Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Granice dalszych szczególnych funkcji. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Granice dalszych szczególnych funkcji. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."— Zapis prezentacji:

1

2 1 Granice dalszych szczególnych funkcji. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

3 2 Przypomnijmy, że w pierwszej prezentacji o granicy funkcji Wykorzystując twierdzenie o sumie i iloczynie funkcji ciągłych i funkcje wymierne gdzie są wielomianami i i stałej są funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach. Zbadaliśmy granice i ciągłość niektórych podstawowych i innych np. trygonometrycznych,wykładniczej, zbadaliśmy ciągłość funkcji tożsamościowej dowiedliśmy, że wielomiany funkcje potęgowe funkcji : Dowodząc twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej i funkcji złóżonej, wykazaliśmy, że pozostałe podstawowe funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach.

4 3 granice funkcji wykładniczej Na początku wykażemy, że granica tej funkcji w punkcie 0 wynosi 1. Gdy równość jest prawdziwa. Rozważmy przypadek Niech będzie ciągiem o własnościach Zatem Oznaczając przezmamy Czyli I stąd Ponieważ więc zgodnie W przypadku dowód jest analogiczny. Ostatecznie Granicę znajdziemy korzystając z twierdzenia * o trzech funkcjach. ** Dla wprawy, ale krócej niż poprzednio, jeszcze raz zbadajmy bo i twierdzeniem o trzech funkcjach

5 Granice funkcji w dowolnym punkcie Obliczmy Korzystajmy z poprzedniej granicy Zatem Stąd funkcja jest ciągła w R. *** Zbadajmy granice funkcji wykładniczej dla Wykażemy, że dla Jeśli toi ciąg dąży do ( dowód w prezentacji Granice szczególnych ) to W konsekwencji cbdu. Co tu można zrobić ? Stałą wyłączyć przed lim.

6 5 Ćwiczenie : Obliczmy Gdy to Zatem * * * jednostronne W Ciągłość udowodniliśmy, że funkcja jest ciągła w każdym punkcie. Obliczmy granice tej funkcji dla Na podstawie wykresu funkcji podejrzewamy, że nie istnieje. Warto naszkicować wykres tej funkcji ( dodatek dla dociekliwych ). Ale istnieją granice

7 6 Pierwsza funkcja była tak dobrana, że nas nie zainteresowała, gdyż dla ciągów argumentów zbieżnych do tej samej liczby odpowiadzjące im ciągi wartości funkcji miały różne granice. I to jest pomysł.Spróbujmy znaleźć dwa ciągi argumentów zbieżne do nieskończoności dla których ciągi wartości mają różne granice. Mam nadzieję, że każdy kto zna wykres funkcji może podać już co najmniej kilka przykładów. Niech Wtedy Zatempodobnie * * * nie istnieje. Jak tego dowieść ?Sposób poznaliśmy już na wstępie pierwszej prezentacji, w której zdefiniowaliśmy granicę funkcji w punkcie.

8 7 Ciągłość funkcji w swoich dziedzinach wynika z twierdzeń o ciągłości funkcji złożonych i ilorazie Na początku zauważmy, że dla funkcji ciągłych, bo * * * Ćwiczenie : Obliczmy Rada : Wyznacz odpowiadający ciąg wartości funkcji jest zbieżny do zera. Czy Kto ma kłopot z odpowiedzią, zapomniał(a) definicję granicy funkcji w punkcie. A Ci, którzy uważnie śledzili poprzednie ćwiczenia, stwierdzą….

9 8 stwierdzą, że nie istnieje Kto tego nie widzi, niech weźmie np. ciągi i wyznaczy odpowiadające im granice ciągów wartości. oraz Warto naszkicować wykres tej funkcji ( dodatek dla dociekliwych ). * * * jako funkcje odwrotne do w swoich dziedzinach. Z twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnych funkcje : są funkcjami ciągłymi Granice funkcji widać z ich wykresów, zatem warto i trzeba znać ich wykresy.

10 9 Ćwiczenie : Z najdźmy Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że Więc mnożąc przez otrzymamy Korzystając z twierdzenia o granicy trzech funkcji gdy to otrzymaliśmy symbol nieoznaczony i granicę tą musimy obliczyć innymi sposobami. Zajmijmy się granicą funkcji w zerze. Granica odgrywa ważną rolę w analizie Wykażemy, że w pewnym sąsiedztwie zera matematycznej. zachodzi nierówność

11 10 Dlamamy ( patrz rysunek ). wynika, że nierówność zachodzi również dla Na mocy twierdzenia o granicach trzech funkcji 1 Z parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych otrzymujemy * * * Powróćmy do granicy Analogicznie O A B C a b w R ł Wzory na pola

12 11 Ćwiczenie : Obliczmy Do obliczeń tych granic wykorzystamy wzór który należy traktować ogólnie nie istnieje, ale…..

13 12 Ćwiczenie : Wyznaczmy Ponieważ udowodniliśmy, że podejrzewamy, iż Jak to udowodnić ? Mamy już doświadczenie, wykorzystamy twierdzenie o granicach trzech funkcji. Niech Wówczas Na podstawie twierdzeń arytmetyki Jeżeli to dążą do e.e. Stąd i skrajne wyrazy nierówności

14 13 Niech Czyli * * * Wykażmy, że * *

15 14 Granice funkcji tej postaci obliczać będziemy tak samo jak obliczaliśmy w prezentacji granice ciągów podobnej Granice szczególnych * Spośród masy wzorów na granice różnorodnych funkcji * * * ważnych w analizie matematycznej poznajmy jeszcze jeden.

16 15 Udowodnijmy zaskakującą granicę * obie strony logarytmujemy mnożymy stronami Zatem Ten wzór można uogólniić Obliczmy kilka granic na zastosowanie powyższego wzoru. Niech

17 16 * * * * * * *

18 17 Na koniec naszych rozważań w tej prezentacji o ciągłości wykładniczej, i ciągłość funkcji trygonometrycznych. wielomianowej,wymiernej, Funkcję nazywamy ciągłą w punkcie funkcji przypomnijmy najważniejsze definicje i twierdzenia. Wykazaliśmy ciągłość podstawowych funkcji : wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje oraz Funkcję, która jest ciągła w każdym punkcie zbioru, nazywamy funkcją ciągłą w tym zbiorze. logarytmicznej Udowodniliśmy, że jeżeli funkcję są ciągłe to suma, różnica, iloczyn, iloraz, funkcje odwrotne i złożenie tych funkcji jest funkcją ciągłą w odpowiedniej dziedzinie. Do obliczeń granic funkcji wykorzystywaliśmy udowodnione przez nas twierdzenia. Przypomnijmy niektóre.

19 18 gdzie c - constans Twierdzenie o granicach takich, że dla każdego argumentu trzech funkcji, Udowodniliśmy granice szczególnych funkcji :

20 19 Poznaliśmy pierwsze dwa podstawowe pojęcia analizy matematycznej. Pojęcie granicy ciągu i granicy funkcji. W konsekwencji zdefiniowaliśmy funkcje ciągłe. Następna prezentacja to Własności funkcji Koniec prezentacji Na następnych slajdach, Dodatek dla dociekliwych. Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, belferwww.one.pl

21 20 W prezentacji obliczaliśmy granice szczególnych funkcji. Granice funkcji, tak jak inne własności funkcji łatwo odczytać z jej wykresu. Naszkicujmy wykresy funkcji, których granice badaliśmy. Naszym celem jest właśnie tą wiedzę zdobyć. Nie bez przyczyny użyłem terminu naszkicujmy, gdyż udowodnić, że są tak rzeczywiście wyglądają wykresy tych funkcji, nie potrafimy, nie mamy odpowiednich narzędzi, odpowiedniej wiedzy, by to udowodnić. Ale to jeszcze długa droga. Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, i kilka punktów, np..... że funkcja jest ciągła i obliczone granice, Połączmy elegancko znane punkty. nie ma miejsc zerowych iwartości są dodatnie.

22 21 nie istnieje Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, że funkcja jest ciągła w i znamy granice, miejsca zerowe : i wskażmy argumenty dla których wartości funkcji Korzystając z własności funkcji łatwo znaleźć wynoszą 1 lub -1. Zaznaczmy powyższe punkty na układzie nieparzysta Czy potrafimy wyobrazić sobie coraz bardziej ściśniętą harmonijkę ?... x y * Połączmy te punkty krzywą

23 22 Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, że funkcja jest ciągła w i znamy granice, miejsca zerowe : i wskażmy argumenty dla których wartości funkcji Korzystając z własności funkcji łatwo znaleźć wynoszą x lub -x. Zaznaczmy powyższe punkty na układzie, parzysta Czy potrafimy wyobrazić sobie coraz bardziej ściśniętą zmnieszającą się harmonijkę ?..... y x * Połączmy te punkty krzywą

24 23 Jak zorientowaliśmy się, wykresy funkcji ale nie można ich nakreślić. można opisywać, Tym faktem nie zdziwieni są Ci, którzy znają i pamiętają prezentację Figury Warto pamiętać figury : kwadrat – sito, i wiele innych, nie da się narysować. kwadrat z brodą, kwadrat z irokezem których mimo znanej konstrukcji * Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, że funkcja jest ciągła w i znając granice, miejsca zerowe : Korzystając z własności funkcji znamy parzysta * * * dwóch ostatnich granic nie udowodniliśmy Obliczając przybliżone wartości funkcji (kalkulator)dla argumentów i wyznaczając odpowiednie punkty, otrzymamy,

25 24 otrzymamy szkic wykresu x y Przynajmniej z kreśleniem tej krzywej nie było problemu. * * * obliczyć granice funkcji w podanych punktach : Tym którzy z sukcesem zamierzają studiować na kierunkach politechnicznych, proponuję

26 25 Wskazówka : w przypadku problemów w wyznaczaniu granic powyższych funkcji należy powrócić do przykładów podanych w tej prezentacji. Opr. WWW ęgrzyn. i-lo. tarnów. Koniec dodatku dla dociekliwych. W następnej prezentacji Własności funkcji


Pobierz ppt "1 Granice dalszych szczególnych funkcji. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google