Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Model multiplikatywny Drzewo dwumianowe Parametry portfela akcji Zbiór możliwości inwestycyjnych Relacja.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Model multiplikatywny Drzewo dwumianowe Parametry portfela akcji Zbiór możliwości inwestycyjnych Relacja."— Zapis prezentacji:

1 Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Model multiplikatywny Drzewo dwumianowe Parametry portfela akcji Zbiór możliwości inwestycyjnych Relacja Markowitza

2 Model addytywny. Przykłady symulacji

3

4

5 Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym S(k+1) = S(k) + u (k) u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn. u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi prawdopodobieństwami S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1) S n = u (0) + u (1) +…+ u (n-1) S(n) = S(0) + S n S n wyraża zmianę ceny po n etapach Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5( σ -0) 2 + 0,5(- σ -0) 2 = σ 2 E[S n ]= 0 Var S n = Ʃ n i=1 Var [u (i)] = n σ 2 Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ 2 Oznaczając przez σ n odchylenie standardowe zmiennej S n, mamy σ n = σ n

6 Model addytywny. Uwagi Mimo swej prostoty i łatwości stosowania model addytywny nie nadaje się do stosowania go w rzeczywistości. Zmienne u(k) mogą przyjmować wartości ujemne, co oznacza, że model dopuszcza ujemne wartości cen akcji, co jest niemożliwe. Model ten nadaje się do analizy w krótkich okresach i stał się podstawą do zbudowania wielu innych modeli.

7 Model multiplikatywny Rozważmy model zmienności cen aktywów w którym nowa cena powstaje ze starej przez pomnożenie przez pewien losowy czynnik. (3) (3) S(k+1) = u(k)S(k) dla k = 0, 1,..., n – 1. Zakładamy, że dana jest cena początkowa S(0) oraz że zmienne losowe u(k), k = 0, 1,...,n - 1, są dodatnie, mają jednakowe wartości oczekiwane oraz jednakowe wariancje.

8 Model multiplikatywny Logarytmując (3) stronami: ln S(k+l) = ln S(k) + ln u(k) dla k = 1, 2,..., n - 1. Uwaga. Uzyskana postać jest jedną z form modelu addytywnego - wartości ln S(k) są modelowane addytywnie ze stałą a=1 Oznaczmy w(k) = ln u(k) Losowe fluktuacje są wyrażone w formie logarytmu naturalnego z u(k). Załóżmy dalej, że ciąg { w(k)} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Niech wartość oczekiwana każdej z nich wynosi μ zaś wariancja σ 2.

9 Model multiplikatywny Korzystając z modelu (3) cena aktywa w chwili k dana jest wzorem S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0). Po zlogarytmowaniu obu stron

10 Model multiplikatywny Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ 2 oraz są niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych możemy zapisać: E [ln S(k)] = lnS(0) + μk Var [lnS(k)] = k σ 2. Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana jak i wariancja rosną proporcjonalne do k.

11 Model multiplikatywny, dwumianowy Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może obniżyć się lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p a druga z (1-p)

12 Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S – cena początkowa)

13 Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Ze wzoru (3) wynika, że możliwe ceny końcowe muszą mieć postać S u k d n-k, gdzie k = 0,1,…,n. Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną Su k d n-k, gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n- wyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

14 Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi p k (1-p) n-k Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Su k d n-k wynosi

15 Przykład modelu multiplikatywnego, dwumianowego

16 Drzewo cen akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (10 etapów)

17 Ceny akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (10 etapów)

18 Ceny końcowe akcji w modelu 10-etapowym oraz prawdopodobieństwo ich uzyskania

19

20

21 Model dwumianowy Symulacja

22 Model dwumianowy. Symulacja ceny dla 304 etapów. Różne prawdopodobieństwa wzrostu i spadku

23 Oczekiwana wartość ceny w (n+1)- szym kroku S 0 =100 (cena początkowa) S n - oczekiwana wartość ceny po n – tym krokach S n+1 = (1,1 S n ) 0,6 + (0,9 S n ) 0,4 = = 1,02 S n Ciąg (S n ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1,02

24 Model dwumianowy. Symulacja ceny

25

26

27

28

29 Model dwumianowy. Rozkład prawdopodobieństwa ceny końcowej dla 304 etapów

30

31

32

33 Stopa zwrotu portfela Oczekiwana stopa zwrotu portfela R A – stopa zwrotu z akcji A R B – stopa zwrotu z akcji B R P – stopa zwrotu z portfela Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe R P = α R A + β R B R P jest zmienną losową, będącą kombinacją liniową zmiennych losowych R A, R B E(R A ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A E(R B ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B E(R P ) – oczekiwana stopa zwrotu z Portfela E(R P ) = α E(R A ) + β E(R B )

34 Wariancja, odchylenie std. portfela dwóch akcji Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β Cov( R A, R B ) Var R P – wariancja portfela Cov( R A, R B ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B σ P = Var R P σ P - odchylenie standardowe portfela

35 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela (opportunity set) Zbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych ryzyko zysk : [ σ P, E(R P ) ] które można uzyskać zmieniając udziały poszczególnych akcji w portfelu

36 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji (bez krótkiej sprzedaży) akcja A akcja B Średnia stopa zwrotu 14,25 % 62,72 % Odchylenie standard. 25,25 % 37,99 %

37 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfeli dwóch akcji A(10%,10%), B(20%,30%) przy różnych współczynnikach korelacji (żółty- Cor(A,B)=1, różowy - Cor(A,B)= -1)

38 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji przy możliwości krótkiej sprzedaży Stopa zwrotu akcji A – 16%, B - 12%

39 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, tworzonych z akcji 3 spółek

40 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela trzech akcji Portfele dwuakcyjne (linie ciągłe) portfele 3 akcji (kol. błękitny)

41 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela trzech akcji Krótka sprzedaż (kolor różowy)

42 Przykłady zagadnień optymalizacyjnych Ustalenie składu portfela charakteryzującego się minimalną wariancją minimalną wariancją, przy ustalonej oczekiwanej stopie zwrotu maksymalną oczekiwana stopą zwrotu, przy ustalonym poziomie ryzyka maksymalnym ilorazem oczekiwanej stopy zwrotu do ryzyka maksymalnym ilorazem oczekiwanej stopy zwrotu do ryzyka, przy uwzględnieniu stopy wolnej od ryzyka

43 Portfel efektywny Portfel efektywny to taki portfel że: Nie istnieje portfel o tej samej stopie zysku i mniejszym ryzyku Nie istnieje portfel o tym samym ryzyku i większej stopie zysku Portfele efektywne stanowią część brzegu zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych

44 Relacja Markowitza dla portfeli Portfelowi przyporządkowana jest para : odchyl. std. stopy zwrotu, wartość oczekiwana stopy zwrotu Dla dwóch par ( σ 1, R 1 ), (σ 2, R 2 ) zdefiniujemy relację oznaczoną symbolem « ( σ 1, R 1 ) « (σ 2, R 2 ) ( σ 2 σ 1 i R 1 R 2 ) Mówimy, że portfel któremu odpowiada druga para jest lepszy w sensie relacji Markowitza

45 Granica efektywna (zbiór efektywny) (efficient frontier) Odcinek krzywej odpowiadający portfelom, dla których nie można wskazać różnych od nich portfeli lepszych w sensie relacji Markowitza nazywa się granicą efektywną zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych (bądź zbiorem efektywnym) Punkt będący elementem granicy efektywnej nazywamy portfelem efektywnym

46 Portfel optymalny. Portfel rynkowy Portfel optymalny to portfel o maksymalnym zysku względnym przypadającym na jednostkę ryzyka ( czyli o maksymalnym stosunku oczekiwanej stopy zwrotu do odchylenia std. stopy zwrotu) Portfel rynkowy ( σ M, R M ), to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std., czyli maksimum (ER P - R F )/ σ P Gdzie R F – stopa stała, wolna od ryzyka

47 Portfel minimalnego ryzyka Portfel minimalnego ryzyka to portfel charakteryzujący się najmniejszą wartością odchylenia standardowego stopy zwrotu portfela (czyli także wariancji stopy zwrotu )

48 Portfel optymalny. Portfel rynkowy Portfel minimalnego ryzyka

49 Portfel mieszany: rynkowy ze składnikami pozbawionymi ryzyka (risk free assets) Nowy portfel ma udział α obligacji o stałej stopie zwrotu R F i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o stopie zwrotu R M i ryzyku σ M Stopa zwr. portf. miesz.: R P = α R F + β R M gdzie α + β = 1, α, β > 0. ER P = α R F + β ER M., Wtedy Var R P = Var (β R M ) = β 2 Var (R M ) czyli σ P = β σ M wyliczając stąd β i podstawiając do wzoru na ER P, otrzymujemy ER P = (1- σ P / σ M ) R F + σ P / σ M ER M czyli ER P = R F + σ P (ER M - R F )/σ M Otrzymaliśmy liniową zależność między oczekiwana stopą zwrotu a odchyleniem standardowym dla portfela mieszanego

50 Portfel mieszany bez możliwości krótkiej sprzedaży (punkty fioletowego odcinka) Stopa wolna od ryzyka – 9%, portfel rynkowy (18,56%, 15,00%)

51 Analiza portfelowa Badanie parametrów portfelowych, określanie kryteriów doboru akcji, optymalizacja portfela Badanie parametrów portfelowych, określanie kryteriów doboru akcji, optymalizacja portfela H. Markowitz, Portfolio selection 1952 H. Markowitz, Portfolio selection 1952 J. Tobin – Liquidity preference as behavior towards risk 1958 J. Tobin – Liquidity preference as behavior towards risk 1958 F. Modigliani, M. Miller The cost of capital, corporation finance and the theory of investment 1958 F. Modigliani, M. Miller The cost of capital, corporation finance and the theory of investment 1958 W. Sharpe Capital asset pricing model 1964 W. Sharpe Capital asset pricing model 1964 J. Lintner Security prices, risk and maximal gains from diversifications 1965 J. Lintner Security prices, risk and maximal gains from diversifications 1965

52 Literatura Jajuga K., Jajuga T. Inwestycje Jajuga K., Jajuga T. Inwestycje Luenberger D.G. Teoria inwestycji finansowych Luenberger D.G. Teoria inwestycji finansowych Sopoćko A. Instrumenty finansowe Sopoćko A. Instrumenty finansowe Instrumenty pochodne. Sympozjum matematyki finansowej UJ Kraków 1997Instrumenty pochodne. Sympozjum matematyki finansowej UJ Kraków 1997 Dębski W. Rynek finansowy i jego mechanizmy Dębski W. Rynek finansowy i jego mechanizmy Murphy J.J. Analiza techniczna rynków finansowych Murphy J.J. Analiza techniczna rynków finansowych Schwager J.D.Analiza techniczna rynków terminowych Schwager J.D.Analiza techniczna rynków terminowych Komar Z. Sztuka spekulacji Komar Z. Sztuka spekulacji

53 Analiza portfelowa Harry Markowitz, Merton Miller, William Sharpe - nagroda Nobla (1990) za pionierskie prace w dziedzinie ekonomii finansowej Harry Markowitz, Merton Miller, William Sharpe - nagroda Nobla (1990) za pionierskie prace w dziedzinie ekonomii finansowej

54 Nagrody Nobla – analiza rynków finansowych 1981 James Tobin 1981 James Tobin Relacje między rynkami finansowymi a decyzjami w zakresie wydatków, bezrobociem, produkcją i cenami Relacje między rynkami finansowymi a decyzjami w zakresie wydatków, bezrobociem, produkcją i cenami 1985 Franco Modigliani 1985 Franco Modigliani Pionierska analiza oszczędności i rynków finansowych Pionierska analiza oszczędności i rynków finansowych


Pobierz ppt "Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Model multiplikatywny Drzewo dwumianowe Parametry portfela akcji Zbiór możliwości inwestycyjnych Relacja."

Podobne prezentacje


Reklamy Google