Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Zespół Szkół Nr5 ID grupy: 97/41_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: TP 011 NEWTON Semestr/rok szkolny: I / 2010/2011

3 TP 011 NEWTON

4 Johannes Kepler ( )

5 Osi ą gni ę cia wprowadził pojęcie siły, opisał ruch planet, odkrył że planety nie poruszają się po orbitach eliptycznych, odkrył że planety poruszają się z różnymi prędkościami względem Słońca, prawa Keplera, skonstruował lunetę Keplerowską,

6 I prawo Keplera Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po elipsie, w której w jednym z ognisk jest Słońce.

7 II prawo Keplera W równych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola

8 III prawo Keplera,,Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym

9 Luneta Keplera Instrument optyczny wynaleziony w roku 1611 przez niemieckiego fizyka Jana Keplera, a po raz pierwszy zbudowany w 1615 roku przez Christiana Scheinera. Składa się z dwóch soczewek skupiających, z czego większa soczewka przednia jest obiektywem, a druga mniejsza i umieszczona za ogniskiem obiektywu jest okularem. Obiektyw daje obraz przedmiotu, który jest rzeczywisty, zmniejszony i odwrócony. Okular, pełni tutaj rolę lupy, która daje obraz pozorny, powiększony i odwrócony względem przedmiotu. Luneta Keplera uzupełniona o dodatkowe soczewki lub pryzmaty stanowi podstawę konstrukcji współczesnych refraktorów astronomicznych, lunet i lornetek.

10 Kartezjusz ( )

11 Osi ą gni ę cia optyka geometryczna np. prawo załamania światła, prawo odbicia, układ współrzędnych, geometria analityczna, rachunek różniczkowy, rachunek całkowy, geometria różniczkowa, wprowadził pojęcia: funkcji, liczb urojonych, twierdzenie Bezout, twierdzenie o liczbach rzeczywistych i zespolonych pierwiastków równań algebraicznych, oszacowanie liczb dodatnich i ujemnych pierwiastków równania algebraicznego, rozwiązanie graficzne równania algebraicznego trzeciego stopnia, zasada zachowania pędu, teoria wirów,

12 Uk ł ad wspó ł rz ę dnych Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyźnie, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) i liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

13 Newton ( )

14 Osi ą gni ę cia Fizyka: prawo powszechnego ciążenia, prawa ruchu, zasady dynamiki, podał matematyczne uzasadnienie praw Keplera, wykazał że orbity planet mogą być nie tylko eliptyczne ale hiperboliczne i paraboliczne, głosił korpuskularną naturę światła, głosił że widmo barw jest własnością światła, rozwinął prawo stygnięcia, sformułował zasadę zachowania pędu i momentu pędu, opisał matematycznie zjawisko pływów morskich, zjawisko aberracji chromatycznej, teleskop zwierciadlany, wyprowadził wzór na prędkość dźwięku w powietrzu, Matematyka: rozwinął teorie rachunku różniczkowego wraz z Loebnitzem, stworzył rachunek wariacyjny, sformułował twierdzenie o dwumianie,

15 Prawo powszechnego ci ąż enia Każde dwa ciała przyciągają się siłą wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas I odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. G stała grawitacji, mówi z jaka siła przyciągać się będą dwa ciała o jednostkowej masie (1kg) z odległości 1m. G = 6,67* Nm 2 /kg 2

16 Dwumian Newtona Trójkąt Pascala

17 I zasady dynamiki Newtona Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w ruchu lub porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym

18 II zasady dynamiki Newtona Jeśli na ciało działają niezrównoważone siły to nadają mu przyspieszenia wprost proporcjonalnego do wartości przyłożonej siły I odwrotnie proporcjonalnego do masy ciała.

19 III zasady dynamiki Newtona Jeśli na ciało A działa na ciało B siła F AB to ciało B działa na ciało A siłą F BA równą jej co do wartości lecz o przeciwnym zwrocie

20 P ę d cia ł a Pędem ciała nazywamy iloczyn masy ciała i jego prędkości

21 Zasada zachowania p ę du W izolowanym układzie ciał całkowity pęd ciała nie ulega zmianie.

22 Uk ł ad inercjalny Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne. Inercjalny układ odniesienia można również zdefiniować jako taki układ, w którym nie pojawiają się pozorne siły bezwładności.

23 Uk ł ad nieinercjalny Nieinercjalny układ odniesienia – układ odniesienia poruszający się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek inercjalnego układu odniesienia. Opisując ruch ciała w układzie nieinercjalnym należy uwzględnić dodatkowe siły działające na ciała których wartość zależy od ruchu układu nieinercjalnego względem inercjalnego np.: - siła bezwładności, - siła Coriolisa.

24 Si ł y w uk ł adzie nieinercjalnym Ruch w układzie nieinercjalnym Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, siła działająca na ciało nadaje mu pewne przyspieszenie. Ciało pozostające w układzie poruszającym się ze zmienną prędkością, doznaje w układzie nieruchomym szeregu dodatkowych przyspieszeń wynikających z ruchu układu, w którym się znajduje. Konsekwentnie - skoro ciało to doznaje przyspieszeń - musi nań działać jakaś siła! Zgodnie zaś z trzecią zasadą dynamiki - ciało to musi wywierać siłę reakcji na sąsiadujące z nim przedmioty. Pierwsza zasada dynamiki określa zaś układ poruszający się ze zmienną prędkością jako układ nieinercjalny. Zapiszmy równanie Newtona w układzie nieruchomym, inercjalnym Analogiczne równanie dla układu ruchomego, mającego przyspieszenie, mieć będzie postać Siła F b nie jest jednak żadną konkretną siłą wywieraną na ciało, ale jest konsekwencją przyspieszenia a 0 układu ruchomego względem układu nieruchomego. Ta pozorna siła F b =- ma 0 zwana jest siłą inercji lub siłą bezwładności.

25 Si ł y w uk ł adzie nieinercjalnym Siła inercji w ruchu postępowym Kiedy siedzimy w pociągu lub autobusie, który rusza lub hamuje - odczuwamy działanie pewnej siły, choć nikt nas nie popycha ani nie ciągnie. Przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem postępowym, rozpatrywane w nieruchomym (inercjalnym) układzie odniesienia ma postać a=a+a 0 Drugie prawo Newtona w układzie nieruchomym ma więc postać. F= ma = m(a+a 0 ) = ma + ma 0 W układzie ruchomym pojawia się więc siła bezwładności skierowana przeciwnie do kierunku przyspieszenia układu ruchomego i jest proporcjonalna do jego wartości F = ma = F - ma 0 = F + F b F b = -ma 0

26 Si ł y w uk ł adzie nieinercjalnym Kiedy winda rusza w kierunku ku górze, siła bezwładności skierowana jest ku dołowi sumując się z siłą ciężkości co odpowiada pozornemu wzrostowi naszego ciężaru. Kiedy winda porusza się w dół mamy relację odwrotną - siła bezwładności odejmuje się od siły ciężkości. Relacje te możemy zapisać w formie

27 Si ł y w uk ł adzie nieinercjalnym Siła ta występuje w ruchu obrotowym i wszystkich ruchach krzywoliniowych Ruch obrotowy Ziemi Promień krzywizny ruchu po okręgu określony jest przez szerokość geograficzną w rezultacie czego wartość siły odśrodkowej będzie zależała od szerokości geograficznej ciała na kuli ziemskiej. Siła odśrodkowa

28 Si ł y w uk ł adzie nieinercjalnym Siła Coriolisa Siła ta pojawia się jedynie, gdy ciało porusza się w układzie, który sam jest w ruchu obrotowym. Znak minus oznacza, jak i w poprzednich przypadkach, że siła ta jest skierowana przeciwnie do kierunku przyspieszania; jest bowiem siłą reakcji.

29 Si ł y oporu Siły oporu to siły których zwrot jest przeciwny do zwrotu Wektora prędkości ciała, dążąca do utrzymani ciała w stanie spoczynku. Gdy ciało spada swobodnie w polu grawitacyjnym siła ma zwrot przeciwny do zwrotu przyspieszenia grawitacyjnego, a jej wartość jest proporcjonalna do szybkości ciała. F ~ V lub F op = bV b – współczynnik proporcjonalności zależny od właściwości ośrodka F op F g = mg F w = F g + F op ma = mg + F op ma = mg - bV Gdy wartość siły oporu osiągnie wartość równą sile grawitacji, ciało osiągnie szybkość graniczną i siła wypadkowa od tej chwili będzie równa zero. 0 = mg – bV b = mq/V

30 Tarcie Siły tarcia to siła dążące do utrzymania ciała w stanie spoczynku, skierowane są przeciwnie do kierunku ruchu ciała.

31 Tarcie spoczynkowe (statyczne) – występujące między dwoma ciałami gdy nie przemieszczają się względem siebie. Tarciem ruchowym – występuje gdy dwa ciała ślizgają się lub toczą po sobie. Siła tarcia przeciwstawia się wówczas ruchowi. Tarcie ślizgowe (tarcie suwne) - tarcie występujące na styku dwóch ciał stałych (jest tarciem zewnętrznym), gdy ciała przesuwają się względem siebie lub gdy ciała spoczywają względem siebie a istnieje siła dążąca do przesunięcia ciał. Tarcie ślizgowe jest zjawiskiem powszechnym i występuje zawsze gdy styk ciał przenosi siłę nacisku. Tarcie ś lizgowe

32 Tarcie statyczne współczynnik tarcia statycznego

33 Tarcie toczne Tarcie toczne – opór ruchu występujący przy toczeniu jednego ciała po drugim np. pomiędzy elementami łożyska tocznego, między oponą a nawierzchnią drogi.oponą Zwykle tarcie toczne jest znacznie mniejsze od tarcia ślizgowego występującego między ciałami stałymi, dlatego toczenie jest częstym rodzajem ruchu w technice. Rp - asymetryczna reakcja podłoża; N - nacisk; P - siła ciągnąca; suma wektorów sił Rp + N + P = 0; F t = P jest siłą tarcia tocznego hamującą ruch P - siła ciągnąca; F t - siła tarcia; R - promień walca; F t = P; Moment tarcia M t =fN działający "w lewo" (wokół chwilowego punktu obrotu na styku f z powierzchnią walca) - hamuje toczenie walca "w prawo"; N - nacisk; f - współczynnik tarcia tocznego równy długości ramienia momentu siły N Współczynnik tarcia f; Rp - asymetryczna reakcja podłoża; N - nacisk; F t - siła tarcia tocznego;

34

35 Funkcja liniowa Wykresem funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b dla x R α – kąt nachylenia linii prostej do osi OX a = tgα b – określa punkt [0, b] przecięcia wykresu funkcji z osią OY

36 Funkcja liniowa Miejsce zerowe funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego dana funkcja przyjmuje wartość 0. Interpretacją geometryczną miejsca zerowego jest odcięta punktu, w którym wykres funkcji przecina albo styka się z osią OX w prostokątnym układzie współrzędnych. Jeżeli funkcja f(x) = ax + b nie jest funkcją stałą, to posiada ona dokładnie jedno miejsce zerowe określone wzorem x = -b /a, Jeżeli funkcja f jest funkcją stałą f(x)=const., - to albo nie posiada miejsc zerowych (dla b 0), - albo wszystkie jej argumenty są miejscami zerowymi (dla b = 0).

37 Funkcja liniowa Monotoniczność funkcji liniowej Monotoniczność funkcji liniowej zależy od współczynnika kierunkowego prostej a. Jeżeli: a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca a = 0, to funkcja liniowa jest stała

38 Funkcja liniowa Warunek równoległości i prostopadłości prostych. Dane są dwie proste: k: y = ax + b l: y = cx + d Warunek równoległości prostych Proste w układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe. k || l a = c Warunek prostopadłości prostych Proste w układzie współrzędnych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1. k l a · c = -1

39 Funkcja kwadratowa Jeżeli a 0, to funkcję f określoną wzorem f(x) = ax 2 + bx + c nazywamy funkcją kwadratową. a, b, c - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej, Δ = b 2 - 4ac - wyróżnik funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych x R Zbiorem wartości funkcji dla a > 0 jest przedział: y [-Δ4a,+), dla a < 0 przedział y (-,-Δ4a].

40 Funkcja kwadratowa Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej (wielomianowej), kanonicznej lub iloczynowej. - postać ogólna : f(x) = ax 2 + bx + c. -postać kanoniczna: f(x) = a(x - p) 2 + q, gdzie p=-b2a, q=-Δ4a -postać iloczynowa: f(x) = a(x - x 1 )(x - x 2 ), gdzie x 1, x 2 są miejscami zerowymi.

41 Funkcja kwadratowa Wykres funkcji kwadratowej Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, o wierzchołku W=(-b2a,-Δ4a), która jest obrazem paraboli o równaniu f(x) = ax 2, w przesunięciu o wektor u=[-b2a,-Δ4a]. Gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane w górę i posiada ona minimum globalne, w przeciwnym a < 0 wypadku są skierowane w dół i ma ona maksimum globalne. Miejscem przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY jest punkt (0, c).

42 Funkcja kwadratowa Miejsca zerowe funkcji kwadratowej Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika Δ = b 2 - 4ac. W zależności od wyróżnika Δ funkcja kwadratowa: posiada dwa miejsca zerowe dla Δ > 0. x1=-b-Δ2a, x2=-b+Δ2a posiada jedno podwójne miejsce zerowe dla Δ =0 x0=-b2a nie posiada miejsc zerowych dla Δ < 0,

43 Funkcja kwadratowa Monotoniczność funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa w pewnym przedziale jest funkcją rosnącą, a w pewnym malejącą. Jeśli a > 0 funkcja jest rosnąca dla x (-b2a,+), malejąca dla x (-,-b2a). Jeżeli a < 0 funkcja jest rosnąca dla x (-,-b2a), malejąca dla x (-b2a,+).

44 Funkcja kwadratowa Wzory Vietea

45 Funkcja trygonometryczna W sposób równoważny można funkcje te (sinus, cosinus) definiować jak odpowiednie długości trójkąta wpisanego w okrąg jednostkowy, w następujący sposób

46 Funkcja sinus Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. D f = R Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1] f(X) = [-1, 1] Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą. Każdej liczby z dziedziny tej funkcji sin(-x) = -sinx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0, 0). Sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π. Miejscami zerowymi funkcji sinus są liczby postaci kπ, k Z Znak funkcji sinus w I i II ćwiartce jest dodatni, w III i IV ujemny

47 Funkcja cosinus Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. D f = R Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1] f(X) = [-1, 1] Funkcja kosinus jest funkcją parzystą. Każdej liczby z dziedziny tej funkcji cos(-x) = cosx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY. Kosinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π. Miejscami zerowymi funkcji kosinus są liczby postaci π2+kπ, k Z Znak funkcji kosinus w I i IV ćwiartce jest dodatni, w II i III ujemny

48 Funkcja tangens Funkcja tangens jest określona dla liczb rzeczywistych w postaci xπ2+kπ, k Z W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji. Df=R\{x:x=π2+kπ;k Z}, Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych f(X) = R Tangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, tg(-x) = -tgx. Tangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π. Miejscami zerowymi funkcji tangens są liczby postaci kπ, k Z Znak funkcji tangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.

49 Funkcja cotangens Funkcja kotangens jest określona dla liczb rzeczywistych w postaci x kπ, k Z W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji. D f = R\ {x:x = kπ, k Z} Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych f(X) = R Kotangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, ctg(-x) = -ctgx. Kotangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π. Miejscami zerowymi funkcji kotangens są liczby postaci x=π2+kπ, k Z Znak funkcji kotangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.

50 Funkcje trygonometryczne Wzory redukcyjne I ćwiartkaII ćwiartkaIII ćwiartkaIV ćwiartka φ90 - α90 + α180 - α180 + α270 - α270 + α360 - α sinφcosα sinα- sinα- cosα - sinα cosφsinα- sinα- cosα - sinαsinαcosα tgφctgα- ctgα- tgαtgαctgα- ctgα- tgα ctgφtgα- tgα- ctgαctgαtgα- tgα- ctgα

51 Funkcje trygonometryczne Tożsamości trygonometryczne Funkcje połowy kąta Znak + lub - wybieramy zależnie od tego, do której ćwiartki należy końcowe ramię kąta π2. Podstawowe tożsamości trygonometryczne tgα=sinα/cosα=1/ctgα ctgα=cosα/sinα=1/tgα sin 2 α + cos 2 α = 1 tgα · ctgα = 1 Funkcje kąta podwójnego sin2α = sin(α+α)=2sinαcosα cos2α = cos(α+α)=cos 2 α - sin 2 α = 2cos 2 α - 1

52 Funkcje trygonometryczne Funkcje sumy i różnicy katów Sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych

53 Funkcje trygonometryczne

54 Granica funkcji Granica funkcji – wartość do której wartości danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcja f: AR określona na zbiorze A {R} ma w punkcie skupienia x 0 tej funkcji granice równa g.

55 Rachunek ró ż niczkowy Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x 0. Oznaczmy symbolami: - Δx przyrost zmiennej niezależnej x, gdzie x U(x 0, δ) i x x 0, - Δy przyrost wartości funkcji, jaki odpowiada przyrostowi Δx. Mamy więc Δy = f(x 0 + Δx) - f(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu Δx zmiennej x nazywamy stosunek f(x0+Δx)-f(x0)Δx Granicę właściwą ilorazu różnicowego przy Δx0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolicznie f '(x 0 ) Mamy więc f '(x 0 ) = limΔx0f(x 0 +Δx)-f(x 0 )Δx=limxx 0 f(x)-f(x 0 )x-x 0 Geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy jest istnienie prostej stycznej w punkcie A = (x 0, f(x 0 )) do wykresu funkcji y = f(x)

56 Rachunek ró ż niczkowy Geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy jest istnienie prostej stycznej w punkcie A = (x 0, f(x 0 )) do wykresu funkcji y = f(x) Funkcję f nazywamy różniczkowalną w przedziale X wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Różnicą funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f '(x 0 )Δx, przyrost Δx nazywamy różniczką zmiennej niezależnej x.

57 Rachunek ró ż niczkowy Wzory podstawowe Pochodna funkcji stałej Pochodna funkcji potęgowej Pochodna funkcji wykładniczejPochodna funkcji logarytmicznej

58 Rachunek ró ż niczkowy Dzia ł ania na pochodnych Jeżeli istnieją pochodne f '(x) i g'(x), to: (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x), (f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x), (f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x). dla g(x) 0 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)(g(x))2 W szczególności dla g(x) = a, gdzie a R, mamy (af(x))' = af '(x)

59 Rachunek ró ż niczkowy w Fizyce Siła Przyspieszenie Prędkość Moc Przyspieszenie kątowe Zmiana momentu pędu II prawo Keplera

60 Rachunek ca ł kowy Geometryczna interpretacja całki oznaczonej. Wyrażenie f(x0dx reprezentowane jest przez pole elementarnego paska o szerokości dx i wysokości y(x), zaś całka oznaczona (4) równa jest polu figury pod krzywą y=f(x) i ograniczonej rzędnymi w punktach y(a) oraz y(b). Przy zamianie granic całkowania w wyrażeniu (2) znak całki zmienia się na przeciwny.

61 Rachunek ca ł kowy

62 Jako poglądowy przykład obliczmy całkę oznaczoną funkcji y=x w granicach od x=1 do x=2. Otrzymana wartość, to pole figury pokazanej na rysunku kolorem jasno-zielonym. W naukach przyrodniczych interpretacją wartości pola pod wykresem jest wartość wielkości fizycznej np. pracy wykonanej przez ciało, czy też gazy.

63 Rachunek ca ł kowy Praca w ruchu harmonicznym

64 Rachunek ca ł kowy w Fizyce Praca mechaniczna Praca gazu

65 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google