład Maxwella-Boltzmanna
Fluktuacje w rozkładach kanonicznych Związek z entropią (maksymalizacja) Czynnik Boltzmanna Twierdzenie o ekwipartycji energii Rozkład szybkości Maxwella Ciepło właściwe (pojemność cieplna) Paradoks Gibbsa

44 The equipartition theorem
A system of N classical particles: x(p1,…p3N, q1,…q3N). If the internal energy H(x)0, x→, then for arbitry polynomial function f(x):

45 The equipartition theorem: examples.
The number of degrees of fredom f=3N.

46

47 Pojemności cieplne (heat capacities)
Funkcje reakcji (response functions)

48 1) Magnetic susceptibility: (R.M. Wilcox, Phys. Rev 174(2),624(1968):
Isothermal, adiabatic,, and isolated static susceptibility tensors; 2) Isothermal and adiabatic compressibilities: Isobaric Expansivity and Isochoric Tension:

49

50 Hyperphysics

51

52

53

54 Hydrogen, m=2mp vmax = 1.93 km / s

55

56 dv

57 Maxwell’s Demon

58 Stany czyste i stany mieszane (Pure and mixed states)
Fizyka klasyczna: mikrostany stany układu to punkty x=(p,q) w 6N wymiarowej przestrzeni fazowej, a wielkości mierzalne (obserwable) np. energia H(x), to funkcje na przestrzeni fazowej. Zbiór punktów fazowych układu z przypisanymi im prawdopodobieństwami tworzy statystyczny zespół fazowy, dla którego możemy wyznaczyć odpowiednie gęstości prawdopodobieństwa. Mechanika kwantowa: musimy rozróżnić stan układu ( wektor w przestrzeni Hilberta) czy funkcję falową będącą rzutem wektora stanu na odpowiednią bazę, od możliwych wyników pomiaru.

59 Quantum-mechanical description of the statistical systems.
We have to distinguish between the state of the system: a vector in a Hilbert space |F> and the components of this vector with respect to some basis are the wavefunctions F(x), F(p), F(E): x,p, E form a complete set of quanyum numbers for a complete system of commuting observables→self-adjoint operators in the hlbert space, and their spectrum represents the possible results of measurement: positions, momenta, energies etc.

60 The density operator (density matrix)
A pure state: if the system is in a definite state |Ψ(i’)> then p(i’)=1 and p(i)=0 otherwise. The statistical expectation value of A (<A>):

61 Properties of density operators.
Trρ=1; (A=1). The density opertor is hermitian. For every state |Ψ> in the Hilbert space - <Ψ|ρ|Ψ>≥0 since The density operator satisfies Tr(ρ2)≤1, and Tr(ρ2)=1, if and only if ρ represents a pure state.

62 The entropy of a density operator.

63 Równanie von Neumanna (przybliżenie RPA (Random Phase Approximation

64 Identyczne cząstki kwantowe- statystyki kwantowe
-Paczka falowa ma rozmiar przestrzenny: λ=h/p (de Broglie) -gaz w równowadze (ekwipartycja energii): p2/2m=3/2kT Stąd: λ=h/(3mkT)1/2. Termiczna długość fali pozwala oszacować rozmiar lokalizacji paczki falowej (ΔxΔp~ћ). Szacowanie granica klasycznej i termicznej długości fali: Def. Używana w fizyce . statystycznej różni się o stałą:

65

66 Opis klasyczny: Opis kwantowy:
Układ klasyczny: λ<<średnia odległość międzycząstkowa~n1/3 Opis klasyczny: Opis kwantowy:

67 Temperatura zwyrodnienia, to temparatura poniżej której istotne są efekty kwantowe →

68

69 Przykładowe temperatury degeneracji kwantowej
Układ Gęstość[cm3] T0[K] gazowy H2 ciekły 4He el. w metalach 2 *1019 2*1022 1022 5 *10-2 2 104

70 Nierozróżnialność cząstek
Hamiltonian układu czastek jest niezmienniczy względem permutacji P tzn. [P,H]=0 (PHP-1=H). Działanie P na stan (np. dwie cząstki): C=1-bozony (symetryczna funkcja falowa C=-1-fermiony (antysymetryczna funkcja falowa

71 C=1-bozony (symetryczna funkcja falowa (statystyka Bosego_Einsteina), spin całkowity.
C=-1-fermiony (antysymetryczna funkcja falowa (statystyka Fermiego-Diraca), spin połówkowy. Orbitalny moment pędu cząstek nie zmienia statystyki. Dlaczego?

72 Reprezentacja liczby obsadzeń (the occupation number represemtation)
Dla dowolnej liczby cząstek N funkcja falowa jest zdeterminowana odpowiednią kombinacją liniową iloczynów stanów jednocząstkowych: może być parzysta (dla bozonów)

73 może być nieparzysta (dla fermionów)
Wyznacznik Slatera: zapewnia zakaz Pauliego- ui (r)=u i(r)

74 Idealne układy kwantowe (Ideal quantum systems)
(kolejność nieistotna) to znaczy, że wystarczy podać liczbę cząstek w stanie α: nα. Liczbę tę nazywamy liczbą obsady (obsadzenia) stanu jednocząstkowego α. Stan układu N cząstek może być określony przez podanie liczby cząstek nα, które znajdują się w stanie |α> Wartości liczby obsady dla bozonów i fermionów: Funkcja falowa N cząstek jest numerowana zbiorem {α1, …, αN}

75 Fotony i fonony: ich liczba N w równowadze w zamknietej wnęce (krysztale) o objętości V i temperaturze T nie może być dowolna (ale mogą znikać i powstawać), jak w przypadku gazów cząsteczkowych, ale jest określona przez V i T. N jest określone z warunku minimum energii swobodnej F tzn.: µ-potencjał chemiczny

76 Suma stanów dla układu złożonego z N cząstek:
Dla fotonów i fononów nie ma ograniczenia na N (µ=0). Jak można ominąć ograniczenie wynikające z liczby cząstek N i sumowania po stanach jednocząstkowych? Wprowadzamy wielki zespół kanoniczny, a stąd potencjał chemiczny, rezygnując z stałej liczby cząstek. Możemy to zrobić, ponieważ potencjał chemiczny możemy wyznaczyć z średniej liczby cząstek, którą za chwile obliczymy. Teraz enrgie jednoczastkowe liczone są względem potencjału chemicznego: εα->εα-µ.

77 Wielka suma statystyczna :

78 Po przegrupowaniu zα-suma stanów dla stanu α; cząstki obsadzają każdy Stan α niezależnie.

79 z-aktywność (fugacity)
Fermiony: z-aktywność (fugacity)

80 Bozony: Dla bozonów µ<0

81 Średnia liczba cząstek w stanie α:
Bozony-rozkład Bosego-Einsteina Fermiony- rozkład Fermiego-Diraca

82 F-D, B-E, M-B

83

84 Wielka suma statystyczna
Fermiony-znak górny; bozony- znak dolny Wielki potencjał termodynamiczny (potencjał termodynamiczny)

85 Granica klasyczna- rozkład Maxwella-boltzmanna
Mała gęstośc cząstek: nα<<1 →z<<1→ można zaniedbac ±1 w mianowniku:

86 Wartości średnie

87 Suma po ki to suma po ni=kiL/π=1,2,…
Gazy doskonałe Stany jednoczastkowe |α>=|k,m>; m=1/2 lub -1/2 ( w jednostkach ћ) , a k jest wektorem falowym. Czynnik degeneracji g=2. ki=niπ/L (L-rozmiar układu w kierunku i-x,y,z) Suma po ki to suma po ni=kiL/π=1,2,… ρ- gęstośc stanów (DOS-Density of States)

88 DOS d=1 d=2 d=3

89 Po całkowaniu przez części

90 Fermiony stan podstawowy (T=0) µ(T=0)=EF
Energia Liczba cząstek Energia Fermiego

91 Ciśnienie Dla fermionów ciśnienie w T=O jest różne od zera, ponieważ tylko dwa fermiony mogą miec zerowy pęd. Przykład: el. w metalu n=1022cm-3

92 Przydatne całki Bozony:

93 Fermiony

94 Przykłady zdegenerowanych układów fermionowych
Elektrony w metalach n=N/V=(1-10)x1022 cm-3, εF=(2-8)eV, TF=(2-8)x105 . W temperaturze pokojowej T<<TF- elektrony tworzą silnie zdegnerowany gaz. Białe karły (white dwarf stars) Masa porównywalna z masa Słońca, a promień rzędu promienia ziemi. Przykład: Syriusz B (towarzysz Syriusza)

95 W porównaniu z elektronami w metalu n jest 108 razy
Jeden atom wodoru zajmuje objętość 10-10m=0.01Å. → atomy są zupełnie zjonizowane i elektrony tworzą gaz. Czy gaz ten jest zdegenerowany. W porównaniu z elektronami w metalu n jest 108 razy większe, a εF n2/3~105 razy tzn.

96 Z obserwacji wiadomo, że temperatura wewnątrz Syriusza B wynosi T=107K <<TF .
Ciśnienie Pualiego elektronów nie kompensuje siły grawitacji→ grawitacyjne zapadanie (gravitational collapse) jeżeli przekroczona jest ranica Chandrasekhara: M gwiazdy>1.4 M Słońca. Jądra (protony) w białych karłach nie tworzą gazu zdegenerowanego (m protonu wynosi w przyblizeniu 2000 masy elektronu).

97 W tych warunkach również jądra tworza gaz zdegenerowany
Gwiazdy neutronowe (neutron stars) W tych warunkach również jądra tworza gaz zdegenerowany

98

99 Statystyki Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina (c.d.)
Gęstość cząstek

100 Wstawiamy termiczna długość fali

101 Funkcja F-D ma punkt osobliwy w z=-1, a funkcja B-E
w z=1 (kondensacja B-E)

102 Przydatne funkcje i relacje

103 Związki rekurencyjne

104 Kondensacja Bosego-Einsteina Bose-Einstein condensation

105 Rozważmy równanie Szereg rozbiega się w punkcie z=1 (pochodna nieskończona)

106 Górne ograniczenie na g3/2
Gdy nλ3 osiąga tę wartość, cząstki przechodzą do stanu o zerowym pędzie (energii). Prowadzi to kondensacji B-E. Kondensat składa się z cząstek ozerowym pędzie. Podczas kondensacji aktywność jest Równa 1 (µ=0).

107 Granica pomiędzy faza gazową a skondensowaną

108 Temperatura i gęstość krytyczna

109 Potencjał chemiczny

110 b-e-cond2.pdf

111

112

113 Przejścia fazowe:fiz-stat-phase-transit1

114 Przejścia fazowe Przejścia fazowe nieciągłe (pierwszego rodzaju): gaz-ciecz Przejścia ciągłe (drugiego rodzaju): ferrro-paramagneyk, nadprzewodnik-stan normalny, gaz-ciecz w punkcie krytycznym)

115 Równanie stanu jest funkcją regularną (analityczną) w każdej fazie: ciągłą o ciągłych pochodnych. Przy przejściu z jednej fazy do drugiej równanie stanu przechodzi (w różny sposób dla przejść ciągłych i nieciągłych) w inną regularną funkcję. Przejścia nieciągłe: pierwsza pochodna potencjału (Gibbsa) jest nieciągła na granicy pomiędzy fazami

116 Przejścia nieciągłe: pierwsza pochodna potencjału G (Gibbsa) jest nieciągła na granicy pomiędzy fazami →np. nieciągłość gęstości i entropii (patrz r. Maxwella: ) Ciepło utajone (ciepło przemiany): współistniejące fazy mają różne entropie → układ musi pochłaniać lub oddawać ciepło podczas przemiany fazowej Q=T0(S2-S1), T0-temperatura, w której współistnieją fazy, S1(2) entropia 1(2) fazy; Punkt krytyczny: w punkcie krytycznym gęstość i entropia gazu i cieczy są jednakowe → przejście fazowe ciągłe (drugiego rodzaju) Punkt potrójny: punkt współistnienie trzech faz: ciekłej, gazowej, stałej.

117 Przejścia ciągłe: pierwsze pochodne potencjału na granicy faz są ciągłe, a drugie pochodne są nieciągłe Parametr porządku: wielkość, która równa się zero powyżej temperatury Tc krytycznej i jest różna od zero poniżej Tc. Przejście ciągłe, to przejście łamiące symetrię. Przykłady parametru porządku:

118 Przykłady parametrów porządku
Układ Parametr porządku Złamana symetria ferromagnetyk magnetyzacja symetria obrotowa antyferro- magnetyk podsieci mieszanina ciecz-gaz różnica gęstości cieczy i gazu przestrzenna jednorodność nadciekłość, nadprzewodnictwo Funkcja falowa kondensatu Globalna niezmienniczośc cechowania

119 Spontaniczne łamanie symetrii
Fizyczna przyczyna: oddziaływanie np. w ferromagnetyku- powoduje równoległe ustawienie spinów (złamana symetria rotacyjna hamiltonianu) obniżające energię wewnętrzna układu U . Przeciwdziałają temu fluktuacje termiczne, które zwiększają entropię układu S. Prowadzi to do zerowania (minimalizacji) energii swobodnej F=U-TS. Na ogół w niskich temperaturach materia ma inną symetrię niż tworzące je składniki (np. atomy w kryształach, gdzie złamana niezmienniczość translacyjna hamiltonianu wynikająca z jednorodności przestrzennej). Gdy hamiltonian jest niezmienniczy ze względu na pewne operacje symetrii, a stan podstawowy nie jest niezmienniczy, to mówimy, że symetria została złamana spontanicznie

120 Zmiana stanu |ψ> pod wpływem operacji symetrii P
H |ψ> =E |ψ> ; niezmienniczość [H,P]=0, P-1HP=H. Z tego wynika, że P-1HP |ψ> =E |ψ> oraz HP |ψ> =E P|ψ> Wniosek: Jeżeli P|ψ> jest innym stanem niż |ψ>, to obydwa stany są Równoprawnymi stanami podstawowymi, a to oznacza, ze jeżeli symetria jest złamana (spontanicznie), to stan podstawowy jest zdegenerowany. W ferromagnetyku degeneracja może by nieskończona. Przejście od jednej konfiguracji do drugiej wymaga energii (występuje bariera energetyczna). W miarę zbliżania się do punktu krytycznego obszary uporządkowane rozrastają się (rośnie promień korelacji; w TC jest nieskończony) i coraz dłużej trwa odwrócenie konfiguracji (krytyczne spowolnienie ang. critical slowing down→ dynamiczny indeks krytyczny z). Układ przestaje być ergodyczny (nie są dostępne wszystkie punkty przestrzeni spinów (przestrzeni fazowej); separowalnośc metryczna przestrzeni fazowej.

121 Model Isinga Energia E konfiguracji {s} w polu magnetycznym h:
S=±1, w D wymiarowej przestrzeni; (i,j)- para najbliższych sąsiadów; {s}={s1, s2, …, sN}- konfiguracja N spinów; J- stała oddziaływania (całka (parametr) wymiany)

122 Magnetyzacja M(h) (parametr porządku)
(β=1/kT) Dla h=0 E{s}=E{-s} i M(0)=-M(0), a to znaczy M(0)=0 → paradoks: brak magnetyzacji. Wyjaśnienie paradoksu: W granicy termodynamicznej: N→∞ (N/V=constans) i Dostatecznie niskich T układ nie może przejść w skończonym czasie przez wszystkie dostępne konfiguracje oznacza to że:

123 Granice N→∞ i h→0nie komutują tzn.:
Druga granica prowadzi do spontanicznego złamania symetrii

124 Hipoteza skalowania Widoma i Kadanoffa
Zachowanie układu w pobliżu punktu krytycznego (w obszarze krytycznym) nie zalaży od mikroskopowych własności układu (np. oddziaływania), ale od wymiaru układu i wymiaru parametru porządku