dr inż. Monika Lewandowska Fale R/H/W t. 2, rozdz. 17 i 18 Klasyfikacja fal Fale harmoniczne biegnące Interferencja fal Fale stojące Zjawisko Dopplera dr inż. Monika Lewandowska

Klasyfikacja fal (I) Fala – zaburzenie rozchodzące się w przestrzeni, przy czym transportowi energii nie towarzyszy transport materii na duże odległości. Ze względu na naturę fizyczną zaburzenia wyróżniamy: fale mechaniczne fale elektromagnetyczne fale materii Fala mechaniczna powstaje na skutek wychylenia fragmentu ośrodka sprężystego z położenia równowagi, co następnie powoduje drgania tego fragmentu na skutek działania międzycząsteczkowych sił sprężystości. Drgający element będzie z kolei oddziaływał na sąsiadujące fragmenty, pobudzając je do takich samych drgań. Przykłady: fale dźwiękowe, fale na powierzchni wody, fale w strunach instrumentów., fale sejsmiczne

Fale elektromagnetyczne Fala e-m - rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie pola elektromagnetycznego. Widmo fal elektromagnetycznych Źródło: Wikipedia Przykładowe źródła fal elektromagnetycznych: oscylacja dipola elektrycznego (Hertz, fale radiowe) przyspieszanie cząstek naładowanych w akceleratorach (promieniowanie synchrotronowe) hamowanie elektronów w polu jądra atomowego (promieniowanie Röntgena) oscylatory atomowe (promieniowanie termiczne)

Fale materii (fale de Broglie’a) Hipoteza: Każdej poruszającej się cząstce materialnej materialnej o pędzie p i energii E można przyporządkować falę o długości i częstotliwości 1924 ks. L.V.R.P. de Broglie, nagroda Nobla 1929 Louis de Broglie 1929 Obserwuje się efekty potwierdzające falową naturę materii w postaci dyfrakcji i interferencji cząstek elementarnych, a nawet całych jąder atomowych. Pierwsze potwierdzenie eksperymentalne: doświadczenie Davissona – Germera (1927) dyfrakcja elektronów na krysztale niklu C. Davisson i L. Germer

Klasyfikacja fal (II) Ze względu na kąt pomiędzy kierunkiem zaburzenia a kierunkiem rozchodzenia się fali wyróżniamy: fale podłużne, np. fale dźwiękowa fale poprzeczne, np. fale w elektromagnetyczne, fale w strunach inne, np. fale na powierzchni wody Ze względu na kształt czoła fali (powierzchni falowej) wyróżniamy fale: płaskie, kuliste, eliptyczne, walcowe i inne Ze względu na charakter zaburzenia wyróżniamy: impuls falowy – fala wywołana przez pojedyncze drgnięcie ciąg falowy – fala wywołana przez szereg kolejnych drgań Jeśli przyczyna wywołująca zaburzenie działa w sposób periodyczny otrzymujemy periodyczny ciąg falowy. Najprostszym przykładem periodycznego ciągu falowego jest fala harmoniczna.

Biegnąca fala harmoniczna w ośrodku jednowymiarowym (I) Równanie fali harmonicznej biegnącej w ośrodku jednowymiarowym w kierunku rosnących x w kierunku malejących x Parametry występujące w równaniu fali harmonicznej A – amplituda fali - maksymalne wychylenie fragmentu ośrodka z położenia równowagi (m) w – częstość kołowa fali (rad/s) T = 2p/w – okres fali – czas trwania jednego pełnego drgania (s) f = 1/T - częstotliwość fali – ilość drgań na jednostkę czasu (Hz) wt ± kx - faza fali w punkcie x w chwili t (rad) k - liczba falowa (rad/m) l = 2p/k = vT - długość fali - minimalna odległość między dwoma punktami o tej samej fazie, odległość którą przebywa fala w czasie T (m) v = w/k - prędkość fazowa fali (m/s)

Biegnąca fala harmoniczna w ośrodku jednowymiarowym (II) Przykład Fala poprzeczna biegnąca wzdłuż długiego węża gumowego opisana jest równaniem: y(x,t) = 6 cm ∙ sin(0.02p rad/cm ∙ x - 4p rad/s ∙ t). Znajdź a) częstotliwość i okres fali, b) długość fali, c) prędkość fazową fali, d) kierunek rozchodzenia się fali, e) maksymalną prędkość poprzeczną i przyspieszenie poprzeczne elementu węża.

Prędkość fali w napiętej linie (I) Właściwościami ośrodka decydującymi o rozchodzeniu się w nim fal są bezwładność i sprężystość. Sprężystość jest czynnikiem, który powoduje pojawienie się sił przywracających, gdy jakaś część ośrodka zostanie wychylona z położenia równowagi, natomiast bezwładność decyduje o tym jak będzie zachowywała się wychylona część ośrodka pod działaniem tych sił. Oba te czynniki łącznie określają prędkość rozchodzenia się zaburzenia (fali) w ośrodku. Przykład Oszacować (metodą analizy wymiarowej) prędkość fali o częstości w rozchodzącej się w linie o gęstości liniowej m naprężonej siłą F. wielkość wymiar v lt -1 m ml-1 w t -1 F mlt -2

Prędkość fali w napiętej linie (II) Przykład Dwie linki połączono razem za pomocą węzła i naciągnięto pomiędzy dwoma sztywnymi wspornikami. Masy i długości linek wynoszą odpowiednio: m1 = 42 g i L1 = 3 m oraz m2 = 56 g i L2 = 2 m, zaś ich naprężenie wynosi 400 N. W obu linkach równocześnie wytworzono impulsy biegnące od wsporników w kierunku węzła. Który z impulsów szybciej dotrze do węzła?

Zasada superpozycji dla fal Wypadkowe zaburzenie w dowolnym punkcie obszaru, do którego docierają dwie fale tego samego rodzaju jest sumą algebraiczną zaburzeń wywołanych w tym punkcie przez każdą falę z osobna. Nakładające się fale nie wpływają na siebie wzajemnie. Zasada superpozycji przestaje obowiązywać w przypadku bardzo silnych zaburzeń, takich jak np. fale uderzeniowe, tsunami.

Interferencja fal (I) Rozważmy dwie fale harmoniczne biegnące w tym samym kierunku wzdłuż napiętej liny: W wyniku nałożenia się tych fal powstaje zaburzenie wypadkowe:

Interferencja fal (II) W wyniku złożenia dwóch fal niespójnych (w1  w2) otrzymujemy falę anharmoniczną. Amplituda tej fali zmienia się w czasie w sposób okresowy. Okres zmian amplitudy jest równy . Wartość średnia kwadratu amplitudy w czasie jednego okresu wynosi Podczas nakładania się fal niespójnych dodają się ich natężenia. W przypadku nałożenia się fal spójnych (w1 = w2 = w i k1 = k2 = k) otrzymujemy falę harmoniczną o takiej samej częstości. Amplituda fali wypadkowej nie zależy od czasu, natomiast jest różna w różnych punktach przestrzeni. Wynik interferencji dwóch fal w danym punkcie przestrzeni będzie zależał od różnicy dróg przebytych przez każdą z fal i różnicy faz początkowych.

Interferencja fal (III) Amplituda fali wypadkowej jest maksymalna i wynosi w punktach, w których fazy obu fal składowych są zgodne, (są to tzw. maksima interferencyjne) natomiast jest minimalna, równa . w punktach, w których fazy fal składowych są przeciwne i występują tzw. minima interferencyjne . . Podsumowanie Interferencją fal nazywamy zjawisko nakładania się fal, w którym zachodzi stabilne w czasie ich wzmocnienie (interferencja konstruktywna) w jednych punktach przestrzeni, a osłabienie (interferencja destruktywna) w innych punktach, w zależności od wzajemnego przesunięcia fazowego nakładających się fal. Interferować mogą tylko fale spójne. Podczas interferencji fal nie jest spełnione zwykłe sumowanie się ich energii – natężenie fale w maksimach interferencyjnych jest większe od sumy natężeń fal składowych, natomiast w minimach jest mniejsze od tej sumy.

Interferencja fal (IV) Przypadek: Interferencja 2 fal harmonicznych spójnych o takich samych amplitudach biegnących w tym samym kierunku w ośrodku 1-wymiarowym. w1 = w2 = w i k1 = k2 = k A2 = A1 Przykład 17.5: Dwie identyczne fale harmoniczne, poruszające się w tym samym kierunku wzdłuż napiętej liny, interferują ze sobą. Amplituda każdej z fal wynosi A1 = 9.8 mm, zaś różnica faz między nimi Dj = 100o. a) Oblicz amplitudę fali wypadkowej powstającej w wyniku interferencji obu fal i określ charakter interferencji, b) Wyznacz różnicę faz (w radianach i w częściach długości fali) , przy której amplituda fali wypadkowej wynosi 4.9 mm.

Interferencja fal (V) Fala stojąca (I) Szczególnym przypadkiem interferencji fal są tzw. fale stojące. Powstają one w wyniku superpozycji dwu fal harmonicznych o tych samych częstościach i amplitudach biegnących w przeciwnych kierunkach. Fale stojące wytwarzane są często w wyniku interferencji fali padającej i odbitej od granicy ośrodka. - równanie fali stojącej Fala stojąca charakteryzuje się ustalonymi położeniami punktów, w których amplituda drgań jest równa 0 (zwanych węzłami) i punktów, w których amplituda drgań jest maksymalna (zwanych strzałkami).

Interferencja fal (VI) Odbicie fali na granicy ośrodka Impuls padający z prawej strony odbija się od końca liny zamocowanego do ściany. Impuls odbity jest odwrócony względem impulsu padającego (przy odbiciu nastąpiła zmiana fazy fali padającej na przeciwną) Lewy koniec liny zamocowany jest do pierścienia, który może swobodnie ślizgać się wzdłuż pręta w górę i w dół. W tym przypadku podczas odbicia nie następuje zmiana fazy fali, zatem impuls po odbiciu nie jest odwrócony. R/H/W rys. 17.19

Interferencja fal (VI) Fale stojące w strunie. Częstości rezonansowe Struna napięta pomiędzy dwoma uchwytami i wprawiona w drgania w postaci fali stojącej Ton podstawowy struny – najprostszy możliwy kształt: 1 pętla 2 węzły i 1 strzałka Druga harmoniczna - kształt zawiera 2 pętle (3 węzły i 2 strzałki) Trzecia harmoniczna – kształt zawiera 3 pętle (4 węzły i 3 strzałki) Częstotliwość tonu podstawowego struny: RHW rys. 17.21

Interferencja fal (VII) Fale stojące w strunie. Przykład 17.7 Strunę umocowaną z jednej strony do wibratora sinusoidalnego P i przerzuconą z drugiej strony przez wspornik Q, obciążono klockiem o masie m. Odległość między punktami P i Q wynosi L = 1.2 m. Liniowa gęstość struny m = 1.6 g/m, a częstotliwość wibratora wynosi f = 120 Hz . Przy jakiej masie klocka wibrator może wzbudzić w tej strunie czwartą harmoniczną? Przyjmij, że masa klocka wynosi 1 kg. Czy w takim przypadku wibrator może wzbudzić w tej strunie falę stojącą?

Zjawisko Dopplera (I) Zjawisko Dopplera jest efektem charakterystycznym dla wszystkich rodzajów fal. Polega ono na tym, że obserwator odbiera falę o innej częstotliwości niż fala emitowana przez źródło, jeżeli obserwator i źródło fali poruszają się względem siebie. Jeśli obserwator i źródło zbliżają się do siebie, obserwator rejestruje częstość wyższą od emitowanej przez źródło, natomiast w przypadku gdy obserwator i źródło oddalają się od siebie częstość rejestrowana przez obserwatora jest niższa od tej emitowanej przez źródło. Zjawisko to zostało przewidziane przez J.Ch. Dopplera w 1842 r., a następnie potwierdzone doświadczalnie przez B. Ballota w 1845 r. - częstotliwość rejestrowana przez obserwatora

Zjawisko Dopplera (II) Przypadek: obserwator zbliża się do nieruchomego źródła (I)

Zjawisko Dopplera (III) Przypadek: obserwator zbliża się do nieruchomego źródła (II) Częstotliwość fali rejestrowana przez obserwatora jest równa ilości powierzchni falowych docierających do niego w jednostce czasu. Częstotliwość rejestrowana przez obserwatora gdy zbliża się on do źródła z prędkością vD Częstotliwość rejestrowana przez obserwatora oddalającego się od źródła z prędkością vD .

Zjawisko Dopplera (IV) Przypadek: źródło fali zbliża się do nieruchomego obserwatora Częstotliwość rejestrowana przez obserwatora gdy źródło zbliża się do niego z prędkością vS

Zjawisko Dopplera (V) Przykład 18.8 Rakieta leci z prędkością 242 m/s w kierunku nieruchomego masztu emitując fale dźwiękowe o częstotliwości f = 1250 Hz. Zakładamy, że prędkość dźwięku w powietrzu jest równa v = 343 m/s Oblicz częstotliwość f’ zarejestrowana przez detektor przymocowany do masztu. Część dźwięku odbija się i powraca do rakiety jako echo. Jaką częstotliwość f’’ tego echa zarejestruje detektor umieszczony w rakiecie?

Prędkości naddźwiękowe. Fala uderzeniowa - Liczba Macha