Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wykład 7 Przedział ufności dla 1 – 2 Skonstruujemy przedział ufności dla 1 – 2 Przypomnienie: PU dla : y t /2 SE y = (estymator) (kwantyl)(SE) Estymator.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wykład 7 Przedział ufności dla 1 – 2 Skonstruujemy przedział ufności dla 1 – 2 Przypomnienie: PU dla : y t /2 SE y = (estymator) (kwantyl)(SE) Estymator."— Zapis prezentacji:

1 Wykład 7 Przedział ufności dla 1 – 2 Skonstruujemy przedział ufności dla 1 – 2 Przypomnienie: PU dla : y t /2 SE y = (estymator) (kwantyl)(SE) Estymator dla : y 1 - y 2 Potrzebujemy t /2 : Ile użyć stopni swobody? (Skomplikowane; wzoru nie trzeba pamiętać, będzie na ściądze.) df=

2 Liczba stopni swobody wyliczona z poprzedniego wzoru nie powinna być większa niż n 1 + n 2 – 2; przy szybkich, zgrubnych obliczeniach często stosujemy df = n 1 + n 2 –2. Nie powinna być mniejsza niż mniejsza z wartości (n 1 -1) i (n 2 -1).

3 Stosujemy ``nieuśredniony SE (o ile w zadaniu nie będzie specjalnie wymagane any użyć (U)SE). PU na poziomie ufności (1- ) dla ( y 1 - y 2 ) t(df) /2 SE ( y1- y2)

4 Przykład (cd) Skonstruuj 95% PU dla y 1 – y 2 = 75 – 55 = 20 SE 1 = ; SE 2 = df=

5 Oblicz przedział ufności jeszcze raz wykorzystując ``uśredniony SE.

6 Przykład % PU dla Rośliny hodowane w różnych warunkach oświetleniowych. CiemnoJasno n2221 y SE0.50.7

7 1 – populacja/próba hodowana przy słabym oświetleniu 2 – populacja/próba hodowana przy silnym oświetleniu Oblicz 95% PU dla

8 Przedziały ufności: Interpretacja Nasz PU zawiera wartości zarówno dodatnie jak i ujemne ? Jak to zinterpretować ?

9 Testowanie hipotez Idea Chcemy odpowiedzieć na pytanie naukowe dotyczące pewnej (lub pewnych) populacji Decyzję podejmujemy w oparciu o próbę - dysponujemy tylko pewnym fragmentem informacji W rezultacie możemy popełnić błąd przy podejmowaniu decyzji Chcemy zminimalizować p-stwo błędu

10 Typowe pytania: Pytania o wartości parametrów Dla populacji o rozkładzie Bernoulliego. Czy p-stwo sukcesu wynosi ½ (czy moneta jest symetryczna) ? Czy p-stwo sukcesu wynosi p 0 ? (p 0 – pewna konkretna, interesująca nas wartość)

11 Dla rozkładu normalnego: Czy średnia w populacji wynosi 0? Czy średnia w populacji wynosi 93? Czy średnia w populacji wynosi 0 ? ( 0 – konkretna, interesująca nas wartość). Dla dwóch populacji normalnych Czy średnie wartości cechy w obu populacjach są sobie równe ? Czy różnica między średnimi w obu populacjach wynosi 0?

12 Na te pytania są dwie możliwe odpowiedzi – tak albo nie (prawda albo fałsz). Pytania dotyczą całej populacji, do której na ogół nie mamy dostępu. Nasza decyzja, którą podejmujemy w oparciu o próbę, jest obarczona pewnym błędem. Sposób formułowania odpowiedzi Zamiast prawda mówimy ``W oparciu o tę próbę nie możemy wykluczyć postawionej hipotezy. Przykład: Przeprowadzone badania nie potwierdzają, że badane populacje mają różny średni poziom badanej cechy. (Nie można wykluczyć, że nie ma różnicy).

13 Zamiast Nie mówimy Jest to mało prawdopodobne albo bardziej precyzyjnie Gdyby postawiona hipoteza była prawdziwa to uzyskany wynik (z próby) byłby bardzo mało prawdopodobny. Dlatego odrzucamy tę hipotezę (ale możemy się mylić). Przykład: Przeprowadzone badanie potwierdza tezę, że badane populacje różnią się średnią wartością badanej cechy (odrzucamy hipotezę o równości średnich).

14 Analogia (K. Simonsen, Purdue): wykrywacz dymu Instalujemy wykrywacze dymu aby ostrzegły nas przed pożarem. Nie są to idealne wykrywacze pożarów. Reagują na cząstki dymu w powietrzu. Mogą być w dwu możliwych stanach – CICHO i GŁOŚNO Nasz dom może być w dwu możliwych stanach – SPOKÓJ albo POŻAR

15 Możemy podjąć dwie decyzje: zostać albo uciekać System ostrzegania może popełnić dwa błędy Jest GŁOŚNO choć nie ma ognia (na przykład przypaliliśmy grzankę) Jest CICHO choć jest pożar (zła lokalizacja, koniec baterii,…) Decyzję uzależniamy od stanu wykrywaczy dymu (CICHO – zostajemy, GŁOŚNO – uciekamy).

16 Na ogół nie ma ognia, wykrywacz jest CICHO, więc nie reagujemy (dobra decyzja). Czasami nie ma ognia a wykrywacz jest GŁOŚNO, więc uciekamy (zła decyzja – strata czasu) – błąd I rodzaju. Czasami jest pożar a wykrywacz jest CICHO więc zostajemy (zła decyzja – niebezpieczeństwo) – błąd II rodzaju. Czasami jest pożar i wykrywacz jest GŁOŚNO więc uciekamy (dobra decyzja).

17 Notacja: Hipotezy Stan wyjściowy, ``SPOKÓJ, określamy nazwą hipotezy zerowej Drugi możliwy stan, ``POŻAR, określamy nazwą hipotezy alternatywnej H 0 to skrót dla hipotezy zerowej H A to skrót dla hipotezy alternatywnej

18 Decyzje Decyzje zawsze wyrażamy w stosunku do hipotezy zerowej H 0 : Decyzja ``uciekamy odpowiada odrzuceniu H 0, tzn. odrzucamy stanowisko, że nie ma pożaru. Decyzja ``zostajemy odpowiada nie odrzuceniu H 0. Decyzję podejmujemy w oparciu o zachowanie wykrywacza dymu, który dalej będziemy nazywać statystyką testową.

19 Gdy wykrywacz jest GŁOŚNO to mówimy, że wynik testu jest ``istotny. Istotny wynik powoduje odrzucenie H 0. Gdy wykrywacz jest CICHO to wynik testu jest ``nieistotny i nie odrzucamy H 0.

20 Podsumowanie analogii Hipotezy:SPOKÓJ = H 0 ; POŻAR = H A ; Statystyka testowa: CICHO = nieistotna; GŁOŚNO = istotna; Decyzja: zostajemy = nie odrzucamy H 0 ; uciekamy = odrzucamy H 0 Błąd I rodzaju: (uciekamy choć nie ma pożaru) = (odrzucamy H 0 choć jest prawdziwa) Błąd II rodzaju: (zostajemy choć jest pożar) = (nie odrzucamy H 0 choć prawdziwa jest H A )

21 Zauważmy, że H 0 jest bardziej precyzyjna niż H A : gdy H A jest prawdziwa to pożar może być dowolnej wielkości Wykrywacze dymu mają pewną ustaloną czułość – reagują na określoną ilość dymu w powietrzu. Jeżeli wykrywacz jest zbyt czuły to będzie często powodował fałszywe alarmy (błędy I rodzaju). Jeżeli nie jest dość czuły to nie będzie się włączał kiedy potrzeba – błędy II rodzaju.

22 Zwiększając czułość zmniejszamy p-stwo błędu II rodzaju ale zwiększamy p-stwo błędu I rodzaju. Dobór czułości testu powinien zależeć od konsekwencji błędów. Jak opisać czułość testu ? Poziom istotności (α) to p-stwo błędu I rodzaju. Poziom istotności powinno się ustalić jeszcze przed przeprowadzeniem eksperymentu. β – p-stwo błędu II rodzaju (zależy np. od wielkości pożaru)

23 Hipoteza zerowa H 0 Prosta i specyficzna Będziemy ją odrzucali albo nie Przykłady: = 0 = 0 ( - 0 = 0) 1 = 2 ( 1 – 2 = 0) = 0 p = p 0 Aby kontrolować błąd I rodzaju musimy znać rozkład statystyki testowej przy H 0.

24 Hipoteza alternatywna H A W pewnym sensie przeciwna do H 0 Na ogół bardziej ogólna niż H 0 (nieznany rozmiar pożaru) odrzucenie H 0 " oznacza, że wierzymy w H A nie odrzucenie H 0 " oznacza, że nie mamy dowodów przemawiających za H A Nie jest to to samo co udowodnienie prawdziwości H 0 (tego nie potrafimy zrobić).

25 Przykłady H A : 0 > 0 < ( ) 1 > 2 ( > 0 ) 1 > 2 ( < 0 ) Rozkład statystyki testowej przy H A powinien być inny niż przy H 0 (wykrywacz powinien być GŁOŚNO gdy mamy pożar).

26 Przykład ilustracyjny Załóżmy, że mamy próbę z populacji o rozkładzie normalnym. Niech (nieznane) oznacza jego średnią. Chcemy przetestować H 0 : = 5 Przeciwko alternatywie H A : 5

27 Możemy skonstruować przedział ufności dla w oparciu o dane. Taki przedział ufności powinien zawierać. Zatem jeżeli przedział ufności nie zawiera 5 to raczej odrzucimy H 0 na korzyść H A. Jeżeli przedział ufności zawiera 5 to oznacza, że nie możemy odrzucić H 0. Ponieważ jednak PU zawiera także wiele innych wartości niż 5 nie możemy również stwierdzić, że H 0 jest prawdziwa.

28 PU na poziomie (1- ) jest dany wzorem y t /2 SE. Sprawdzimy, czy zawiera on 5.

29 Tak więc równoważnie wyznaczamy statystykę testową ( y – 5)/SE i sprawdzamy czy zawiera się ona w przedziale –t /2 and +t /2 Jeżeli tak to statystyka jest nieistotna i nie odrzucamy H 0. Jeżeli nie to statystyka jest istotna i odrzucamy H 0. Zbiór (-, –t /2 ) U (+t /2, ) nazywamy obszarem krytycznym. Jeżeli statystyka testowa znajdzie się w obszarze krytycznym to odrzucamy H 0. Zauważmy, że postać statystyki testowej zależy od H 0 (stąd pochodzi 5).

30 Rozkład statystyki testowej przy H 0 ma rozkład My zastępujemy przez SE. ( y- )/SE ma rozkład Studenta z n-1 stopniami swobody. Tak więc, jeżeli H 0 jest prawdziwa to = 5 i ( y-5)/SE ma rozkład

31 Zwykle statystykę testową tak wybieramy abyśmy umieli policzyć jej rozkład przy H 0. Co się stanie jeżeli prawdziwa jest H A ? Wtedy 5 i rozkład statystyki ( y-5) będzie skoncentrowany w okolicach ( -5) zamiast w okolicach 0.

32 Poziom istotności Poziom istotności - = P-stwo błędu I rodzaju (odrzucenie H 0 gdy jest prawdziwa). Załóżmy, że H 0 jest prawdziwa. Jakie jest p- stwo, że statystyka testowa znajdzie się w zbiorze krytycznym (-, –t /2 ) U (+t /2,).

33 α wybieramy przed przystąpieniem do testowania. Typowe wartości α to 0.05, 0.01 lub 0.1. Możemy jednak stosować inne wartości. Wybór α powinien zależeć od konsekwencji błędów I i II rodzaju. Wartość krytyczna – wartość leżąca na granicy obszaru krytycznego.

34 W naszym przykładzie rozbiliśmy zbiór krytyczny na dwie symetryczne części (-, –t /2 ) i (+t /2,). Tak postępujemy ponieważ H A, 5, jest symetryczna (niekierunkowa). Jesteśmy zainteresowani alternatywami dla których 5. Czasami rozważamy alternatywy kierunkowe, takie jak H A : > 5. W tym przypadku obszar krytyczny ma postać


Pobierz ppt "Wykład 7 Przedział ufności dla 1 – 2 Skonstruujemy przedział ufności dla 1 – 2 Przypomnienie: PU dla : y t /2 SE y = (estymator) (kwantyl)(SE) Estymator."

Podobne prezentacje


Reklamy Google