Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G) Krzysztof Turowski.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G) Krzysztof Turowski."— Zapis prezentacji:

1 Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G) Krzysztof Turowski

2 Uwagi początkowe Największy zbiór nienadmierny nie może być zbiorem dominującym. Dobrym obszarem poszukiwania wydają się grafy postaci: gdzie owal oznacza graf o minimalnym zbiorze dominującym ściśle ustalonej postaci np. graf pełny, cykl, ścieżkę.

3 Uwagi początkowe Dlaczego akurat te rodziny podgrafów? Ponieważ mają one ściśle narzucone ograniczenia na Γ(G), co można wykorzystać konstruując graf docelowy. Dlaczego akurat takie połączenia między podgrafami? Ponieważ dają nam one oczywiste ograniczenie z dołu na IR(G).

4 Rzeczywiście można znaleźć przykłady grafów takiej postaci z daną własnością: Poniższy graf ma Γ(G) = 2, IR(G) = 3: Γ(G) < IR(G): Przykład grafu

5 Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G) Okazuje się, że każdy graf złożony z dwóch grafów K n o wierzchołkach połączonych parami przez n – k krawędzi ma własność Γ(G) k 3. W takim grafie mamy Γ(G) = 2, natomiast IR(G) = k > Γ(G).

6 Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G) Co więcej, nawet jeśli mamy dwa grafy K m i K n połączone krawędziami tak, że: Istnieje w K m wierzchołek niepołączony z K n Istnieje w K n wierzchołek niepołączony z K m Istnieje zbiór nienadmierny N V(K m ): |N| > 2 to IR(G) |N| > 2 = Γ(G). Ponadto istnieje wówczas zbiór nienadmierny N K n : |N| = |N|

7 Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G) Możemy też spróbować zastąpić jeden z grafów pełnych ścieżką lub cyklem. Wtedy mamy np. graf C m (P m ) i K n połączone ze sobą pewną liczbą krawędzi. Do tego: Istnieje w K n wierzchołek niepołączony z P m /C m Istnieje zbiór nienadmierny N V(K m ) Dla C m i K n : Γ(G) m/2 + 1 Dla P m i K n : Γ(G) m/2 + 2 IR(G) |N|

8 Γ(G) < IR(G): Przykład grafu Przykładowo dla poniższego grafu: m = n = 6, |N| = 5 i Γ(G) = 4, IR(G) = 5 Dla grafu K m +P n najmniejszy graf ma m = n = 7

9 Uwagi i spostrzeżenia Zestawy: cykl – cykl lub cykl – ścieżka mają w każdym przypadku Γ(G) = IR(G). Każda z przedstawionych powyżej rodzin grafów ma jedną cechę wspólną: są to grafy gęste, tzn. |E(G)| = Θ(|V(G)| 2 ). Jednak – jak się okazuje – nie jest to warunek konieczny. Przykładowa rodzina grafów rzadkich (dla których |E(G)| = Θ(|V(G)|)) jaką znalazłem, to grafy złożone z P 2m i K n, gdzie m >> n.

10 Uwagi i spostrzeżenia Na koniec podgrafy grafów M m,n takie, że: Dla pewnych k liczb i {1, 2, …, m} wierzchołki u 1,i, u 2,i, … u m,i są niepołączone m – k > n 2 Wówczas w grafie jest: m – k podgrafów K n n podgrafów K m Γ(G) = n, a IR(G) = m – k + n – 2. Z kolei V(G) = mn i E(G) = Θ(m 2 n).

11 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G) Krzysztof Turowski."

Podobne prezentacje


Reklamy Google