Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 14 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c.d.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 14 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c.d."— Zapis prezentacji:

1

2 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 14 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c.d.

3 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK2 Szkic wykładu b Porównanie pojęć wyłączania się zdarzeń i niezależności b Niezależność n zdarzeń b Prawdopodobieństwo całkowite b Wzór Bayesa b Zmienna losowa b Rozkład prawdopodobieństwa b Dystrybuanta b Wartość oczekiwana

4 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK3 Wyłączanie i niezależność zdarzeń Rozważmy doświadczenie z rzutem dwoma kostkami do gry. Rozważmy następujące zdarzenia: A = Suma wyrzuconych oczek wynosi 5 B =W pierwszym rzucie >2 oczka C = W drugim rzucie co najwyżej 3 oczka D = Suma wyrzuconych oczek >9 Card( )=36 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) (3,x), (4,x), (5,x) lub (6,x) dla x =1,2,3,4,5,6 Zdarzenia A i B nie są niezależne i nie są wyłączające. P(A) = 4/36 P(B) = 4*6/36 P(C) = 3*6/36 P(D)=6/36 (x,1), (x,2), (x,3) dla x =1,2,3,4,5,6 (4,6), (5,x) dla x=5,6 lub (6,y) dla y= 4, 5,6 Zdarzenia A i D wyłączają się i nie są niezależne. Zdarzenia B i C nie wyłączają się i są niezależne.

5 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK4 Niezależność zbioru zdarzeń Definicja Niech będzie dany ciąg zdarzeń losowych A 1,...A n. Powiemy, że zdarzenia te są niezależne wttw dla dowolnego podciągu indeksów i 1,...,i k P(A i 1... A i k ) = P(A i 1 ) *... * P(A i k ) Przykład (Bernstein) W urnie znajduj a się 4 paski oznaczone 110,101, 011,000. Niech A i zdarzenie polegające na wybraniu paska z 1 na pozycji i-tej. Zakładamy, że wyciągnięcie każdego paska jest tak samo prawdopodobne. Mamy P(A 1 )= P(A 2 )=P(A 3 )= ½ P(A 1 A 2 A 3 ) = 0 P(A 1 ) * P(A 2 ) * P(A 3 ) Ale P(A 1 A 2 ) = ¼ =P(A 1 ) * P(A 2 ) P(A 2 A 3 ) = ¼ = P(A 2 ) * P(A 3 ) P(A 1 A 3 ) = ¼ =P(A 1 ) * P(A 3 ) Te zdarzenia nie są niezależne To są zdarzenia parami niezależne Uwaga Jest możliwe, że zdarzenia są parami niezależne ale nie są niezależne.

6 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK5 Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia losowe A 1,...A n stanowią podział przestrzeni zdarzeń elementarnych, oraz P(A i )>0, to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi równość: P(B) = P(A 1 ) * P(B| A 1 ) + P(A 2 ) * P(B| A 2 ) P(A n ) * P(B| A n ) Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe P(A i B)= P(A i ) * P(B| A i ), otrzymujemy wzór P(B) = P(A 1 ) * P(B| A 1 ) + P(A 2 ) * P(B| A 2 ) P(A n ) * P(B| A n ) cbdo Dowód B = (A 1 B)... (A n B). Prawa rachunku zbiorów Ponieważ A i A j = dla i j zatem (A i B) (A j B) = dla i j. P(B) = P((A 1 B)... (A n B)) = P(A 1 B) P (A n B) Z definicji rawdopodobieństwa

7 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK6 Przykład 1 Urna 1 Urna 2 Z przypadkowo wybranej urny wybieram 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą, jeżeli prawdopodobieństwo wybrania każdej z urn wynosi ½? Oznaczenia Niech B oznacza wybranie kuli białej. U1 wybranie urny pierwszej i U2 wybranie urny drugiej. Zbiór zdarzeń elementarnych polegających na wybraniu jednej kuli rozpada się na dwa podzbiory: wybrana kula pochodzi z urny U1, wybrana kula pochodzi z urny U2. P(B) = P(U1) * P(B|U1) + P(U2) * P(B|U2) = ½ * 3/5 + ½ * 1/5 P(B) = 2/5

8 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK7 Przykład 2 Telewizory produkują dwie fabryki, z których jedna wykonuje 60% a druga 40% całej produkcji. Pierwsza fabryka wypuszcza na rynek 90% telewizorów bez braków, a druga 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia telewizora bez braku ? Oznaczenia F i =telewizor wyprodukowała fabryka i-ta A=kupiony telewizor nie ma braku A F1F2 A A A P(F1)P(F2) P(A|F2)P(A|F1) P(F1)*P(A|F1) P(F2)*P(A|F2) P(F1)=6/10 P(F2)= 4/10 P(A|F1)= 9/10 P(A|F2)=8/10 Odp.: P(A) = 43/50

9 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK8 Wzór Bayesa Niech zdarzenia losowe A 1,...A n stanowią podział przestrzeni zdarzeń elementarnych, oraz P(A i )>0 dla i =1,2...n. Załóżmy, że zaszło zdarzenie B. Jakie jest wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A i ? P(A i |B) = P(A 1 ) * P(B| A 1 ) + P(A 2 ) * P(B| A 2 ) P(A n ) * P(B| A n ) P(A i ) * P(B| A i ) Możliwe przyczyny zajścia zdarzenia B (skutku): A 1...A n Jeśli zdarzenie B zaistniało, to jakie jest prawdopodobieństwo, że przyczyną tego było zdarzenie A i ? Dowód

10 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK9 Przykład 100 sztuk Fabryka I 50 sztuk Fabryka II 80 sztuk Fabryka III |--I---|--II--|--III-- Braki | 3% | 2% | 4% Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona wadliwa żarówka pochodzi z fabryki i tej? Zdarzenie A= wadliwa żarówka Zdarzenie F i =żarówka z fabryki itej Zdarzenie elementarne polega na wybraniu 1 żarówki z 230 możliwych. P(F 1 ) = 100/230 P(F 2 ) = 50/230 P(F 3 ) = 80/230 P(A|F 1 ) = 3/100 P(A|F 2 ) = 2/100 P(A|F 3 ) = 4/100 oblicz P(F 1 |A)=15/36 P(F 2 |A)= 5/36 P(F 3 |A)= 16/36

11 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK10 Obliczamy... P(F 1 |A)= (10/23 * 3/100)/(10/23 * 3/ /23 * 2/ /23 * 4/100 ) P(F 2 |A)= (5/23 * 2/100)/(10/23 * 3/ /23 * 2/ /23 * 4/100 ) P(F 3 |A)= (8/23 * 4/100)/(10/23 * 3/ /23 * 2/ /23 * 4/100 )

12 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK11 Zmienna losowa Definicja Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Każdą funkcję określoną na zbiorze i o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych nazywać będziemy zmienną losową. Przykład 1 Rzut jedną kostką X(w i ) = i Przykład 2 Rzut dwoma kostkami. Zdarzenia elementarne wij= (i,j), gdzie i, j =1,2,3,4,5,6 X( w ij ) = i+j Y( w i ) = 1 gdy i parzyste Y( w i ) =0 gdy i nieparzyste Y( w ij ) = i/j Nazwa zmiennej Wartość zmiennej dla zdarzenia wi Z( w ij ) = max(i,j) Zmienne dyskretne

13 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK12 Niezależność zmiennych losowych Definicja Powiemy, że dwie zmienne losowe X i Y są niezależne wttw dla dowolnych przedziałów I, J w zbiorze liczb rzeczywistych P (X I i Y J) = P(X I) * P(Y J) Przykład X K (data) - liczba stłuczek samochodowych w Krakowie X W (data) - liczba stłuczek samochodowych w Warszawie Ilość stłuczek w Warszawie nie powinna mieć wpływu na liczbę stłuczek w Krakowie. Intuicyjnie te zmienne są niezależne. W przypadku zmiennych dyskretnych : niezależność wyraża się warunkiem: P(X=x i Y= y) = P(X=x) * P(Y=y) dla dowolnych x,y R. Definicję tę można uogólnić na dowolny ciąg zmiennych losowych

14 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK13 Przykład Rozważmy doświadczenie z rzutem dwoma kostkami do gry. Definiujemy zmienne losowe X, Y i Z : X(i,j)= i, Y(i,j) = j, Z(i,j)=i+j Zdarzenie A= liczba oczek na kostce 1 jest nie większa niż 3 X 3 Zdarzenie B = liczba oczek na drugiej kostce wynosi co najmniej 5 Y 5 Uwaga P(A) = 1/2 = P(X 3) P(B) =1/3 =P(Y 5) Dla dowolnych k i l mamy P(X=k i Y=l) = 1/36 = P(X=k) * P(Y=l) tzn. X i Y są zmiennymi niezależnymi Zmienne X i Z nie są niezależne

15 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK14 Rozkład prawdopodobieństwa Niech X będzie zmienną losową określoną w przestrzeni. Definicja Funkcję f X określoną na zbiorze R i o wartościach w zbiorze [0,1] taką, że f X (x) = P(X=x) dla x R nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X f X (x) = 1/6 dla x=1,2,3,4,5,6 0 dla pozostałych x f Z (x) = 1/36 dla x=2 i x= 12 2/36 dla x=3 i x=11 3/36 dla x=4 i x=10 4/36 dla x=5 i x=9 5/36 dla x=6 i x=8 6/36 dla x=7 0 dla pozostałych x Przykład Rozważmy zmienne X, Y, Z rozpatrywane w przykładzie z rzutem dwoma kostkami do gry.

16 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK15 Przykład Rzucamy n-krotnie monetą. Niech X i (w i-tym rzucie wypadł orzeł) = 1 X i (w i-tym rzucie wypadła reszka) = 0 OrzełReszka Mamy P( X i = 1)= 1/2 Niech S n = X 1 + X X n Liczba orłów w n rzutach monetą P(S n = k) = (n nad k)/ 2 n k orłów w n rzutach monetą Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych są następujące: f Xi (x) = 1/2 dla x=0,1 0 dla pozostałych x f Sn (x) = (n nad x)/ 2 n dla x N 0 dla pozostałych x Rozkład dwumianowy

17 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK16 Dystrybuanta Definicja Niech X będzie zmienną losową określoną na dowolnej przestrzeni zdarzeń losowych. Dystrybuantą zmiennej X nazywamy funkcję F : R [0,1] taką, że F X (x) = P(X x) dla x R W przypadku zmiennej losowej dyskretnej mamy F X (x) = y x f X (y) Dystrybuanta akumuluje wartości rozkładu prawdopodobieństwa Przykład Dystrybuanta zmiennej losowej X w rzucie jedną kostką do gry: 1 5/6 4/6 3/

18 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK17 Przykłady Przykład Zliczanie liczby orłów w n rzutach monetą. Dystrybuanta każdej ze zmiennych X i jest określona: F X (y) = 0 gdy y <0 F X (y) = 1/2 gdy 0 y <1 F X (y)=1 dla y 1 Dystrybuanta zmiennej S ma postać F(y) = x y (n nad x) / 2 n Przykład Wybieramy losowo liczbę z przedziału [0,1). = [0,1). Niech U będzie zmienną losową taką że dla x [0,1), U(x)=x. Zmienna jednostajna P( U [a,b))= b-a b>a i b,a [0,1) To nie jest dyskretna zmienna losowa Dystrybuanta F U (y) = P(U y) 0 gdy y<0 y gdy 0 y<1 1 gdy y 1 F U (y) =

19 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK18 Wartość oczekiwana Definicja - skończona przestrzeń zdarzeń elementarnych, X zmienna losowa określona w. Wartością oczekiwaną zmiennej X nazywamy liczbę E(X) = w X(w)* P({w}). Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to P({w}) = 1/card( ) czyli Przykład Rzucamy jedną kostką do gry. Liczba wyrzuconych oczek X jest zmienną losową o wartościach 1,2,3,4,5,6 i ma rozkład jednostajny P(X=i)=1/6. Zatem E(X)= ( )/6 = 3.5

20 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK19 Przykład Rozważmy program : x:= 0; p := false; while p = false do x.= x+1; p := random({true,false}) od Ponieważ P(X=k)= 1/2 k Niech prawdopodobieństwo wyboru obu wartości = 1/2 (np rzucamy monetą) Zatem E(X) = k N k/ 2 k = 2 Niech X oznacza zmienną losową taką, że X = i, jeśli program zatrzymuje się po i-krokach (tzn. w której iteracji po raz pierwszy wypadło true ) Ile wynosi oczekiwany średni czas oczekiwania na zatrzymanie się tego programu?

21 16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK20 Uzasadnienie wzoru Bayesa P(A i |B) = P(A i ) * P(B| A i ) / P(B) (*) P(B) = P(A 1 ) * P(B| A 1 ) + P(A 2 ) * P(B| A 2 ) P(A n ) * P(B| A n ) P(B A i ) = P(A i ) * P(B| A i ) P(A i B) = P(B) * P(A i | B) Z wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe : Stąd Z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite: Wstawiając P(B) do wzoru (*) otrzymujemy wzór Bayesa P(A i |B) = P(A 1 ) * P(B| A 1 ) + P(A 2 ) * P(B| A 2 ) P(A n ) * P(B| A n ) P(A i ) * P(B| A i )


Pobierz ppt "16 stycznia 2002MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 14 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c.d."

Podobne prezentacje


Reklamy Google