Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Reinhard Kulessa1 Wykład 23 19. Równania Maxwella 20.Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe 20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Reinhard Kulessa1 Wykład 23 19. Równania Maxwella 20.Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe 20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Równania Maxwella 20.Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe 20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny 20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach Równanie telegrafistów 20.4 Zjawisko naskórkowości Fale elektromagnetyczne w izolatorze Wektor Poyntinga 20.7 Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych

2 Reinhard Kulessa2 Zestawmy sobie więc wszystkie równania Maxwella. 19. Równania Maxwella Równania te podamy tak, jak były one podane do tej pory na wykładzie, w postaci różniczkowej i całkowej. Równania Maxwella podaliśmy w oparciu o tzw. równania materiałowe.

3 Reinhard Kulessa3 (19.1) Same równania Maxwella mają następującą postać Postać różniczkowa Postać całkowa Nazwa odpow. prawa I II III IV Prawo Ampera Prawo indukcji Faradaya Prawo Coulomba Prawo Gaussa (E) Prawo Gaussa dla pola magn. (19.2) (19.4) (19.3) (19.6)

4 Reinhard Kulessa4 Korzystając z równań materiałowych możemy I równanie Maxwella napisać w następującej postaci: Ia (19.6) W równaniach tych wykorzystaliśmy zależność: Do kompletu należy jeszcze dodać równanie ciągłości (19.7)

5 Reinhard Kulessa5 Podajmy jeszcze postać równań Maxwella wyrażoną przez skalarny i wektorowy potencjał pola. (19.8) Pamiętamy, że w elektrostatyce mieliśmy:. W drugim równaniu Maxwella mamy. Podstawiając do tego równania wartość wektora B z równania (19.8) mamy:

6 Reinhard Kulessa6, co możemy zapisać jako, lub. Możemy więc twierdzić, że wyrażenie w nawiasie w ostatnim wzorze jest gradientem funkcji skalarnej, czyli. Otrzymaliśmy więc podane we wzorze (19.8) wyrażenie. (19.9)

7 Reinhard Kulessa7 Możemy więc napisać III równanie Maxwella następująco: lub (19.10). Równanie Maxwella Ia możemy napisać następująco: Korzystając z równania (19.9), otrzymujemy:

8 Reinhard Kulessa8 (19.11) Równania (19.10) i (19.11) wydają się być zupełnie różne i skomplikowane. Możemy jednak skorzystać z dowolności dodania do potencjału wektorowego A gradientu pewnej funkcji. Zapisywaliśmy to w elektrostatyce stosując specyficzny warunek dla uproszczenia równań;. Zastosujmy teraz następujący warunek: (19.12) Wówczas równanie (19.10) przechodzi w równanie: (19.13),

9 Reinhard Kulessa9 a równanie (19.11) przyjmuje postać: (19.14) Dwa ostatnie równania są równaniami Maxwella wyrażonymi przez potencjał skalarny i potencjał wektorowy A. Operator nazywamy operatorem DAlamberta. (19.15) (19.16)

10 Reinhard Kulessa10 Można pokazać, że zarówno jak i A można policzyć znając rozkład ładunków i prądów, oraz ich zależności czasowe. (19.17) Z wzorów tych widać, że pole w punkcie (1), zależy od rozkładu ładunków i prądów w punkcie (2) w chwili (t-r 12 /c). Informacja o tych rozkładach może dotrzeć do punktu (1) dopiero po czasie (r 12 /c)

11 Reinhard Kulessa11 20.Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe Z kursu mechaniki powinni Państwo pamiętać równanie fali w ośrodku sprężystym. x y W równaniu tym v 2 = / - określało prędkość rozchodzenia się zaburzenia w kierunku x. Równanie to możemy zapisać jako:

12 Reinhard Kulessa12 Równanie to poza tym, że jest jednorodne, posiada lewą stronę równą tej w równaniu (19.16) dla potencjałów i A. Widzimy więc, że dla obszaru w którym nie ma ładunków i prądów równanie (19.16) jest równaniem falowym. Wyprowadźmy sobie więc równanie falowe dla fal elektromagnetycznych wprost z równania Maxwella korzystając z równań materiałowych. Załóżmy, że mamy ośrodek homogeniczny i izotropowy, oraz ze nie zawiera on ładunków. Oznacza to że,, =const. i = 0. Znane nam cztery równania Maxwella mają wtedy w układzie SI następującą postać:

13 Reinhard Kulessa13 Wykonajmy kolejno zaznaczone po prawej stronie równań I i II operacje. Otrzymamy wtedy następujące równania. = 0

14 Reinhard Kulessa14 Eleminując z tych równań wyrażenie oraz mnożąc wynik obustronnie przez 1/ 0, otrzymujemy: (20.1) Dla drugiego przypadku eleminując wyrażenie otrzymujemy: (20.2) Przez kombinację równań Maxwella uzyskaliśmy dwa identycznej postaci równania, które możemy zapisać jako: (20.3),

15 Reinhard Kulessa15 Gdzie może przyjmować wartości H lub E. Równanie to nie jest proste, gdyż występują w nim zarówno pierwsza, jaki i druga pochodna cząstkowa po czasie. Załóżmy, że: Po podstawieniu otrzymujemy:. (20.4) Jeśli zajdzie nierówność ( / 0 ) >>, w równaniu dominuje człon z / t i wtedy mamy równanie dyfuzyjne, a gdy ( / 0 ) <<, wtedy dominuje człon z 2 /t 2, i otrzymujemy równanie falowe. Dla izolatorów automatycznie jest spełniony warunek dla równania falowego. Widać więc z powyższego, że równania Maxwella zawierają w sobie opis rozchodzenia się fal elektromagnetycznych..

16 Reinhard Kulessa Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny Z równań Maxwella wiemy, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w przestrzeni ze skończoną prędkością (patrz r. (20.3) ). Po raz pierwszy praktycznie wytworzył fale elektromagnetyczne Heinrich Herz w Karlsruhe w 1888 r. Dokonał On tego przy pomocy oscylującego dipola elektrycznego. Układ drgający Herza wyglądał bardzo prosto. Był to obwód drgający z przerwą iskrową. C L Rezonator HerzaObwód drgający

17 Reinhard Kulessa17 Obwód taki możemy przedstawić następująco: EHH E H E W lewym rysunku L,C, H i E są dobrze zlokalizowane. Dobroć obwodu Q 100. W prawej części wymienione wielkości są rozmyte, a Q 1, ze względu na wypromieniowanie energii. Do drgającego dipola zawsze musi być doprowadzona energia aby podtrzymać drgania.

18 Reinhard Kulessa18 HF Taki drgający pręt jest dipolem elektrycznym (20.5) Wzdłuż tego pręta periodycznie oscyluje ładunek elektryczny wytwarzając periodyczne pole E. Z kolei płynący prąd przy czym (20.6),., wytwarza periodyczne pole indukcji magnetycznej B. Szukamy więc pola E i B w punkcie P odległym o r od dipola.

19 Reinhard Kulessa19 W rozdziale piątym rozważaliśmy problem dipola stacjonarnego i podaliśmy wartość natężenia pola w układzie biegunowym. Obecnie problem należy rozważać w układzie sferycznym. p r x y z P Nie będziemy tutaj przeprowadzać pełnych obliczeń, gdyż nie poznaliśmy zagadnienia potencjałów opóźnionych. Podamy wyniki uzyskane przez Herza przy następujących założeniach. 1.l(długość dipola) << r 2. Zgodnie z równaniem falowym prędkość rozchodzenia się wektorów E i B jest c. Należy więc uwzględnić, że kształty pól w punkcie P w czasie t zostały wywołane przez stan dipola w chwili (t-r/c). W układzie sferycznym wynik jest następujący:

20 Reinhard Kulessa20 (20.7) Musimy tu rozważyć dwa przypadki: A). Obszar bliski dipola r << =2 c/. Zarówno prędkość jak i opóźnienia nie grają tu roli. Dla pola E wystąpią te człony, które poznaliśmy w rozdziale 5.7.4, czyli podkreślone na powyżej na czerwono.

21 Reinhard Kulessa21 Dla pola B otrzymamy zgodnie z prawem Biotta-Savarta, Ponieważ wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły zarówno do wektora r jak i l, będzie miał tylko składową B. Przypadek ten nie jest związany z rozchodząca się falą elektromagnetyczną. Przejdźmy więc do przypadku drugiego: B) r >>. Zgodnie ze wzorem (20.5) trzy człony powtarzające się we wzorze (20.7) można napisać następująco:

22 Reinhard Kulessa22. W prawej części równania zastosowaliśmy związek: Ze względu na to, że /r << 1, człony w wyższej potędze będą zaniedbywalne. Dominującą rolę będzie odgrywało więc trzecie równanie. Przybliżone rozwiązanie będzie miało postać:

23 Reinhard Kulessa23 (20.8) (20.9) Wrócimy jeszcze do krótkiego omówienia mocy wypromieniowanej przez dipol później.

24 Reinhard Kulessa24 x r 2b 2a V(x 0 ) V(x 0 +x) B(r) I I 20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach Rozważmy koaksialny przewód z dwóch rur, w których płyną prądy I w przeciwnych kierunkach. Skorzystajmy w tym celu ze znanego nam już rysunku Jeśli pomiędzy przewodami zakreślimy pętlę o promieniu r, to zgodnie z prawem Ampera :

25 Reinhard Kulessa25 Wobec tego Dla a < r < b. Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowana powierzchnię wynosi: Wobec tego współczynnik indukcji własnej na jednostkę długości kabla wynosi:. (20.10) Równocześnie pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi:.

26 Reinhard Kulessa26 (20.11) Mamy więc, że; (20.12) Równanie to jest słuszne dla wszystkich rodzajów podwójnych kabli. Widzimy więc, ze rozchodzą się po nich fale elektromagnetyczne.

27 Reinhard Kulessa Równanie telegrafistów Rozważmy układ dwóch przewodów podłączony do generatora wysokiej częstości. Układ taki nazywamy linią Lehera. VV+dV AB DC I I+dI x x+dx cos t Potencjał V i natężenie prądu I, czyli wektory E i B zmieniają się periodycznie w funkcji położenia. 1). Rozważmy zmianę ładunku na odcinku dx w czasie dt.

28 Reinhard Kulessa28 Z drugiej strony odcinek x tworzy kondensator o pojemności C * dx, czyli (20.13) 2). Rozważmy zmianę indukcji na odcinku dx. Oznaczmy przez R * wartość oporu przypadającego na jednostkę długości przewodnika i zastosujmy prawo indukcji elektromagnetycznej dla kontury ABCD. I

29 Reinhard Kulessa29. Mamy więc: (20.14) II (20.15a) I Następnie biorąc z I równania pochodną / t a z równania II pochodną / x otrzymujemy po eleminacji drugich pochodnych mieszanych i skorzystaniu z równania I;

30 Reinhard Kulessa30 Następnie biorąc z I równania pochodną / x a z równania II pochodną / t otrzymujemy po eleminacji drugich pochodnych mieszanych; (20.15b) Otrzymaliśmy więc dwa identyczne równania na potencjał i natężenie prądu. Są to tzw. równania telegrafistów. Jeśli do linii Lehera przyłożymy zmienne napięcie typu V e i t, wtedy Równanie (20.15a) przyjmie wtedy postać:

31 Reinhard Kulessa31 Mamy tu do rozważenia dwa przypadki: a). Można wtedy zaniedbać w równaniu (20.15a) człon z drugą pochodną cząstkowa po czasie i wtedy: (20.16) Równanie to ma charakter równania dyfuzyjnego. Jeśli znika L * linia Lehera da się przedstawić jako łańcuch R-C.

32 Reinhard Kulessa32 V1V1 V2V2 t V1V1 t V2V2 R o z m y c i e b).Można wtedy zaniedbać człon z pierwszą pochodną czasową, V/ t. Dla idealnego przewodnika R * = 0. Wtedy; (20.17) Jest to równanie falowe, przy czym;

33 Reinhard Kulessa33 (20.18), Gdzie v faz jest prędkością fazową fali. Ogólnym rozwiązaniem równania (20.15) są wyrażenia;. W wyrażeniu na zespolone natężenie prądu dodaliśmy dla bezpieczeństwa fazę. Stała k jest równa: Wstawiając odpowiednie pochodne do równania (20.13), otrzymamy:

34 Reinhard Kulessa34 Po podstawieniu tych wartości otrzymujemy, (20.19). Ostatnie równanie ma postać prawa Ohma. Wyrażenie ma znaczenie impedancji. Impedancja ta jest rzeczywista, czyli natężenie i napięcie prądu są w fazie, co oznacza, że =0. Wyrażenie przedstawia sobą opór falowy.

35 Reinhard Kulessa Zjawisko naskórkowości. Wróćmy do równania (20.3) i zastanówmy się jakie człony w tym równaniu będą istotne w przypadku, gdy przewodnikiem będzie miedź. Wyrażenie / 0 odpowiada częstości 8 ·10 16 s -1. Odpowiada to długości fali w próżni = cm, co odpowiada podczerwieni. Częstości, które możemy realizować technicznie, przy pomocy generatorów wysokich częstości są rzędu Hz. Wynika stąd, że / 0 >>, czyli od częstości naszego źródła prądu. Czyli w równaniu (20.3) dominować będzie człon z / t, tak, że (20.20).

36 Reinhard Kulessa36 Załóżmy, że mamy następującą sytuację. Mamy więc: Po podstawieniu do wzoru (20.20) otrzymujemy: j, E z x

37 Reinhard Kulessa37 W nawiasie kwadratowym ostatniego równania występuje wektor gęstości prądu j 0 (x). Gdzie 1/ 2 = / 0 c 2.. Z równania tego widać, że j 0 (x) musi mieć postać;. Na wartość wektora gęstości prądu otrzymujemy więc: (20.21). Płynący w przewodniku prąd zmienny nie wnika więc głęboko do wnętrza przewodnika. Dla miedzi (mm)=66.7/ (Hz) 1/2.. Otrzymujemy więc 9.5 mm dla prądu o częstości 50 Hz.

38 Reinhard Kulessa38 Głębokość penetracji fali do wnętrza przewodnika miedzianego pokazane jest na poniższym rysunku.

39 Reinhard Kulessa Fale elektromagnetyczne w izolatorze. W izolatorze wiadomo, że =0. Zgodnie z równaniem (20.3) znika w nim człon z / t. (20.22). Rozpatrzmy falę płaską rozchodząca się w kierunku x: E(x,t), H(x,t). Załóżmy, że |E| = E y, czyli ma kierunek prostopadły do założonego kierunku x. Pytanie jest następujące, czy istnieje wtedy wektor H i jak jest on ewentualnie skierowany. Równania falowe redukują się do:,

40 Reinhard Kulessa40 oraz,. Pamiętamy, że w izolatorze = 0, a również j = 0, wtedy I równanie Maxwella ma postać:. Założyliśmy, że wektor natężenia pola elektrycznego E ma tylko składową E y, wobec tego Zgodnie z naszym założeniem musi znikać pierwszy człon po prawej stronie.

41 Reinhard Kulessa41 Mamy więc,. Dla wektora H pozostaje tylko składowa z-towa. Widzimy z tego, że fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Wektory E i H zmieniają amplitudę w kierunku prostopadłym do kierunku prędkości fazowej v faz, oraz są do siebie prostopadłe. H E v faz

42 Reinhard Kulessa42 E 0y

43 Reinhard Kulessa Wektor Poyntinga Fala elektromagnetyczna poruszając się w izolatorze transportuje energię. Ile energii transportuje fala przez powierzchnię A w czasie dt. Transportuje tej energii tyle, ile zawiera cylinder o objętości A·v faz ·dt. A V faz ·dt k H E

44 Reinhard Kulessa44 Wiadomo również, że odpowiednie gęstości energii są równe; Dla fali harmonicznej zachodzi następująca zależność:. Otrzymujemy więc,

45 Reinhard Kulessa45 Wynika stąd, że. Gęstość strumienia energii definiujemy jako Ze względu na to, że kierunek transportu energii jest prostopadły do wzajemnie prostopadłych wektorów E i H, możemy S wyrazić jako wektor.

46 Reinhard Kulessa46 (20.23) Korzystając z równania (20.9) podającego wektor natężenia pola elektrycznego i wektor indukcji magnetycznej dla drgającego dipola, otrzymujemy na energię promieniowania dipola wartość; Rozkład kątowy energii emitowanej przez drgający dipol jest przedstawiony na następnym rysunku.

47 Reinhard Kulessa47

48 Reinhard Kulessa Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych Współczynnik załamanie światła jest zdefiniowany jako; Wiemy, że prędkość fazowa. Stąd znajdziemy związek pomiędzy optycznymi a elektrycznymi stałymi materiałowymi. (20.24) Dla izolatorów =1. Dyspersja światła w pryzmacie wskazuje na to, że współczynnik załamania światła n zależy od długości fali, czyli również ( ). Odpowiednie zależności można znaleźć w oparciu o model rozpraszania światła na atomach(elektronach)

49 Reinhard Kulessa49 Padająca fala o częstości indukuje wtórny moment dipolowy w atomie. Moment ten uzyskuje dla pewnej częstości wartość maksymalną. W oparciu o takie rozważania otrzymujemy na współczynnik załamania wyrażenie; (20.25), gdzie N oznacza liczbę atomów/cm 3, e - ładunek elektronu, m – masę elektronu, 0 – częstość rezonansową, a Współczynnik załamania przyjmuje więc postać (20.26). n 0 ( ) przedstawia rzeczywisty współczynnik załamania odpowiedzialny za rozszczepienie światła,

50 Reinhard Kulessa50 ( ) jest odpowiedzialny za tłumienie amplitudy fali. Prawo absorbcji fali elektromagnetycznej ma postać:. (20.27)


Pobierz ppt "Reinhard Kulessa1 Wykład 23 19. Równania Maxwella 20.Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe 20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny."

Podobne prezentacje


Reklamy Google