Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność"— Zapis prezentacji:

1 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność i odtwarzalność System ciągły System dyskretny Obserwowalność/odtwarzalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu

2 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 2 Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Obserwowalność stanu Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Systemy ciągłe

3 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 3 Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OSC LS1

4 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 4 Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności

5 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 5 Inne testy obserwowalności systemów ciągłych Dodatek A

6 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 6 Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa Obserwowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

7 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 7 Stan odtwarzalny Stan systemu liniowego jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Odtwarzalność stanu Jeżeli każdy stan jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie odtwarzalny lub krócej odtwarzalny

8 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 8 Dla systemów ciągłych obserwowalność i odtwarzalność są równoważne Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OtSC LS1

9 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 9 Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Obserwowalność stanu Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Systemy dyskretne

10 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 10 Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OSD LS1

11 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 11 Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych Dodatek B

12 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 12 Dla systemów dyskretnych obserwowalność i odtwarzalność nie są równoważne System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz odtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OtSD LS1 Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego

13 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 13 Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

14 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 14 Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

15 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 15 Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

16 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 16 Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

17 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 17 Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v 1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v 2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v 3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v 4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

18 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 18 Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v 1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v 4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

19 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 19 Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(M c = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie,, a para macierzy {A C, B C } jest sterowalna, oraz Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną

20 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 20 Dodatek C – Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład

21 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 21 Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest obserwowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(M o = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie,,, a para macierzy {A o, B o } jest obserwowalna, oraz Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną

22 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 22 Dodatek D – Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład

23 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 23 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

24 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 24 Dodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych

25 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 25 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C Twierdzenie OSC LS2

26 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 26 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Twierdzenie OSC LS3 Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

27 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 27 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych Twierdzenie OSC LS4

28 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 28 Dodatek B Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych

29 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 29 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A D, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A D nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C D Twierdzenie OSD LS2

30 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 30 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Twierdzenie OSD LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

31 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 31 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C D nie ma kolumn zerowych Twierdzenie OSD LS4

32 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 32 Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład Dodatek C

33 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 33 Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz M C ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

34 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 34 Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

35 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 35 Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

36 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 36 Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

37 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 37 Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalne wynosi System jest stabilizowalny

38 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 38 Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład Dodatek D

39 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 39 Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz M o ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

40 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 40 Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

41 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 41 Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

42 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 42 Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

43 Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 43 Wartości własne systemu oryginalnego System jest niewykrywalny Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi


Pobierz ppt "Teoria stertowania 2013/2014Przygotowanie do teorii sterowania (III) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność"

Podobne prezentacje


Reklamy Google