Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA. Definicja okręgu dopisanego do trójkąta Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg, który jest styczny do jednego boku.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA. Definicja okręgu dopisanego do trójkąta Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg, który jest styczny do jednego boku."— Zapis prezentacji:

1 OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA

2 Definicja okręgu dopisanego do trójkąta Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg, który jest styczny do jednego boku i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Środek okręgu dopisanego wyznaczany jest jako punkt przecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych przy dwóch wierzchołkach trójkąta i dwusiecznej kąta wewnętrznego przy trzecim wierzchołku.

3 Rysunek poglądowy A1, A2, A3 – wierzchołki trójkąta, Q1, Q2, Q3 – środki okręgów dopisanych do trójkąta, r1, r2, r3 – promienie okręgów dopisanych, r – promień okręgu wpisanego w trójkąt, S – środek okręgu wpisanego w trójkąt, 1, 2, 3 - kąty w trójkącie (przy czym kąt 1 leży przy wierzchołku A1, 2 przy A2, 3 przy A3), R – promień okręgu opisanego na trójkącie, m1, m2, m3 – środkowe trójkąta, p – połowa obwodu,

4 Pole trójkąta A1, A2, A3 równa się sumie pól trójkątów parami przestających SD1A2 i SD2A2, SD2A3 i SD3A3, SD3A1 i SD1A1. Wiemy, że: Więc: Wzory na pole trójkąta

5 dla i = 1,2,3 ponieważ A1Q2W jest taki sam jak A1Q2D3 (mają wspólną przeciwprostokątną A1Q2, tej samej długości przyprostokątną Q2W i Q2D3 równą r2 i odpowiadający kąt prosty). Z trójkąta A2Q2W wynika, że : Rozpatrując trójkąty A1Q1W2 i A3Q3W3 analogicznie dowodzimy, że

6 Korzystając ze wzory na pole trójkąta: Otrzymujemy wzór końcowy. Wiadomo, że: Czyli: Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez a2 a3 otrzymamy: Zależność między promieniem okręgu opisanego a bokami trójkąta

7 Zależności między długościami boków trójkąta a promieniami okręgów dopisanych

8 Bok a1 ma długość: Korzystając ze wzoru na pole trójkąta: A zatem: Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.

9 Obie strony równanie podnosimy do kwadratu. Obliczamy r ze wzoru: i podstawiamy do wzoru na a1. Pierwiastkujemy obie strony równania i otrzymujemy wzór końcowy.

10 Rozumując analogicznie i uwzględniając wzory: dowodzi się wzory na :

11 Długość środkowej trójkąta Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta A1A2P wynika: Z trójkąta A1A2A3 wyliczymy cos.

12 Do wzoru ( ) podstawiamy wyliczony cos 2. W analogiczny sposób udowadniamy wzory dla m2 i m3.

13 Zależność między środkowymi a promieniami okręgów dopisanych. Dowód: Udowadniamy. Z wzoru na pole trójkąta wiemy, że: Następnie korzystamy ze wzoru Herona:

14 A zatem: W analogiczny sposób wyliczamy r2 i r3. Następnie obliczamy lewą stronę równania: Podstawiamy do wzoru:

15 WYKONALI: DAWID OBAL SŁAWOMIR MOŁOKO POD NADZOREM PANI mgr ELŻBIETY WESOŁOWSKIEJ


Pobierz ppt "OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA. Definicja okręgu dopisanego do trójkąta Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg, który jest styczny do jednego boku."

Podobne prezentacje


Reklamy Google