Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych dr Małgorzata Pelczar.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych dr Małgorzata Pelczar."— Zapis prezentacji:

1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych dr Małgorzata Pelczar

2 2 Funkcje i ich własności DEFINICJA Funkcją f jednej zmiennej, określoną na zbiorze X i przyjmującą wartości ze zbioru Y (ozn. f:X  Y) nazywa się przyporządkowanie każdemu elementowi x  X dokładnie jednego elementu y  Y. UWAGA x-argumenty funkcji f, y=f(x) wartości funkcji, X – dziedzina funkcji (ozn. D f ), Y – przeciwdziedzina funkcji, {f(x)  Y: x  D f } = W f – zbiór wartości funkcji.

3 3 Uwaga Jeżeli dany jest tylko wzór funkcji określający funkcję, to zbiór tych wszystkich elementów z R, dla których wzór ma sens nazywamy dziedziną naturalną.

4 4 Które wykresy są wykresami funkcji zmiennej x? x y x y x y x y x y x y a)b) d) e) c) f)

5 5 Równość funkcji DEFINICJA Funkcje f : D f  Y i g: D g  Y są równe (f=g), jeżeli:

6 6 Funkcja „na” DEFINICJA Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór y wtedy i tylko wtedy, gdy:

7 7 Funkcja ograniczona DEFINICJA f : D f  Y jest ograniczona z dołu na zbiorze A  D f, jeżeli: f : D f  Y jest ograniczona z góry na zbiorze A  D f, jeżeli:

8 8 Funkcja ograniczona DEFINICJA f : D f  Y jest ograniczona na zbiorze A  D f, jeżeli jest ograniczona z góry i z dołu, czyli:

9 9 Funkcja złożona DEFINICJA Niech f : X  Y i g: Z  W gdzie Y  Z. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję określoną wzorem:

10 10 Przykłady Określić złożenia i ich dziedziny:

11 11 Funkcja różnowartościowa DEFINICJA Funkcję nazywamy różnowartościową jeżeli:

12 12 Badanie różnowartościowości x f(x)f(x) 1 x1x1 x2x2 x3x3 f(x 1 )= f(x 2 )= f(x 3 )

13 13 Funkcja odwrotna DEFINICJA Niech będzie różnowartościowa. Funkcja odwrotną do f nazywamy funkcję spełniającą warunek:

14 14 Ilustracja funkcji odwrotnej x f(x)f(x)

15 15 Przykłady Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:

16 16 Definicje granic wg Cauchy’ego Sąsiedztwem punktu x 0  R o promieniu r>0 (ozn. S(x 0 )) nazywamy zbiór: Sąsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu x 0  R o promieniu r>0 (ozn. S(x 0 - ); S(x 0 + )) nazywamy zbiór:

17 17 Granica funkcji DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x 0 (ozn. ) jeżeli:

18 18 Ilustracja granicy funkcji w x 0 x f(x)f(x)

19 19 Granica w +  DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie  (ozn. ) jeżeli: Uwaga: Definicja granicy w punkcie –  jest analogiczna

20 20 Ilustracja granicy funkcji w  x f(x)f(x) 1

21 21 Granica lewostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0 (ozn. ) jeżeli:

22 22 Granica prawostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0 (ozn. ) jeżeli:

23 23 Podać granice funkcji w punkcie 1 x f(x)f(x) a)a) x f(x)f(x) b)b) x f(x)f(x) d)d) x f(x)f(x) e)e) x f(x)f(x) f)f) x f(x)f(x) c)c)

24 24 Podać granice jednostronne funkcji w punkcie 1 x f(x)f(x) a)a) x f(x)f(x) b)b) x f(x)f(x) c)c) x f(x)f(x) d)d) x f(x)f(x) e)e) x f(x)f(x) f)f)

25 25 Przykłady Znaleźć granice funkcji:

26 26 Definicje granic funkcji wg Heinego DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x 0 (ozn. ) jeżeli:

27 27 Granica lewostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0 (ozn. ) jeżeli:

28 28 Granica prawostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0 (ozn. ) jeżeli:

29 29 Definicje Heinego a x0x0 x0x0 x0+x0+  A g 

30 30 Warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy TWIERDZENIE Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

31 31 Podstawowe wzory granic funkcji

32 32 Funkcja ciągłe DEFINICJA Otoczeniem punktu x 0  R o promieniu r >0 (ozn. O(x 0,r)) nazywamy zbiór:

33 33 Otoczenia jednostronne DEFINICJA Otoczeniem lewostronnym punktu x 0  R o promieniu r>0 (ozn. O(x 0 -,r)) nazywamy zbiór: Otoczeniem prawostronnym punktu x 0  R o promieniu r>0 (ozn. O(x 0 +,r)) nazywamy zbiór:

34 34 Ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x 0  R oraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 jeżeli:

35 35 Lewostronna ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x 0  R oraz niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu O(x 0 - ). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0 jeżeli:

36 36 Prawostronna ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x 0  R oraz niech f będzie określona przynajmniej na prawostronnym otoczeniu O(x 0 + ). Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0 jeżeli:

37 37 Warunek konieczny i dostateczny ciągłości funkcji TWIERDZENIE Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewo i prawostronnie ciągła.

38 38 Ciągłość funkcji na przedziale Definicja Funkcja f jest ciągła na przedziale (a,b) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja f jest ciągła na przedziale  a,b  jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a,b) oraz lewostronnie ciągła w punkcie a i prawostronnie w punkcie b.

39 39 Ilustracja ciągłości funkcji w punkcie 1 x f(x)f(x) a)a) x f(x)f(x) b)b) x f(x)f(x) d)d) x f(x)f(x) c)c) x f(x)f(x) e)e)

40 40 Twierdzenia dotyczące ciągłości funkcji f i g ciągłe w x 0  f +g ciągła w x 0. f i g ciągłe w x 0  f ·g ciągła w x 0. f i g ciągłe w x 0  f :g ciągła w x 0, przy g(x 0 )  0.

41 41 Ciągłość ważniejszych funkcji 1. Wielomian jest funkcją ciągłą dla x  R. 2. Funkcja wymierna jest ciągła dla wszystkich x  R, dla których mianownik jest różny od zera. 3. Funkcja potęgowa jest ciągła dla wszystkich x>0.

42 42 Ciągłość ważniejszych funkcji 4. Funkcja wykładnicza jest ciągła dla wszystkich x  R. 5. Funkcja logarytmiczna jest ciągła dla x>0. 6. Funkcje trygonometryczne są ciągłe: f(x)=sinx i f(x)= cosx dla wszystkich x  R; f(x)= tgx dla f(x)= ctgx dla

43 43 Przykłady Zbadać ciągłość funkcji w podanych punktach:

44 44 Przykład Dobrać parametry a, b  R, tak aby podana funkcja była ciągła:

45 45 Nieciągłości funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x 0  R oraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Funkcja f jest nieciągła w punkcie x 0 jeżeli: nie istnieje lub Uwaga: Nieciągłość rozważa się tylko w punktach należących do dziedziny.

46 46 Pochodne funkcji postaci y=f(x) DEFINICJA Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy granicę: Pochodną oznaczamy symbolami: iloraz różnicowy

47 47 Interpretacja geometryczna Pochodna funkcji f w punkcie x jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. UWAGA Odnajdywanie pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem funkcji.

48 48 Ilustracja pochodnej funkcji w x x f(x)f(x)

49 49 TWIERDZENIE Jeżeli funkcja ma w danym punkcie skończoną pochodną, to jest ciągła w tym punkcie. UWAGA Funkcja ciągła może nie mieć pochodnej, np. funkcja w punkcie x=0 nie ma pochodnej.

50 50 Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

51 51 Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

52 52 Podstawowe wzory pochodnych funkcji

53 53 Podstawowe wzory pochodnych funkcji

54 54 Przykłady Obliczyć pochodne funkcji:

55 55 Pochodne wyższych rzędów DEFINICJA Pochodną rzędu drugiego funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Drugą pochodną oznaczamy symbolami:

56 56 Pochodna rzędu n DEFINICJA Pochodną rzędu n funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną pochodnej (n-1) rzędu tej funkcji. N-tą pochodną oznaczamy symbolami:

57 57 Przykłady a) Obliczyć sześć pochodnych wyższych rzędów funkcji: b) Obliczyć czwartą pochodną funkcji:

58 58 Twierdzenie o granicach nieoznaczonych TWIERDZENIE (reguła de L’Hospitala) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to:

59 59 Twierdzenie o granicach nieoznaczonych TWIERDZENIE (reguła de L’Hospitala) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to:

60 60 Tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności

61 61 Przykłady Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

62 62 Badanie przebiegu zmienności funkcji 1. Ustalenie dziedziny. 2. Wskazania właściwosci: parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość. 3. Obliczanie granic na krańcach dziedziny. 4. Znalezienie asymptot.

63 63 Badanie przebiegu zmienności funkcji 5. Zbadanie pierwszej pochodnej wyznaczenie pochodnej i jej dziedziny, wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema, ustalenie przedziałów monotoniczności, ustalenie ekstremów funkcji.

64 64 Badanie przebiegu zmienności funkcji 6. Zbadanie drugiej pochodnej wyznaczenie drugiej pochodnej i jej dziedziny, wyznaczenie miejsc, w których funkcja może mieć punkty przegięcia, ustalenie przedziałów wypukłości, ustalenie punktów przegięcia funkcji.

65 65 Właściwości funkcji-parzystość, nieparzystość Funkcja y=f(x) jest parzysta, jeżeli dla każdego x  D f zachodzą warunki: -x  D f oraz f(-x)=f(x). Funkcja y=f(x) jest nieparzysta, jeżeli dla każdego x  D f zachodzą warunki: -x  D f oraz f(-x)=-f(x).

66 66 Właściwości funkcji- okresowość i miejsca zerowe Funkcja y=f(x) jest okresowa, jeżeli istnieje T  R, że dla każdego x  D f zachodzi: f(x+T)=f(x). Funkcja y=f(x) ma miejsce zerowe w punkcie x 0, jeżeli zachodzą warunki: x 0  D f oraz f(x o )=0.

67 67 Asymptoty funkcji DEFINICJA Prosta x=a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeżeli: Prosta x=a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeżeli:

68 68 Ilustracja asymptoty pionowej lewostronnej funkcji x f(x)f(x)

69 69 Ilustracja asymptoty pionowej prawostronnej funkcji x f(x)f(x)

70 70 Ilustracja asymptoty pionowej obustronnej funkcji x f(x)f(x)

71 71 Asymptoty poziome funkcji DEFINICJA Prosta y=B jest asymptotą poziomą funkcji f w , jeżeli: Uwaga: Analogicznie definiuje się asymptoty w - .

72 72 Ilustracja asymptoty poziomej funkcji x f(x)f(x)

73 73 Asymptoty ukośne funkcji DEFINICJA Prosta y=Ax+B jest asymptotą ukośną funkcji f w , jeżeli: Wówczas:

74 74 Ilustracja asymptoty ukośnej funkcji x f(x)f(x)

75 75 Przykład Znaleźć asymptoty podanej funkcji:

76 76 Ekstrema funkcji DEFINICJA Funkcja f ma w punkcie x 0  R minimum lokalne właściwe, jeżeli: Funkcja f ma w punkcie x 0  R maksimum lokalne właściwe, jeżeli:

77 77 Warunek konieczny istnienia ekstremum Twierdzenie (Fermata) Jeżeli funkcja f ma: a) ekstremum lokalne w punkcie x 0  R, b) pochodną f (x 0 ), to f (x 0 )=0.

78 78 Monotoniczność funkcji Jeżeli funkcja f jest ciągła i różniczkowalna na pewnym przedziale, to: 1. f’(x)>0  f jest rosnąca (f  ) 2. f’(x)<0  f jest malejąca (f  ) 3. f’(x)=0  f jest stała

79 79 Warunek dostateczny istnienia maksimum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f (x 0 )=0 b) to funkcja f ma w x 0 maksimum lokalne właściwe.

80 80 Warunek dostateczny istnienia minimum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f (x 0 )=0 b) to funkcja f ma w x 0 minimum lokalne właściwe.

81 81 Warunek dostateczny istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f’(x 0 )=0, b) f’’(x 0 ) 0] to funkcja f ma w x 0 maksimum [minimum] lokalne właściwe.

82 82 Przykład Wyznaczyć ekstrema funkcji:

83 83 Punkty przegięcia wykresu funkcji DEFINICJA Punktem przegięcia wykresu funkcji f (gdy ma ona drugą pochodną), nazywamy taki punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą.

84 84 Ilustracja punktu przegięcia wykresu funkcji x f(x)f(x)

85 85 Wyznaczanie punktów przegięcia Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną ciągła, to w punktach przegięcia f  (x)=0. Twierdzenie Jeżeli druga pochodna funkcji f przechodząc przez punkt x 0 zmienia znak, to wykres funkcji f ma punkt przegięcia w x 0.

86 86 Przykład Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji:

87 87 Wypukłość, wklęsłość funkcji DEFINICJA Funkcja f jest wypukła na przedziale I  D f, jeżeli: Funkcja f jest wklęsła na przedziale I  D f, jeżeli:

88 88 Warunek wystarczający wypukłości Twierdzenie Niech I będzie dowolnym przedziałem. Jeżeli dla każdego x  I funkcja f spełnia nierówność: a) f  (x 0 )>0 to jest ściśle wypukła na I, b) f  (x 0 )  0 to jest wypukła na I, c) f  (x 0 )<0 to jest ściśle wklęsła na I, d) f  (x 0 )  0 to jest wklęsła na I.

89 89 Ilustracja wypukłości funkcji x f(x)f(x)

90 90 Ilustracja wklęsłości funkcji x f(x)f(x)

91 91 Przykład Zbadać wypukłość funkcji:

92 92 Przykład Zbadać przebieg zmienności funkcji:

93 93 Funkcja wielu zmiennych DEFINICJA Zmienną u nazywamy funkcją n-zmiennych niezależnych, jeśli dla danego ciągu argumentów x 1, x 2,…, x n przyjmuje jednoznacznie określoną wartość liczbową. Dla n=2 u=f(x, y), dla n=3 u=f(x,y,z) dla n dowolnego u=f(x 1, x 2,…, x n ).

94 94 Pochodna funkcji wielu zmiennych Pochodną cząstkową funkcji u=f(x 1, x 2,…, x n ) względem zmiennej x i definiujemy jako granice ilorazu różnicowego Pochodne cząstkowe oznaczamy symbolami:

95 95 Pochodne funkcji wielu zmiennych Wektor pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji u nazywamy gradientem u i oznaczamy grad u lub  u, czyli Pochodnymi cząstkowymi rzędu n nazywamy pochodne cząstkowe pochodnych rzędu n-1.

96 96 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu Hesjanem H(x 1, x 2,…, x n ) funkcji u=f(x 1, x 2,…, x n ) wielu zmiennych nazywamy macierz drugich pochodnych cząstkowych, czyli macierz postaci

97 97 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie P 0 =(x 0,y 0 ) funkcji u=f(x,y) dwóch zmiennych jest to, aby gradient tej funkcji w tym punkcie był wektorem zerowym, czyli: Punkt P 0 =(x 0,y 0 ) nazywamy punktem stacjonarnym.

98 98 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum funkcji u dwóch zmiennych jest to, aby wyznacznik z hesjana w punkcie stacjonarnym był dodatni, czyli

99 99 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Jeżeli to w punkcie stacjonarnym funkcja u ma minimum, jeżeli to w punkcie stacjonarnym funkcja u ma maksimum. Jeżeli to funkcja u nie ma w punkcie stacjonarnym ekstremum, jeżeli to przypadek jest wątpliwy.

100 100 Przykład Wyznaczyć ekstrema funkcji:

101 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych dr Małgorzata Pelczar."

Podobne prezentacje


Reklamy Google