Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Krótka sprzedaż Portfel dwóch akcji Stopa zwrotu akcji, portfela Odchylenie std. stopy zwrotu Oczekiwana.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Krótka sprzedaż Portfel dwóch akcji Stopa zwrotu akcji, portfela Odchylenie std. stopy zwrotu Oczekiwana."— Zapis prezentacji:

1 Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Krótka sprzedaż Portfel dwóch akcji Stopa zwrotu akcji, portfela Odchylenie std. stopy zwrotu Oczekiwana stopa zwrotu portfela Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela

2 Krótka sprzedaż Możliwość krótkiej sprzedaży, to możliwość sprzedaży akcji pożyczonych od odpowiedniej instytucji, np. biura maklerskiego. W ustalonym momencie w przyszłości akcje należy zwrócić. Zatem korzystający z takiej możliwości musi odkupić akcje w tej samej liczbie i przekazać biuru maklerskiemu. Krótkiej sprzedaży dokonuje się w przypadku przewidywania spadku cen akcji. Inwestor zyskuje na spadku cen akcji Zysk inwestora jest różnicą miedzy wartością sprzedanych na początku akcji a kwotą za którą musi później odkupić akcje

3 Krótka sprzedaż. Cena akcji w momencie pożyczenia zł. Liczba pożyczonych akcji - 100

4 Portfel dwóch akcji W - wartość portfela W = a P 1 + b P 2 P 1 - cena akcji typu A, P 2 – cena akcji typu B a - liczba akcji typu A, b - liczba akcji typu B a P 1 - wartość akcji typu A w portfelu b P 2 - wartość akcji typu B w portfelu a P 1 / W – udział akcji A typu w portfelu, ozn. α b P 2 / W – udział akcji typu B w portfelu, ozn. β α + β = 1, α, β – nieujemne

5 Stopa zwrotu z portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży i dywidendy R A – okresowa stopa zwrotu z akcji A R B – okresowa stopa zwrotu z akcji B Stwierdzenie. Jeżeli α, β oznaczają udziały akcji A i B w portfelu, to okresowa stopa zwrotu z portfela - R P jest równa R P = α R A + β R B Dowód: (przy oznaczeniach z poprzedniego slajdu) P 1 (1+ R A ), P 2 (1+ R B ), - ceny końcowe akcji A, B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [a P 1 (1+ R A )+ b P 2 (1+ R B )] – (a P 1 + b P 2 )= a P 1 R A +b P 2 R B stopa zwrotu R P = ( a P 1 R A +b P 2 R B ) / W = (a P 1 / W) R A + (b P 2 / W) R B = α R A + β R B

6 Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przy przyjętych oznaczeniach, wartość portfela dwóch akcji W = a P 1 + b P 2 lub W = α W + β W gdzie α + β = 1; α, β > 0 oraz αW = a P 1, βW= b P 2 Krótka sprzedaż Sprzedajemy akcje B. Za otrzymaną kwotę kupujemy akcje A. (Portfel ma teraz w składzie 100% akcji A) Dokonujemy krótkiej sprzedaży b akcji spółki B, zaś otrzymane pieniądze inwestujemy w akcje spółki A, wartość portfela: W = a P 1 + (-b) P 2 może być zapisana jako W = α W + β W ale teraz α > 1, β < 0, (α + β = 1) W konsekwencji wzrost ceny akcji B spowoduje spadek wartości portfela

7 Parametry zmienności ceny akcji średnia, wartość oczekiwana miary rozproszenia wariancja odchylenie standardowe miary współzależności kowariancja korelacja

8 Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna D i - dywidenda wypłacona pod koniec i – tego okresu, P i, P i-1 - ceny akcji pod koniec i na początku i –tego okresu. stopa zysku w i - tym okresie

9 Stopa zwrotu z akcji Metoda historyczna

10 Oczekiwana stopa zwrotu z akcji Prognozowanie ekspertowe Stan giełdy/ trendPrawdopodobieństwoStopa zwrotu akcji A pipi riri Bessa0,1-20% Trend spadkowy0,30% Trend boczny0,25% Trend wzrostowy0,310% Hossa0,130%

11 Wartość oczekiwana zmiennej losowej (Miara tendencji centralnej) Def. Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Wartością oczekiwaną EX zmiennej losowej X przyjmującej n wartości x 1,..., x n nazywamy liczbę

12 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Własności (i) E (X) = a jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość a (ii) E (aX) = a E(X) dla dowolnej a є R (iii)E(X +Y) = E(X) + E(Y) dla dowolnych zmiennych losowych X, Y (iv)E(X + a) = E(X) + adla dowolnej liczby rzeczywistej a

13 Ryzyko papieru wartościowego. Wariancja stopy zwrotu Metoda historyczna

14 Ryzyko papieru wartościowego Które akcje są bardziej ryzykowne ?

15 Ryzyko papieru wartościowego Oba typy akcji posiadają tę samą oczekiwaną stopę zwrotu, jednak akcje typu B charakteryzują się mniejszym rozproszeniem wyników, są zatem bezpieczniejsze. Dla akcji A, oprócz dużej stopy zwrotu (30 %) może zdarzyć się duża strata (- 20%)

16 Wariancja zmiennej losowej (Miara rozproszenia wyników) Def.. Wariancją zmiennej losowej X przyjmującej n wartości nazywamy liczbę

17 Wariancja zmiennej losowej Stwierdzenie. Wariancja zmiennej losowej X może być obliczona ze wzoru Var X = E(X 2 ) – (E(X)) 2 Dowód. E[(X-E(X)) 2 ] = E[X 2 – 2XE(X) + (E(X)) 2 ] =E(X 2 ) –2 E(XE(X)) + E(E(X)) 2 = E(X 2 ) – 2 (E(X)) 2 + (E(X)) 2 = =E(X 2 ) – (E(X)) 2.

18 Wariancja. Własności (i) (i) Var X > 0 (ii) (ii) jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość, to Var X = 0 (iii) (iii) Var (aX) = a 2 VarX (dla dowolnej liczby rzeczywistej a ) (iv) Var (a + X) = VarX

19 Wariancja stopy zwrotu papieru wartościowego Metoda ekspertowa Stan giełdy/ trendPrawdopodo bieństwo Stopa zwrotu akcji A Składniki wariancji pipi riri (r i -R A ) 2 p i Bessa0,1-20%0,00625 Trend spadkowy0,30%0,00075 Trend boczny0,25%0 Trend wzrostowy0,310%0,00075 Hossa0,130%0,00625 wariancja 0,014

20 Ryzyko papieru wartościowego Odchylenie standardowe Wymiar odchylenia standardowego jest taki sam, jak wielkości mierzonej. Jeżeli zmienna losowa jest wyrażoną w procentach stopą zwrotu, odchylenie std. będzie miało wymiar procentowy Odchylenie std. stopy zwrotu przyjmuje się za miarę ryzyka akcji

21 Miary współzależności Kowariancja stóp zwrotu dwóch papierów wartościowych (Kowariancja zmiennych losowych) Korelacja stóp zwrotu dwóch papierów wartościowych (Korelacja zmiennych losowych)

22 Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych dla danych historycznych z n okresów

23 Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych (drugi wzór – dla małej liczby danych)

24 Niezależność zmiennych losowych Def. Zmienne X, Y o rozkładzie dyskretnym, przyjmujące odpowiednio n i m wartości, nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, gdy spełniony jest warunek

25 Niezależność zmiennych losowych Twierdzenie. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(XY) = E(X) E(Y) Dowód.

26 Kowariancja zmiennych losowych Miara wsp ó łzależności Def. Kowariancją zmiennych losowych X, Y przyjmujących odpowiednio n i m różnych wartości nazywamy liczbę

27 Kowariancja zmiennych losowych Stwierdzenie. Kowariancję zmiennych losowych X, Y można przedstawić w postaci

28 Kowariancja zmiennych losowych Dowód E[(X-EX)(Y-EY)] = E[(XY - X EY – Y EX + EX EY)] = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) + E(EX EY) = E(XY) – EY EX – EX EY + EX EY = E(XY) – EY EX.

29 Kowariancja zmiennych losowych Def. Jeśli Cov (X,Y) = 0, to zmienne X,Y nazywamy nieskorelowanymi, w przeciwnym wypadku mówimy, że zmienne są skorelowane. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane. Dowód wynika z ostatniego stwierdzenia oraz wzoru dla niezależnych zmiennych losowych E(XY) = E(X) E(Y)

30 Własności kowariancji a - dowolna liczba rzeczywista (i) Cov(X,Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X,X) = Var X (iii) Cov(aX,Y) = a Cov(X,Y) (iv) Cov(a+X,Y) = Cov(X,Y) (v) Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) Wniosek Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

31 Kowariancja. Szczególny przypadek Jeżeli każda ze zmiennych losowych X,Y przyjmuje n wartości oraz

32 Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych Prognozowanie ekspertowe

33

34 Korelacja papierów wartościowych Współczynnik korelacji stóp zwrotu papierów wartościowych to liczba

35 Korelacja zmiennych losowych Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbę

36 Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji będziemy oznaczać także symbolem Cor(X,Y)

37 Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych Twierdzenie. Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń, to Var (X + Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y) Wniosek Dla kombinacji liniowej dwóch zmiennych losowych prawdziwy jest wzór Var (aX + bY) = a 2 Var X + b 2 Var Y+ 2ab Cov (X,Y)

38 Wariancja sumy dw ó ch zmiennych losowych Dowód twierdzenia Var (X + Y) = E(X + Y) 2 – [E(X + Y)] 2 = E(X 2 + 2XY + Y 2 ) – [E(X) + E(Y)] 2 = E(X 2 ) + E(2XY) + E(Y 2 ) – [E(X)] 2 – [E(Y)] 2 - 2E(X)E(Y) = E(X 2 ) + 2E(XY) + E(Y 2 ) – [E(X)] 2 – [E(Y)] 2 - 2E(X)E(Y) = (E(X 2 ) – [E(X)] 2 ) + (E(Y 2 ) – [E(Y)] 2 )+2[E(XY)- E(X)E(Y)] = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)

39 Wariancja sumy trzech zmiennych losowych Wniosek. Dla sumy trzech zmiennych losowych mamy Var (X +Y+Z) = Var X + Var Y+ VarZ + 2 Cov (X,Y) + 2 Cov (X,Z) + 2 Cov (Y,Z) Wniosek. Dla kombinacji liniowej trzech zmiennych losowych mamy Var (aX + bY + cZ) = a 2 Var X + b 2 Var Y + c 2 VarZ + +2abCov (X,Y) + 2ac Cov (X,Z) + 2bc Cov (Y,Z)

40 Stopa zwrotu portfela Oczekiwana stopa zwrotu portfela R A – stopa zwrotu z akcji A R B – stopa zwrotu z akcji B R P – stopa zwrotu z portfela Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe R P = α R A + β R B R P jest zmienną losową, będącą kombinacją liniową zmiennych losowych R A, R B E(R A ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A E(R B ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B E(R P ) – oczekiwana stopa zwrotu z Portfela E(R P ) = α E(R A ) + β E(R B )

41 Wariancja, odchylenie std. portfela dwóch akcji Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β Cov( R A, R B ) Var R P – wariancja portfela Cov( R A, R B ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B σ P = Var R P σ P - odchylenie standardowe portfela

42 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela (opportunity set) Def. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela to zbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych ryzyko zysk : [ σ P, E(R P ) ] które można uzyskać zmieniając udziały poszczególnych akcji w portfelu

43 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji (bez krótkiej sprzedaży) akcja A akcja B Średnia stopa zwrotu14,25%62,72% Odchylenie standard.25,25%37,99%

44 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfeli dwóch akcji A(10%,10%), B(20%,30%) przy różnych współczynnikach korelacji (żółty- Cor(A,B)=1, różowy - Cor(A,B)= -1)

45 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji przy możliwości krótkiej sprzedaży Stopa zwrotu akcji A – 16%, B - 12%

46 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, tworzonych z akcji 3 spółek

47 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela trzech akcji Portfele dwuakcyjne (linie ciągłe) portfele 3 akcji (kol. błękitny)

48 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela trzech akcji Krótka sprzedaż (kolor różowy)

49 Przykłady zagadnień optymalizacyjnych Ustalenie składu portfela charakteryzującego się minimalną wariancją minimalną wariancją, przy ustalonej oczekiwanej stopie zwrotu maksymalną oczekiwana stopą zwrotu, przy ustalonym poziomie ryzyka maksymalnym ilorazem oczekiwanej stopy zwrotu do ryzyka maksymalnym ilorazem oczekiwanej stopy zwrotu do ryzyka, przy uwzględnieniu stopy wolnej od ryzyka

50 Portfel efektywny Portfel efektywny to taki portfel że: Nie istnieje portfel o tej samej stopie zysku i mniejszym ryzyku Nie istnieje portfel o tym samym ryzyku i większej stopie zysku Portfele efektywne stanowią część brzegu zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych

51 Relacja Markowitza dla portfeli Portfelowi przyporządkowana jest para : odchyl. std. stopy zwrotu, wartość oczekiwana stopy zwrotu Dla dwóch par ( σ 1, R 1 ), (σ 2, R 2 ) zdefiniujemy relację oznaczoną symbolem « ( σ 1, R 1 ) « (σ 2, R 2 ) ( σ 2 σ 1 i R 1 R 2 ) Mówimy, że portfel któremu odpowiada druga para jest lepszy w sensie relacji Markowitza

52 Granica efektywna (zbiór efektywny) (efficient frontier) Odcinek krzywej odpowiadający portfelom, dla których nie można wskazać różnych od nich portfeli lepszych w sensie relacji Markowitza nazywa się granicą efektywną zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych (bądź zbiorem efektywnym) Punkt będący elementem granicy efektywnej nazywamy portfelem efektywnym

53 Portfel optymalny. Portfel rynkowy Portfel optymalny to portfel o maksymalnym zysku względnym przypadającym na jednostkę ryzyka ( czyli o maksymalnym stosunku oczekiwanej stopy zwrotu do odchylenia std. stopy zwrotu) Portfel rynkowy ( σ M, R M ), to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std., czyli maksimum (ER P - R F )/ σ P Gdzie R F – stopa stała, wolna od ryzyka

54 Portfel minimalnego ryzyka Portfel minimalnego ryzyka to portfel charakteryzujący się najmniejszą wartością odchylenia standardowego stopy zwrotu portfela (czyli także wariancji stopy zwrotu )

55 Portfel optymalny. Portfel rynkowy Portfel minimalnego ryzyka

56 Portfel mieszany: rynkowy ze składnikami pozbawionymi ryzyka (risk free assets) Nowy portfel ma udział α obligacji o stałej stopie zwrotu R F i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o stopie zwrotu R M i ryzyku σ M Stopa zwr. portf. miesz.: R P = α R F + β R M gdzie α + β = 1, α, β > 0. ER P = α R F + β ER M., Wtedy Var R P = Var (β R M ) = β 2 Var (R M ) czyli σ P = β σ M wyliczając stąd β i podstawiając do wzoru na ER P, otrzymujemy ER P = (1- σ P / σ M ) R F + σ P / σ M ER M czyli ER P = R F + σ P (ER M - R F )/σ M Otrzymaliśmy liniową zależność między oczekiwana stopą zwrotu a odchyleniem standardowym dla portfela mieszanego

57 Portfel mieszany bez możliwości krótkiej sprzedaży (punkty fioletowego odcinka) Stopa wolna od ryzyka – 9%, portfel rynkowy (18,56%, 15,00%)

58 Analiza portfelowa Badanie parametrów portfelowych, określanie kryteriów doboru akcji, optymalizacja portfela Badanie parametrów portfelowych, określanie kryteriów doboru akcji, optymalizacja portfela H. Markowitz, Portfolio selection 1952 H. Markowitz, Portfolio selection 1952 J. Tobin – Liquidity preference as behavior towards risk 1958 J. Tobin – Liquidity preference as behavior towards risk 1958 F. Modigliani, M. Miller The cost of capital, corporation finance and the theory of investment 1958 F. Modigliani, M. Miller The cost of capital, corporation finance and the theory of investment 1958 W. Sharpe Capital asset pricing model 1964 W. Sharpe Capital asset pricing model 1964 J. Lintner Security prices, risk and maximal gains from diversifications 1965 J. Lintner Security prices, risk and maximal gains from diversifications 1965

59 Literatura Jajuga K., Jajuga T. Inwestycje Jajuga K., Jajuga T. Inwestycje Luenberger D.G. Teoria inwestycji finansowych Luenberger D.G. Teoria inwestycji finansowych Sopoćko A. Instrumenty finansowe Sopoćko A. Instrumenty finansowe Instrumenty pochodne. Sympozjum matematyki finansowej UJ Kraków 1997Instrumenty pochodne. Sympozjum matematyki finansowej UJ Kraków 1997 Dębski W. Rynek finansowy i jego mechanizmy Dębski W. Rynek finansowy i jego mechanizmy Murphy J.J. Analiza techniczna rynków finansowych Murphy J.J. Analiza techniczna rynków finansowych Schwager J.D.Analiza techniczna rynków terminowych Schwager J.D.Analiza techniczna rynków terminowych Komar Z. Sztuka spekulacji Komar Z. Sztuka spekulacji

60 Analiza portfelowa Harry Markowitz, Merton Miller, William Sharpe - nagroda Nobla (1990) za pionierskie prace w dziedzinie ekonomii finansowej Harry Markowitz, Merton Miller, William Sharpe - nagroda Nobla (1990) za pionierskie prace w dziedzinie ekonomii finansowej

61 Nagrody Nobla – analiza rynków finansowych 1981 James Tobin 1981 James Tobin Relacje między rynkami finansowymi a decyzjami w zakresie wydatków, bezrobociem, produkcją i cenami Relacje między rynkami finansowymi a decyzjami w zakresie wydatków, bezrobociem, produkcją i cenami 1985 Franco Modigliani 1985 Franco Modigliani Pionierska analiza oszczędności i rynków finansowych Pionierska analiza oszczędności i rynków finansowych


Pobierz ppt "Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Krótka sprzedaż Portfel dwóch akcji Stopa zwrotu akcji, portfela Odchylenie std. stopy zwrotu Oczekiwana."

Podobne prezentacje


Reklamy Google