Zagadnienie matematyczności przyrody Andrzej Łukasik Instytut Filozofii UMCS

„Najbardziej niezrozumiałą rzeczą jest to, że świat jest zrozumiały”. Albert Einstein „Jak to możliwe, aby matematyka, będąca przecież produktem ludzkiego myślenia niezależnym od wszelkiego doświadczenia, tak doskonale pasowała do przedmiotów rzeczywistości?”. Albert Einstein, Geometria a doświadczenie, [w:] S. Butryn (red.), Albert Einstein. Pisma filozoficzne, tłum. K. Napiórkowski, Wydawnictwo IFiS PAN, Warszawa 1999, s. 51.

racjonalność przyrody Podstawowym („milcząco przyjmowanym” ) założeniem filozofii przyrody i nauk empirycznych jest założenie racjonalności przyrody, to znaczy przypisanie jej pewnej własności, dzięki której przyroda jest badalna (tzn. poddaje się badaniom). „Jest sens zwracać się do przyrody z racjonalnymi pytaniami tylko wtedy, gdy oczekuje się, że udzieli ona racjonalnych odpowiedzi” M. Heller, Filozofia przyrody, s. 224—225

Z historii problemu Jońscy filozofowie przyrody — pierwsi zwrócili się z racjonalnymi pytaniami do przyrody, zapoczątkowując tym samym filozofię.

Platon — przyroda jest cieniem idei, uzasadnienia racjonalności przyrody należy szukać poza przyrodą — ostatecznie w obiektach matematycznych istniejących niezależnie od podmiotu poznającego i niezależnie od przyrody.

Arystoteles — wcielenie Platońskich idei w materię pierwszą (formy substancjalne): źródło zrozumiałości rzeczy stanowi natura rzeczy (esencjalizm). Ostatecznym celem nauki jest uchwycenie aktem intelektualnej intuicji istoty rzeczy i sformułowanie wyrażającej jej definicji w możliwie prostym języku.

Kartezjusz — metodologiczna płaszczyzna racjonalności: racjonalność przyrody przejawia się przez wiedzę racjonalną (jasną i wyraźną). Przyrodę należy badać more geometrico, bo jedynym atrybutem materii jest rozciągłość (geometryzacja materii & materializacja przestrzeni, resp. geometrii).

Leibniz — racjonalność przyrody wynika z racjonalności Boga‑Logika. „Człowiek posługując się zasadą racji dostatecznej może rekonstruować fragmenty Boskiego systemu logiki świata”. M. Heller, Filozofia przyrody, s. 226

„Filozofia zapisana jest w tej ogromnej księdze, którą stale mamy otwartą przed naszymi oczami; myślę o wszechświecie; lecz nie można jej zrozumieć, jeśli się wpierw rozumieć języka i pojmować znaki, jakimi została zapisana. Zapisana została zaś w języku matematyki, a jej literami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne, bez których niepodobna pojąć z niej ludzkim umysłem ani słowa; bez nich jest to błądzenie po mrocznym labiryncie” Galileo Galilei, Il saggiatore

Newton — matematyczne przyrodoznawstwo: cała struktura formalizmu matematycznego (nie tylko „wejścia” i „wyjścia”) jest odzwierciedleniem struktury badanego fragmentu rzeczywistość (konstruowanie matematycznych modeli rzeczywistości). Matematyczne modelowanie fragmentu rzeczywistości wymaga (drastycznego niekiedy) jej uproszczenia, resp. stylizacji (idealizacja, abstrakcja…).

matematyczność przyrody Sukcesy matematycznego przyrodoznawstwa racjonalność przyrody na charakter matematyczny — przyrodę można skutecznie badać posługując się metodami matematycznymi (doświadczenie pozostaje niezbywalne)

Jak wyjaśnić matematyczność przyrody, tzn Jak wyjaśnić matematyczność przyrody, tzn. to, że pewne struktury matematyczne trafnie modelują pewne fragmenty przyrody, a także to, że przyroda jest idealizowalna do prostych sytuacji — zjawiska można modelować prostymi strukturami matematycznymi, tzn. takimi, że nie wykraczają one poza możliwości poznawcze ludzkiego umysłu „Bóg jest wyrafinowany, ale nie jest złośliwy”. Albert Einstein

Propozycja Michała Hellera (Filozofia i wszechświat, Universitas, Kraków 2006) Problem racjonalności (ontologicznej) świata: „czy badany przez nauki świat musi spełniać jakieś warunki, dzięki którym można go racjonalnie badać, a jeśli tak, to jakie?” [39] Problem pojawia się w związku z sukcesami nauki od czasów zastosowania matematyczno‑empirycznej metody (Galileusz, Newton). Hipoteza racjonalności świata: świat ma pewną cechę, dzięki której daje się skutecznie badać [Heller, za Einsteinem, cechę zrozumiałości przypisuje nie człowiekowi (zdolność rozumienia), ale światu (świat jest zrozumiały) — zrozumiałość świata jako „podstawowa zagadka” — i cechę tę określa właśnie mianem racjonalności świata].

Stanowiska opozycyjne: to nie świat jest racjonalny, lecz człowiek rzutuje na świat swoją racjonalność Kant — antropologiczne wyjaśnienie racjonalności: racjonalność świata wynika z matematycznej racjonalności podmiotu poznającego aprioryczne formy zmysłowości (czas i przestrzeń) determinują arytmetyczne i geometryczne pojmowanie świata. stwierdzamy, że świat jest racjonalny, bo nasza racjonalność wykształciła się w rezultacie ewolucji homo sapiens

Heller: jeśli nawet człowiek rzutuje na świat własną racjonalność, to trzeba założyć, że świat ma własność, dzięki której jest to możliwe Człowiek jest wytworem ewolucji świata: „Ewolucja wytworzyła swoiste sprzężenie zwrotne pomiędzy racjonalnością świata i racjonalnością człowieka”. Michał Heller [46]

Świat amatematyczny (nieopisywalny żadną matematyką) = irracjonalny „matematyczność w sensie ontologicznym jest koniecznym warunkiem istnienia” „wokół nas nie ma niczego, co nie byłoby matematyczne” [54]

świat matematycznie niebadalny „Gdyby fizyka musiała stawiać czoła światu w całej jego złożoności i skomplikowaniu bez możliwości wyizolowania pewnych aspektów i przybliżania złożonych struktur prostszymi, prawdopodobnie do dziś bylibyśmy skazani na czysto jakościowy opis świata w stylu fizyki Arystotelesa. Chwila, w której Newton zrozumiał, że warto rozważać ciała o punktowych rozmiarach, poruszające się jednostajnie i prostoliniowo, na które nie działają żadne siły, stała się przełomem w historii fizyki”. [52]

świat matematycznie zbyt skomplikowany gdyby w prawie grawitacji siła nie wyrażała się wzorem F ~ 1/r2, ale np. F ~ 1/r1,999, wówczas tory planet nie byłyby krzywymi okresowymi i zamkniętymi; nawet gdyby możliwe byłoby na planetach życie [?], wątpliwe czy astronomowie mogliby rozpoznać jakiekolwiek regularności ruchu planet i sformułować prawa… prawdopodobnie nauki przyrodnicze nie mogłyby powstać.

Świat jest poznawczo matematyczny to znaczy taki, że można go badać metodami matematycznymi [53] Jeżeli jest nawet tak, że większość teorii nie jest adekwatna empirycznie (por. van Fraassen) i teorie naukowe wybierane są w procesie podobnym do doboru naturalnego, to jednak podstawą wszelkich procesów selekcji są zjawiska o charakterze probabilistycznym, a więc w świecie działają prawidłowości, których badaniem zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa, który jest teorią matematyczną [55] → wracamy do problemu, dlaczego świat jest matematyczny?

Prawa probabilistyczne: stosowalność rachunku prawdopodobieństwa wskazuje na to, że częstościowa stabilność jest własnością świata, a nie matematycznej teorii prawdopodobieństwa. Jeżeli nawet podstawowe prawa przyrody są probabilistyczne, to raczej dowodzi to matematyczności świata, a nie jego „chaotyczności”.

Obiektywność struktur matematycznych matematyka rozumiana jako to, co zawierają podręczniki itp. jest oczywiście wytworem człowieka, ale matematyka rozumiana jako abstrakcyjne prawidłowości, które te struktury ujmują jest niezależna od naszego umysłu, czyli obiektywna — „z matematyką nie możemy robić «co nam się podoba», bo wyraża ona pewne prawidłowości, które od nas nie zależą. I tylko w tym sensie twierdzę, że matematyki nie tworzymy, lecz ją odkrywamy” Michał Heller [79]

Teorie fizyczne są po prostu odpowiednio zinterpretowanymi strukturami matematycznymi [79] — pewne struktury matematyczne odpowiadają pewnym strukturom świata. Platonizm: istnieje Struktura Matematyczna Świata, do której dostęp mamy jedynie przez różne jej reprezentacje (np. w QM przestrzeń Hilberta, całki po trajektoriach, C*albera), które są „cieniami” nieznanej nam i niezależnej od nas struktury.

„Struktura fundująca zjawiska dana jest nie przez obiekty materialne, jak atomy Demokryta, lecz przez formę, która obiekty materialne określa. Idee są bardziej fundamentalne niż obiekty. Ponieważ zaś najmniejsze części materii mają być obiektami, w których rozpoznawalna staje się prostota świata i od których bliżej jest do “Jednego” i “jednolitości” świata, idee mogą być opisane matematycznie, są po prostu formami matematycznymi”. Werner Heisenberg

„Wprawdzie w czasach Platona nie było teoretycznej fizyki, ale to, o czym Platon mówi w Timajosie, możemy traktować jako odpowiednik dzisiejszej fizyki teoretycznej. Tak na przykład współczesna fizyka mówi o atomie wodoru. Co się za tym atomem kryje? Matematyczna forma, tak jak w przypadku okręgu”. Carl F. von Weizsäcker

„Mechanika kwantowa […] zmieniła cały system pojęć, jakich używamy do opisu przyrody: zamiast mówić o cząstkach z dobrze określonym położeniem i prędkością, mówimy teraz o funkcjach falowych i prawdopodobieństwach. Synteza teorii względności z mechaniką kwantową doprowadziła do powstania nowego obrazu świata, w którym materia nie odgrywa już głównej roli. Jej miejsce zajęły zasady symetrii, choć niektóre z nich w obecnym stanie wszechświata pozostają ukryte”. Steven Weinberg

„Jedną z zadziwiających cech zachowania świata stanowi jego nadzwyczajna zgodność z prawami matematycznymi. Im lepiej rozumiemy świat fizyczny, im głębiej poznajemy prawa natury, tym bardziej wydaje się nam, że świat fizyczny gdzieś wyparowuje i pozostaje nam tylko matematyka. Im głębiej rozumiemy prawa fizyki, tym dalej wkraczamy w świat matematyki i matematycznych pojęć”. Roger Penrose

„[…] cały świat fizyczny jest rządzony prawami matematycznymi „[…] cały świat fizyczny jest rządzony prawami matematycznymi. […] cały fizyczny wszechświat podlega w najdrobniejszych szczegółach regułom matematycznym, być może wyrażonym w formie równań […] a może w formie jakichś przyszłych pojęć matematycznych fundamentalnie różnych od tych, którym dzisiaj przypisujemy nazwę „równań”. Jeśli mam rację, to nawet nasze własne działania fizyczne winny podlegać regułom matematyki, przy czym, oczywiście, rozumiemy dopuszczalność zdarzeń losowych rządzonych ściśle probabilistycznymi zasadami”. R. Penrose, Droga do rzeczywistości, s. 18

„Stosowność języka matematyki do formułowania praw fizyki jest cudownym darem, którego ani nie rozumiemy, ani nań nie zasługujemy. Powinniśmy być za niego wdzięczni i mieć nadzieje, ze pozostanie on w mocy w przyszłych badaniach, oraz ze rozszerzy sie on, lepiej lub gorzej, dla naszej przyjemności a może tez dla naszego zmieszania, na szerokie gałęzie wiedzy”. (Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, w: „Communications in Pure and Applied Mathematics”, t. 13, 1 (luty 1960), ss. 1–14)