Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk Kamil Janus

Expected Utility Theory Mamy zbiór aktywów X = (x 1 p 1,…x n,p n ) p 1 + … + p n = 1, p i > 0 Oczekiwana użyteczność: U(x 1 p 1,…x n,p n ) = u(x 1 )p 1 + … + u+(x n )p n u(x) < 0 – funkcja użyteczności wypukła w przypadku awersji do ryzyka

Paradoks Allaisa Którą inwestycję wybierzesz? A: B: a: 100% na wygranie $1mln c: 11% na wygranie $1mln 89% brak wygranej 89% brak wygranej b: 89% na wygranie $1mln d: 10% na wygranie $5mln 10% na wygranie $5mln 90% na brak wygranej 10% na wygranie $5mln 90% na brak wygranej 1% na brak wygranej 1% na brak wygranej

Paradoks Allaisa cd. Według teorii użyteczności: 1.00U(1m) > 0.89U(1m) U(0) + 0.1U(5m) 0.89U(0) U(1m) < 0.9U(0) + 0.1U(5m) Przekształcamy drugie równanie: 0.11U(1m) < 0.01U(0) + 0.1U(5m) 1U(1m) 0.89U(1m) < 0.01U(0) + 0.1U(5m) Ostatecznie uzyskujemy sprzeczność: 1U(1m) < 0.01U(0) + 0.1U(5m) U(1m)

Efekt odbicia Którą inwestycję wybierzesz? A:B: a: 100% na wygranie $20c: 100% na stratę $20 b: 33% na wygranie $60d: 33% na stratę $60 67% na brak wygranej 67% na brak straty 67% na brak wygranej 67% na brak straty

Ubezpieczenie probabilistyczne Możesz wykupić polisę od włamania, gdzie płacisz połowę zwykłej stawki. W momencie, kiedy zostaniesz obrabowany masz 50% szans (np. warunek, że włamanie wystąpiło w dzień parzysty), że dopłacisz drugą połowę i dostaniesz pełne odszkodowanie oraz 50% szans, że dostaniesz wpłacone składki, ale nie dostaniesz ubezpieczenia. Dodatkowo odszkodowanie jest tak małe, że właściwie nieopłacalne. Możesz wykupić polisę od włamania, gdzie płacisz połowę zwykłej stawki. W momencie, kiedy zostaniesz obrabowany masz 50% szans (np. warunek, że włamanie wystąpiło w dzień parzysty), że dopłacisz drugą połowę i dostaniesz pełne odszkodowanie oraz 50% szans, że dostaniesz wpłacone składki, ale nie dostaniesz ubezpieczenia. Dodatkowo odszkodowanie jest tak małe, że właściwie nieopłacalne.

Ubezpieczenie probabilistyczne Co mówi na to teoria użyteczności? Co mówi na to teoria użyteczności? y – premia za ubezpieczenie w – wartość ubezpieczanego aktywa x – strata p – prawdopodobieństwo straty ry – premia za ubezpieczenie probabilistyczne (1-r)p – prawdopodobieństwo straty w przypadku ubezpieczenia probabilistycznego, gdzie 0<r<1 Dodatkowy warunek: jeśli jest nam wszystko jedno czy poniesiemy stratę czy zapłacimy składkę ubezpieczeniową to wybieramy: Ubezpieczenie Probabilistyczne

Ubezpieczenie probabilistyczne pu(w-x)+(1-p)u(w)=u(w-y) prowadzi do: (1-r) pu(w-x)+r(1-p)u(w)>u(w-y) Zakładamy, że u(w-x)=0 i u(w)=1 rp(1-p)+(1-p)u(w-ry)>1-p lub u(w-ry)>1-rp

Teoria perspektywy Dwie fazy podejmowania decyzji: Pierwotna: Kodowanie – kategorie zysku i straty Kodowanie – kategorie zysku i straty Kombinacja – (200,.25;200,.25) (200,.50) Kombinacja – (200,.25;200,.25) (200,.50) Segregacja – (300,.80;200,.20) Segregacja – (300,.80;200,.20) Kasacja - 200,.20;100,.50;-50,.30) i (200,.20;150,.50;-100,.30) (100,.50;-50,.30) i (150,.50;-100,.30) Kasacja - 200,.20;100,.50;-50,.30) i (200,.20;150,.50;-100,.30) (100,.50;-50,.30) i (150,.50;-100,.30)Wtórna: Funkcja Wag: pi(p), która przyporządkowuje prawdopodobieństwo danej decyzji Funkcja Wag: pi(p), która przyporządkowuje prawdopodobieństwo danej decyzji Funkcja Wartości: v(x), która odzwierciedla wypłaty Funkcja Wartości: v(x), która odzwierciedla wypłaty

Teoria perspektywy Uogólnione równanie teorii użyteczności: V(x, p; y, q) = pi(p)v(x)+pi(q)v(y), gdzie p, q – prawdopodobieństwa p, q – prawdopodobieństwa x, y – wypłaty x, y – wypłaty v(0)=pi(0)=0, pi(1)=1. v(0)=pi(0)=0, pi(1)=1.

Funkcja Wartości

Funkcja Wag

Podsumowanie Rozważmy następujący problem: Dwóch inwestorów: A: majątek zmniejszył się dziś z $4mln do $3mln A: majątek zmniejszył się dziś z $4mln do $3mln B: majątek wzrósł z $1mln do $1.1mln B: majątek wzrósł z $1mln do $1.1mln Kto jest bardziej zadowolony ze swojego stanu posiadania? Kto jest dziś szczęśliwszy?