Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania Krzysztof Turowski.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania Krzysztof Turowski."— Zapis prezentacji:

1 Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania Krzysztof Turowski

2 Definicja grafu M m,n Formalnie: Graf M m,n zdefiniujmy jako: V(M m,n ) = {u i,j : 1 i m, 1 j n} E(M m,n ) = {u i,j u k,l : i = k ٧ j = l, 1 i, k m, 1 j, l n}

3 Definicja grafu M m,n Nieformalnie: Są to grafy stworzone z n grafów pełnych K m (w każdym z tych podgrafów wierzchołki ponumerowane od 1 do m), gdzie dodatkowo są ze sobą połączone wierzchołki z różnych grafów o tych samych numerach.

4 Przykłady grafów M m,n m = 2, n = 2

5 Przykłady grafów M m,n m = 3, n = 2

6 Przykłady grafów M m,n m = 3, n = 3

7 Właściwości grafów M m,n Każdy wierzchołek w grafie n należy jednocześnie do dwóch maksymalnych grafów pełnych: K m i K n, jednocześnie będąc ich jedynym elementem wspólnym. Graf jest (m + n + 1)–regularny, czyli każdy wierzchołek jest stopnia m + n + 1. Graf jest autoizomorficzny wobec każdego ze swoich wierzchołków – zatem możemy oznaczyć graf tak, że dowolny wierzchołek będzie miał indeksy i = j = 1.

8 Właściwości grafów M m,n cd. M m,n = M n,m Gdy i m, j n, to M i,j jest podgrafem M n,m Dla grafu M m,n jego średnica diam(M m,n ) 2 (dla min{m, n} 2 mamy diam(M m,n ) = 2) γ(M m,n ) = min{m, n} Γ(M m,n ) = max{m, n}

9 Dowód własności diam(M m,n ) 2 Weźmy dowolne różne wierzchołki: u i,j i u k,l Mamy wówczas 3 przypadki: i k ٨ j = l Istnieje droga długości 1: u i,j (czyli u i,l ) – u k,l i = k ٨ j l Istnieje droga długości 1: u i,j (czyli u k,j ) – u k,l i k ٨ j l Istnieje droga długości 2: u i,j – u k,j – u k,l W każdym przypadku diam(u i,j,u k,l ) 2.

10 Dowód własności γ(M m,n ) = min{m, n} Każdy wierzchołek może być zdominowany tylko przez inny wierzchołek z przyłączonych do niego grafów maksymalnych: K m lub K n. Zatem dla dowolnego zbioru K m u K n należy do niego co najmniej 1 wierzchołek należący do najmniejszego zbioru dominującego. Wobec tego wierzchołków nie może być mniej niż kolumn lub wierszy, czyli γ(M m,n ) = min{m, n}

11 Dowód własności γ(M m,n ) = min{m, n} cd. Można również dowieść indukcyjnie: Ponieważ dla dowolnych m, n: m n mamy γ(M m,0 ) = 0 i γ(M m+1,n+1 ) = γ(M m,n ) + 1 to γ(M m,n ) = n. Ponieważ M m,n =M n,m to γ(M m,n ) = γ(M n,m ) = min{m, n} Zatem grafy z rodziny M m,n mają dowolnie dużą liczbę dominowania.


Pobierz ppt "Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania Krzysztof Turowski."

Podobne prezentacje


Reklamy Google