Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Matura 2010 z matematyki na poziomie rozszerzonym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Matura 2010 z matematyki na poziomie rozszerzonym."— Zapis prezentacji:

1 Matura 2010 z matematyki na poziomie rozszerzonym

2 PLANIMETRIA

3 Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta. Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

4 DOWÓD: Niech : Na mocy twierdzenia sinusów ( Snelliiusa ) zastosowanego do trójkątów ΔADC i ΔDBC mamy: a także otrzymujemy tezę:

5 Zad. 1. Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC AB= c, BC= a, AC= b, a CD jest odcinkiem dwusiecznej kąta ACB zawartym w trójkącie, to AD= i BD=. DOWÓD: D C BA xx b c a

6 Zad. 2. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość a i b. Oblicz długość odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego. DOWÓD: C A B D a b

7 Zad. 3. W trójkącie ABC BC= a, AC= b oraz CD= d, gdzie CD jest odcinkiem leżącym na dwusiecznej kąta ACB zawartym w trójkącie. Oblicz długość boku AB tego trójkąta. DOWÓD:

8 Zad. 4. Wykaż, że jeżeli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt jest równoboczny. DOWÓD:

9 Zad. 5. Trójkąt ABC ma pole równe P. Utworzono trójkąt A'B'C' w taki sposób, że A' = S B ( A ), B' = S C ( B ) i C' = S A ( C ). Oblicz pole trójkąta A'B'C'. DOWÓD: A B C C A B P ABC = S P AAC = 2S P ABB = 2S P CCB = 2S Stąd pole P ABC = 7S

10 Zad. 6. W trójkącie poprowadzono środkowe boków. Podzieliły one trójkąt na sześć mniejszych trójkątów. Wykaż, że pola powstałych trójkątów są równe. DOWÓD:

11 Zad. 7. Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta. DOWÓD:

12 Zad. 8. Wyznacz długość boku c trójkąta, jeśli dane są długości a i b boków trójkąta oraz wiadomo, że h a + h b = h c, gdzie h a, h b, h c są długościami wysokości opuszczonych na odpowiednie boki trójkąta. DOWÓD:

13 Zad. 9. Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają zależność, to trójkąt ten jest równoramienny. DOWÓD:

14 Zad. 10. Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym. DOWÓD:

15 Zad. 11 Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC obrano punkty C 1 oraz C 2 takie, że AC 1 = AC oraz BC 2 = BC. Wykaż, że miara kąta C 1 C C 2 jest równa 45 o. DOWÓD: A B C C1C1 C2C2 Jeżeli kąt CAB ma miarę x, to kąt CC 2 A ma miarę 90 o – ½ x. Wówczas kąt CBA ma miarę 90 o – x a co zatem kąt CC 1 B ma miarę 45 o + ½x. Mamy zatem: miara kąta C 1 CC 2 = 180 o – 90 o + ½ x – 45 o – ½ x = 45 o

16 LICZBY RZECZYWISTE

17 Zad. 1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi nierówność: a 2 + b ( a + b ) DOWÓD: Mamy pokazać, że a 2 + b ( a + b ) ale a 2 + b a + 2b a 2 – 2a + b 2 – 2b a 2 – 2a b 2 – 2b ( a – 1 ) 2 + ( b – 1 ) 2 0

18 Zad. 2. Wykaż, że liczba 3 18 – 2 18 jest liczbą podzielną przez 19. DOWÓD: 3 18 – 2 18 = ( 3 9 – 2 9 )( ) = =(3 3 – 2 3 )( )( ) = =19 ( )( )

19 Zad. 3. Udowodnij, że trzy liczby a, b, c tworzące ciąg geometryczny spełniają warunek: ( a + b + c )( a – b + c ) = a 2 + b 2 + c 2, DOWÓD: Dane są liczby; a, b = aq, c = aq 2 wówczas ( a + b + c )( a – b + c ) = a 2 (1 + q + q 2 )( 1 – q + q 2 ) = = a 2 (1 – q + q 2 + q – q 2 + q 3 + q 2 – q 3 + q 4 ) = = a 2 (1 + q 2 + q 4 ) = a 2 + a 2 q 2 + a 2 q 4 = a 2 + b 2 + c 2

20 Zad. 4. Udowodnij, że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu. DOWÓD:

21 Zad. 5. Udowodnij, że jeśli r ó żne liczby a 2, b 2, c 2 tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby też tworzą ciąg arytmetyczny. DOWÓD:

22 Zad. 6. Wykaż, że: gdzie a b, b c i a c DOWÓD:


Pobierz ppt "Matura 2010 z matematyki na poziomie rozszerzonym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google