Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Modelowanie i symulacja WYKŁAD 3. Układy równań liniowych Układ równań

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Modelowanie i symulacja WYKŁAD 3. Układy równań liniowych Układ równań"— Zapis prezentacji:

1 Modelowanie i symulacja WYKŁAD 3

2 Układy równań liniowych Układ równań

3 Układy równań liniowych Zapis macierzowy:

4 Układy równań liniowych

5 Zapis macierzowy: macierz o rozmiarach m x n (m równań/wierszy, n zmiennych/kolumn) wektor kolumnowy zmiennych o rozmiarach n x 1 (n wierszy/zmiennych) wektor kolumnowy wyrazów wolnych o rozmiarach m x 1 (m wierszy/wyrazów wolnych)

6 Układy równań liniowych Tylko układy, które mają tyle niezależnych równań ile zmiennych dają jednoznaczne rozwiązanie, Niekoniecznie jest to tożsame z m=n – niektóre równania mogą być liniowo zależne Zamiast m liczy się tzw. rząd macierzy r, mówiący o liczbie liniowo niezależnych równań

7 Układy równań liniowych To wydaje się układ 3 równań:...ale w rzeczywistości to 2 równania – trzecie równanie to cztery razy pierwsze – równania są liniowo zależne

8 Układy równań liniowych Jeśli r < n to układ jest niedookreślony, ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n - r) parametrów Jeśli r=n to istnieje jedno unikalne rozwiązanie Jeśli m>n, to albo część równań jest linowo zależnych (dzięki czemu r<=n) albo układ jest nadokreślony – sprzeczny.

9 Układy równań liniowych Własciwości układu równań liniowych (np. istnienie rozwiązań, wrażliwość rozwiązania na fluktuacje wektora b) są określone właściwościami macierzy A (np. jej rzędem, jej spektrum) proces (A) wejście (x)wyjście (b) Równanie: jakie potrzebne x, żeby uzyskać b?

10 Układy równań liniowych Rozwiązanie układu równań można przeprowadzić za pomocą operacji macierzowych Rozwiązanie układu:

11 Rozwiązanie układu równań liniowych Rozwiązanie układu obejmuje wyznaczenie odwrotności macierzy A, z czego wynika, że musi to być macierz kwadratowa o pełnym rzędzie O dużej klasie algorytmów rozwiązujących układy równań liniowych można myśleć jako o algorytmach znajdujących odwrotność macierzy A Klasyczny algorytm to algorytm eliminacji Gaussa-Jordana

12 Algorytm Gaussa-Jordana Karl Friedriech Gauss ( )Wilhelm Jordan (1842 to 1899)

13 Algorytm Gaussa-Jordana Algorytm dąży do tego, aby skonstruować równanie Ux=d, przy czym U to macierz trójkątna górna:

14 Algorytm Gaussa-Jordana Na podstawie tej postaci łatwo wyznaczyć rozwiązania w procesie wstecznego podstawiania: z ostatniego równania wprost można wyznaczyć x n, znając x n z równania przedostatniego można wyznaczyć x n-1,itd.

15 Algorytm Gaussa Jordana

16

17

18

19 Algorytm Gaussa-Jordana Doprowadzenie do postaci trójkątnej górnej rezlizuje się w pierwszej fazie algorytmu poprzez ciąg operacji polegających na dodawaniu (odejmowania) do jednego równania wielokrotności drugiego Bezpośrednim celem każdej takiej operacji jest wyzerować współczynnik przy kolejnej zmiennej W zapisie macierzowym operacja na równaniu polega na jednoczesnym poddawaniu tym samym przekształceniom wierszowym i macierzy A i wektora b

20 Algorytm Gaussa-Jordana Np. pierwsza operacja – odjąć od drugiego wiersza pierwszy pomnożony przez : Powtórzyć to samo, dla wierszy 3 do n, zapewniając, że w każdym wierszu pierwszy współczynnik zostanie wyzerowany W drugim kroku zacząć od trzeciego równania i odjąć drugie pomnożone przez:. Kontynuować dla wierszy 4 do n Powtarzać krok algorytmu polegający na wyzerowaniu (p-1)-tego współczynnika w równaniach p do n aż osiągnięta zostanie macierz trójkątna górna (p ma się zmieniać od 2 do n)

21 Algorytm Gaussa-Jordana for p := 2 to n do for k := p to n do begin m := a(k,p-1)/a(p-1,p-1) b(k) := b(k)-b(k-1)*m; for l := 1 to n do if (l < p) then a(k,l) := 0 else a(k,l) := a(k,l) – a(k-1,l)*m; end;

22 Algorytm Gaussa - Jordana Dodatkowy element algorytmu – w każdym kroku algorytmu równania są dzielone przez wartość Dobrze jest, aby było jak największe Dlatego algorytm nie jest realizowany zgodnie z sekwencją równań, ale w każdym kroku do odejmowania wybierane jest równanie z jak największym Zabieg ten nazywany jest piwotem

23 Zastosowanie Sieć elektryczna:

24 Zastosowanie Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma prądów w węźle jest równa 0

25 Zastosowanie Prawo Ohma: prąd w gałęzi jest proporcjonalny do różnicy napięć na końcach tej gałęzi i odwrotnie proporcjonalny do rezystancji gałęzi

26 Zastosowanie

27

28

29

30

31 Podsumowanie Algorytmy rozwiązywania układów równań liniowych: Zawsze udzielają ostatecznej odpowiedzi (rozwiązanie, brak rozwiązania, nieskończenie wiele rozwiązań) Odpowiedź zostaje wyznaczona w ściśle określonej ilości iteracji Rozwiązanie jest dokładne w tym sensie, że dokładność nie jest ograniczona przez algorytm a tylko przez dokładność arytmetyki maszyny obliczeniowej

32 Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci: gdzie f(x) jest funkcją nieliniową Obejmuje to oczywiście przypadek każdego równania:

33 Problemy nieliniowe Szczególnym przypadkiem są wszelkiego rodzaju problemy optymalizacyjne – poszukiwanie ekstremum (maksimum albo minimum) funkcji kosztu lub zysku: gdzie f(x) to pierwsza pochodna funkcji f(x)

34 Rozwinięcie w szereg Taylora Jeżeli znamy wartość funkcji i wszystkich jej pochodnych w pewnym punkcie, można wyznaczyć na tej podstawie wartość w innym punkcie:

35 Rozwinięcie w szereg Taylora Przy obcięciu do wyrazu rzędu k reszta rozwinięcia może być oszacowana jako składnik rzędu (O - funkcja Landaua):

36 Rozwinięcie w szereg Taylora Często jest stosowane nawet rozwinięcie obcięte pierwszego rzędu: Jest to tym lepsze przybliżenie prawdziwej wartości, im mniejsza jest wartość Δx Do takiego przybliżenia nawiązuje algorytm Newtona-Raphsona

37 Algorytm Newtona-Raphsona Isaac Newton ( )Joseph Raphson ( )

38 Algorytm Newtona-Raphsona

39 Algorytm zaczyna z pewnego punkty x 0, będącego pierwszym oszacowaniem prawdziwego rozwiązania x * W punkcie x 0 na podstawie znajomości pochodnej funkcji f(x 0 ) rozwiązywane jest równanie liniowe:

40 Algorytm Newtona-Raphsona Rozwiązanie tego równania: wyznacza kolejne oszacowanie rozwiązania x * :

41 Algorytm Newtona-Raphsona Ten sam sposób postępowania jest stosowany w kolejnych iteracjach: Kolejne wartości x i są coraz lepszymi oszacowaniami x *

42 Przykład

43 Algorytm Newtona-Raphsona Zamiast wyprowadzenia bazującego na rozwinięciu Taylora można zastosować intuicję geometryczną:

44 Algorytm Newtona-Raphsona Problem nieliniowy jest zastąpiony serią problemów liniowych Każdy problem liniowy jest lokalnym przybliżeniem Taylora pierwszego rzędu dla problemu nieliniowego

45 Algorytm Newtona-Raphsona W każdej iteracji jest wyznaczane kolejne przybliżenie rozwiązania Proces iteracyjny jest kończony kiedy względny błąd procentowy: spadnie poniżej ustalonej wartości (dokładności algorytmu)

46 Algorytm Newtona-Raphsona System rozwiązujący równanie: zgodnie z algorytmem Newtona-Raphsona nie zna globalnie funkcji f(x), natomiast musi mieć możliwość zapytać o wartość f(x), f(x) w arbitralnym punkcie x Kolejne pytania o wartość funkcji zwiększają wiedzę systemu rozwiązującego o funkcji. Początkowa hipoteza dotycząca rozwiązania x 0 z każdą iteracją ulega zmianie, dzięki uwzględnieniu nowych informacji o funkcji f(x)

47 Przykład zastosowania Wyznaczanie odwrotności liczby Normalnie, żeby wyznaczyć odwrotność liczby a należy podzielić 1 przez liczbę a Możliwe jest też rozwiązania nieliniowego; jeśli x jest odwrotnością a, to spełnione jest:

48 Przykład zastosowania

49

50 Przykład – iteracja 1

51 Przykład – iteracja 2

52 Przykład – iteracja 3

53 Pułapki – wybór punktu startowego

54

55 Pułapki – oscylacje dookoła ekstremum

56 Ekstrema – dzielenie przez zero

57 Pułapki – jedno z wielu rozwiązań

58 Przykład aplikacji Superkomputery, takie jak Cray pozbawione są jednostki dzielenia liczb Zamiast dzielenia przez liczbę, realizowane jest mnożenie przez jej odwrotność: Odwrotność liczby jest znajdowana przez algorytm Newtona-Raphsona (jak we wcześniejszym przykładzie)

59 Przykład aplikacji Każda iteracja wymaga dwóch mnożeń i jednego odejmowania Wyznaczenie odwrotności przy podwójnej precyzji wymaga ok. sześciu iteracji Jeżeli punkt startowy jest wybrany odpowiednio (z tabeli) – ilość iteracji zmniejsza się o połowę Często stosowany jest sprzętowy akumulator mnożąco-odejmujący


Pobierz ppt "Modelowanie i symulacja WYKŁAD 3. Układy równań liniowych Układ równań"

Podobne prezentacje


Reklamy Google