Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Umieszczamy kąt w układzie współrzędnych REGUŁY: wierzchołek kąta  ( 00    3600 ) jest początkiem układu współrzędnych, pierwsze ramię kąta pokrywa się z dodatnią półosią x drugie ramię kąta odkładamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i nazywamy ramieniem wodzącym x y P(xp,yp) . yp rzędna xp odcięta  r - promień wodzący

wartości stosunków nie zależą od wyboru punktu P. Jeżeli P(xp,yp) jest punktem na ramieniu wodzącym kąta, a r jest promieniem wodzącym punktu P, to: wartości stosunków nie zależą od wyboru punktu P. Jeżeli P(xp,yp), to przykład Ramię wodzące kata  przechodzi przez punkt A(-2,-5), to  jest kątem należącym do III ćwiartki. Promień wodzący a wymienione stosunki są równe:

Sinusem kąta  nazywamy stosunek rzędnej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do promienia wodzącego tego punktu. P(xp,yp) . x y  r yp xp

Cosinusem kąta  nazywamy stosunek odciętej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do promienia wodzącego tego punktu. P(xp,yp) . x y  r yp xp

Tangensem kąta  nazywamy stosunek rzędnej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do odciętej tego punktu.  r x y P(xp,yp) . yp xp założenie: xp  0, więc funkcja tangens nie jest określona dla kątów 90o i 2700.

Cotangensem kąta  nazywamy stosunek odciętej dowolnego (różnego od wierzchołka) punktu wybranego na ramieniu wodzącym kąta do rzędnej tego punktu. r  x y P(xp,yp) . yp xp założenie: yp  0, więc funkcja cotangens nie jest określona dla kątów 0o, 1800 i 3600 .

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.  I II III IV sin +  cos tg ctg W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.  00 900 1800 2700 3600 sin 1 -1 cos tg nie istnieje ctg

.P x y 1 x y 1 .P 1 1 1 600 450 A Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych na podstawie rysunków wiedząc, że wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi natomiast przekątna kwadratu x y 1 .P 1 300

 300 450 600 sin cos tg 1 ctg

Należy skonstruować kąt  , wiedząc, że: 1. 2. przyjmujemy, że yp = 3 i r = 4 przyjmujemy, że xp = -1 i r = 3 x y 1 1 x y x = -1  1  2  1 y = 3  2

przyjmujemy, że yp = 1 i xp = 2 3. 4. przyjmujemy, że yp = 1 i xp = 2 lub yp = -1 i xp = -2 przyjmujemy, że xp =3 i yp = -1 lub xp = -3 i yp = 1 1 x y 1 x y x = 2 x =3 1  2 y =1  1  2 y = -1