Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

ALGORYTMY GRAFOWE. REPREZENTACJE GRAFÓW Macierz sąsiedztwa : A[1..n,1..n] 1 (true) jeśli {i,j} E A[i,j] = 0 (false) jeśli {i,j} E O(n 2 ) pamięci G =

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "ALGORYTMY GRAFOWE. REPREZENTACJE GRAFÓW Macierz sąsiedztwa : A[1..n,1..n] 1 (true) jeśli {i,j} E A[i,j] = 0 (false) jeśli {i,j} E O(n 2 ) pamięci G ="— Zapis prezentacji:

1 ALGORYTMY GRAFOWE

2 REPREZENTACJE GRAFÓW Macierz sąsiedztwa : A[1..n,1..n] 1 (true) jeśli {i,j} E A[i,j] = 0 (false) jeśli {i,j} E O(n 2 ) pamięci G = ( V, E ) V = {1,2,...,n} E = { e 1,..., e m }

3

4 Macierz incydencji : B[1..n,1..m] 1 (true) jeśli i e j B[i,j] = 0 (false) jeśli i e j O(nm) pamięci

5

6 O(m) pamięci Listy sąsiedztwa L [1..n], {Adj(i), i=1,...,n } L[i] = wskaźnik na początek listy sąsiadów wierzchołka i ( Adj(i) )

7 / / 2 / 5 / 4 /

8 PRZESZUKIWANIE W GŁĄB { "Odwiedza" każdy wierzchołek grafu ; Wierzchołki odwiedzone mają kolor czarny } DFS-VISIT (u); {"Odwiedza" wierzchołki składowej spójności zawierającej wierzchołek u } begin kolor (u) := SZARY; for każdy v Adj (u) do if kolor (v) = BIAŁY then DFS-VISIT (v); kolor (u) := CZARNY; end; DFS (G); begin for każdy u V(G) do kolor (u) := BIAŁY; for każdy u V(G) do if kolor (u) = BIAŁY then DFS-VISIT (u); end;

9 PRZESZUKIWANIE W GŁĄB { "Odwiedza" każdy wierzchołek grafu ; Wierzchołki odwiedzone mają kolor czarny } DFS-VISIT (u); {"Odwiedza" wierzchołki składowej spójności zawierającej wierzchołek u } begin 1. kolor (u) := SZARY; 2. for każdy v Adj (u) do 3. if kolor (v) = BIAŁY 4. then begin (v) := u; DFS-VISIT (v); end; 5. kolor (u) := CZARNY; end; DFS (G); begin 1. for każdy u V(G) do begin 2. kolor (u) := BIAŁY; (u) := -1; end; 3. for każdy u V(G) do 4. if kolor (u) = BIAŁY 5. then DFS-VISIT (u); end;

10 PRZESZUKIWANIE WSZERZ BFS (G,s); {Jeśli G jest spójny, to odwiedza każdy wierzchołek grafu, jeśli niespójny, to odwiedza każdy wierzchołek składowej spójności zawierającej wierzchołek s.Wierzchołki odwiedzone mają kolor czarny } begin for każdy u V(G)–{s} do kolor (u) := BIAŁY; kolor (s) := SZARY; Q := {s}; while Q <> do begin u:= head (Q); for każdy v Adj (u) do begin if kolor (v) = BIAŁY then begin kolor (v) = SZARY; ENQUEUE (Q,v); end; DEQUEUE (Q); kolor (u) := CZARNY; end end;

11 PRZESZUKIWANIE WSZERZ BFS (G,s); {Jeśli G jest spójny, to odwiedza każdy wierzchołek grafu, jeśli niespójny, to odwiedza każdy wierzchołek składowej spójności zawierającej wierzchołek s.Wierzchołki odwiedzone mają kolor czarny } begin 1. for każdy u V(G)–{s} do 2. begin kolor (u) := BIAŁY; (u) := -1; end; 3. kolor (s) := SZARY; 4. Q := {s}; while Q <> do begin 1. u:= head (Q); 2. for każdy v Adj (u) do 3. begin 4. if kolor (v) = BIAŁY 5. then begin 6. kolor (v) = SZARY; (v) := u; 7. ENQUEUE (Q,v); end; 8. DEQUEUE (Q); 9. kolor (u) := CZARNY; end end;

12 ZASTOSOWANIE METOD Wybrane zastosowania : ( inne w dalszej części wykładu ) Testowanie czy dany graf jest spójny Wyznaczanie składowych spójności Znajdowanie drogi

13 MST – PRIM (G, w, r ); {Wyznacza zbiór krawędzi ET = { {v, (v)}: v V(G) – {r} } minimalnego drzewa spinającego grafu G} begin for każdy u V(G) do key(u) := ; key(r) := 0; (r) := -1; { utwórz kolejkę priorytetową Q } Q := V(G); while Q <> do begin u := EXTRACT-MIN (Q); for każdy v Adj(u) do if v Q and w(u,v) < key(v) then begin (v) := u; key(v) := w(u,v) end end;

14 MST-KRUSKAL (G, w); { Wyznacza zbiór ET krawędzi minimalnego drzewa spinającego grafu G } begin ET := ; for każdy v V(G) do MAKE – SET (v); posortuj krawędzie z E(G) niemalejąco względem wag w ; for każda krawędź {u,v} E(G) (w kolejności niemalejących wag) do if FIND-SET (u) <> FIND-SET (v) then begin ET := ET {{u,v}}; UNION (u,v) end ; return ET end ;

15 CONNECTED_COMPONENT(G); { Wyznacza rodzinę zbiorów rozłącznych; każdy zbiór zawiera wierzchołki jednej składowej spójności grafu G} begin for każdy wierzchołek v V(G) do MAKE-SET(v); for każda krawędź {u,v} E(G) do if FIND-SET(u) <> FIND-SET(v) then UNION (u,v); end;

16 SAME-COMPONENT(S, u,v); { Testuje czy wierzchołki u i v należą do tej samej składowej spójności grafu } begin if FIND-SET(u) = FIND-SET(v) then return TRUE else return FALSE; end;

17 NAJKRÓTSZE DROGI W GRAFIE ZORIENTOWANYM

18 s s s e s c s a s g f s d s b f

19 RELAX (u, v, w); { Może zmniejszyć wartość d(v) i zmienić (v) } begin if d(v) > d(u) + w(u,v) then begin d(v) := d(u) + w(u,v); (v) := u end end; uv u v

20 DIJKSTRA (G, w, s); { Wyznacza odległość każdego wierzchołka grafu G od wierzchołka s ; w : E(G) R 0 } begin for każdy v V(G) do begin d(v) := ; (v) := NIL; end; d(s) := 0; S := ; Q := V(G); while Q <> do begin u := EXTRACT-MIN (Q); S := S {u}; for każdy v Adj(u) do RELAX (u, v, w); end end;

21 begin for każdy v V(G) do begin d(v) := ; (v) := NIL; end; d(s) := 0; BELLMAN – FORD (G, w, s); { Testuje czy graf ma cykle ujemnej długości ; jeśli nie ma, to znajduje odległość każdego wierzchołka grafu G od wierzchołka s ; w : E(G) R } for i := 1 to |V(G)| - 1 do for każda krawędź {u,v} E(G) do RELAX (u, v, w); for każda krawędź {u,v} E(G) do if d(v) > d(u) + w(u,v) then return FALSE; return TRUE end;

22 e a cd b Kolejność krawędzi : (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (c,b), (c,d), (d,b), (d,e), (e,a), (e,c)

23 s s s f a b c d 0 Kolejność krawędzi : (a,b), (b,c), (c,b), (c,d)

24 FLOYD-WARSHALL (W); {Wyznacza macierz D (n) odległości miedzy każdą parą wierzchołków grafu reprezentowanego przez macierz wag W } begin D (0) := W; for k:=1 to n do for i := 1 to n do for j := 1 to n do D ij (k) := min { D ij (k-1), D ik (k-1) + D kj (k-1) }; return D (n) end;


Pobierz ppt "ALGORYTMY GRAFOWE. REPREZENTACJE GRAFÓW Macierz sąsiedztwa : A[1..n,1..n] 1 (true) jeśli {i,j} E A[i,j] = 0 (false) jeśli {i,j} E O(n 2 ) pamięci G ="

Podobne prezentacje


Reklamy Google