Teoria arbitrażu cenowego

Niedoskonałości modelu CAPM Niedoskonałość opisu związku stopy zwrotu i ryzyka Niestabilność współczynników beta indywidualnych spółek vs. stabilność współczynników beta portfeli, Dochodowe strategie inwestycyjne (efekt małych spółek, efekt spółek o niskim P/E, efekt spółek dochodowych)

Teoria arbitrażu cenowego (Arbitrage pricing Theory – APT) Autor Stephen Ross – 1976 Alternatywa wobec modelu CAPM Mniejsza liczba założeń stąd lepszy przy porównaniach teoretycznych Dość trudny do zastosowania w praktyce

Założenia modelu APT Rynek kapitałowy jest doskonały (doskonała konkurencja, brak kosztów transakcyjnych itp.) – stąd prawo jednej ceny i arbitraż Inwestorzy mają jednolite oczekiwania Liczba aktywów dostępnych na rynku jest bliska nieskończoności Stochastyczny proces generowania stóp zwrotów z aktywów można opisać liniową funkcją X czynników ryzyka.

Założenie modelu CAPM nie występujące w APT Dla każdego inwestora można wyzanczyć kwadratową funkcję użyteczności. Rozkład stóp zwrotu z każdego papieru wartościowego ma charakter rozkładu normalnego. Portfel rynkowy jest złożony ze wszystkich dostępnych aktywów obciążonych ryzykiem i jest portfelem efektywnym.

Prawo jednej ceny Dane dobro nie może być sprzedawane na rynku po dwóch różnych cenach. Sytuacja taka jest możliwa w krótkim okresie, ale powoduje ona pojawienie się tzw. arbitrażystów, którzy kupując tam gdzie cena jest niższa i sprzedając tak gdzie jest wyższa, doprowadzili by swym działaniem do zrównania cen. W odniesieniu do rynku kapitałowego prawo jednej ceny oznacza, że dwa instrumenty finansowe o tym samym ryzyku będą mieć te same stopy zwrotu.

Model wieloczynnikowy gdzie: r – rzeczywista stopa zwrotu akcji (portfela akcji) w zadanym okresie czasu α – wyraz wolny równania – oczekiwana stopa zwrotu z akcji gdy wszystkie czynniki ryzyka równe 0 bik – współczynnik wrażliwości stopy zwrotu akcji względem stopy zwrotu i-tego czynnika Fi – stopa zwrotu i-go czynnika ε – składnik losowy

Warunki modelu wieloczynnikowego

Warunki modelu wieloczynnikowego Wartość oczekiwana ryzyka specyficznego jest równa zero Ryzyka specyficzne różnych aktywów są nieskorelowane Ryzyko specyficznego i-go aktywa jest nieskorelowane z czynnikami modelu Czynniki modelu są nieskorelowane

Interpretacja modelu wieloczynnikowego Stopa zwrotu z akcji (portfela) zależy w liniowy sposób od stóp zwrotu pewnych czynników Model nie określa jakie to są czynniki Czynniki powinny mieć wpływ na stopy zwrotu z akcji O sile zależności decyduje decydują wartości współczynników wrażliwości Model wieloczynnikowy można traktować jako uogólnienie modelu jednoczynnikowego Sharpe’a

Arbitraż w modelu APT Inwestor dysponując określonym, początkowym portfelem papierów wartościowych bada możliwość budowy portfela arbitrażowego, który umożliwi mu zwiększenie stopy zwrotu bez ponoszenia dodatkowego ryzyka.

Cechy portfela arbitrażowego Warunek 1 oznacza zerowy nakład netto na budowę portfela, warunek 2 niewrażliwość portfela na działanie wszystkich czynników ryzyka, warunek 3 (przybliżony)niewrażliwość na ryzyko specyficzne.

Portfel arbitrażowy cd. Portfel zeroarbitrażowy musi oferować zerową stopę zwrotu, czyli: Jeśli równanie powyższe dla jakiegoś portfela możliwego do utworzenia na rynku nie jest spełnione istnieje możliwość dokonywania arbitrażu. Analogiczne transakcje arbitrażowe będą wykonywane przez wszystkich inwestorów. W ich efekcie ceny akcji podlegających sprzedaży będą spadać, a więc ich oczekiwane stopy zwrotu będą rosnąć. I odwrotnie ceny akcji nabywanych w ramach arbitrażu będą rosnąć, w wyniku czego ich oczekiwane stopy zwrotu będą spadać. Aktywność arbitrażowa będzie trwać dopóki wszystkie możliwości arbitrażu nie zostaną wyeliminowane.

Ogólna postać modelu APT W wyniku arbitrażu ustali się liniowa zależność pomiędzy oczekiwanymi stopami zwrotu a wrażliwościami, którą można opisać wzorem: gdzie: λ0 – stopa wolna od ryzyka λi – premia za ryzyko z tytułu działania i-go czynnika

Wyznaczanie parametrów modelu Do wyznaczenia parametrów modelu można wykorzystać ogólną postać równania modelu odniesioną do konkretnych portfeli akcji:

Budowa k+1 portfeli akcji Każdy z pierwszych k portfeli to portfel o jednostkowej wrażliwości na jeden czynnik ryzyka i zerowej wrażliwości na wszystkie pozostałe czynniki. Ostatni portfel jest niewrażliwy na wszystkie czynniki ryzyka (portfel wolny od ryzyka).

Wyznaczanie parametrów modelu Możemy zbudować następujący układ równań, którego rozwiązaniem są wartości parametrów modelu:

Wyznaczanie parametrów modelu 2 Z powyższego układu równań wynika iż: - stopa wolna od ryzyka - premia za ryzyko wywołane czynnikiem j

Arbitraż APT - przykład Na rynku opisanym modelem APT dane są 3 akcje i dwa czynniki ryzyka. Oczekiwane stopy zwrotu z akcji dane są równaniami: Załóżmy, że λ1 = 4% oraz λ2=5% a obecne ceny wszystkich 3 akcji są równe i wynoszą 35 USD. Wówczas:

Arbitraż APT - 2 Oczekiwane stopy zwrotu z akcji wyniosą A stąd oczekiwane ceny akcji za rok: Załóżmy, że „wiemy” że za rok ceny akcji wyniosą odpowiednio: 37,20; 37,80; 38,50.

Arbitraż APT - 3 Budowa portfela arbitrażowego: w1=(1,0); w2=+0,5; w3=+0,5 Inwestycja początkowa: Krótka sprzedaż 2 akcji A = +70 Zakup 1 akcji B = -35 Zakup 1 akcji C = -35 Inwestycja netto = 0

Arbitraż APT - 4 Ekspozycja na czynniki ryzyka czynnik 1 czynnik 2 Ekspozycja z akcji A (-1,0)*0,8 (-1,0)*0,9 Ekspozycja z akcji B 0,5*(-0,2) 0,5*1,3 Ekspozycja z akcji C 0,5*1,8 0,5*0,5 Ekspozycja netto 0 0 Zysk arbitrażowy: [2*35 – 2*37,20]+[37,80-35]+[38,5-35] = 1,90

Arbitraż APT - 5 Efekt arbitrażu w cenach akcji: PA = 37,20 /1,077 = 34,54 PB = 37,80 / 1,057 = 35,76 PC = 38,5 / 1,097 = 35,10

Identyfikacja czynników modelu Wpływ czynnika na ceny aktywów powinien się przejawiać w ich nieoczekiwanych ruchach Powinny reprezentować efekt niedywersyfikowalny (głównie czynniki makroekonomiczne) Dostępne regularne i dokładne odczyty wartości czynników Zależność powinna być uzasadniona na gruncie teorii ekonomii

Propozycje czynników – Chen, Roll, Ross (1986) Stopa zwrotu z ważonego indeksu cen akcji notowanych na NYSE Miesięczna stopa wzrostu produkcji przemysłowej w USA, Zmiany inflacji mierzonej indeksem CPI, Różnica pomiędzy faktycznym a oczekiwanym poziomem inflacji Nieoczekiwane zmiany poziomu zaufania inwestorów wywoływane zmianami poziomu premii za ryzyko kredytowe na rynku obligacji korporacyjnych, Nieoczekiwane przesunięcia krzywej dochodowości.

Burmeister, Roll, Ross Confidence risk – niespodziewane zmiany w skłonności inwestorów do podejmowania ryzyka inwestycyjnego, Time horizon risk – nieoczekiwane zmiany w definiowanym przez inwestorów horyzoncie czasowym realizacji zysków z inwestycji, Inflation risk – kombinacja nieoczekiwanych składników poziomów inflacji krótko- i długoterminowej, Business cycle risk – nieoczekiwane zmiany poziomu ogólnej aktywności gospodarczej, Market-timing risk – część stopy zwrotu z indeksu S&P 500 nie wyjaśniana przez pozostałe cztery czynniki makroekonomiczne.

Wykorzystanie indeksów oraz cen spot i futures Krótkoterminowe stopy procentowe Spread krótko i długoterminowych stóp procentowych Indeksy „szerokiego” rynku akcji (S&P 500, NYSE Composite, WIG) Ceny ropy naftowej Ceny złota lub innych metali szlachetnych Kursy walut

Modele czynników mikroekonomicznych – Fama & French SMB (small minus big) – różnica między stopą zwrotu z portfela spółek o niskiej kapitalizacji i portfela spółek o dużej kapitalizacji HML (high minus low) – różnica między stopą zwrotu z portfela spółek o wysokiej wartości współczynnika wartości księgowej do rynkowej (spółki value) i portfela spółek o niskiej wartości współczynnika wartości księgowej do rynkowej (spółki growth)

Rynek polski (lata 1998 – 2002) Stopy procentowe Stopa bezrobocia Wielkość podaży pieniądza Deficyt budżetowy Rentowność bonów skarbowych Poziom cen eksportu

Relacja między modelami CAPM i APT Model CAPM można uznać za najprostszą formę APT gdzie jedynym czynnikiem modelu jest stopa zwrotu z portfela rynkowego i gdzie na rynku występuje stopa wolna od ryzyka. Przypadek większej liczby czynników można zanalizować na następującej postaci równania APT

APT a CAPM cd. Równanie równowagi dla powyższej formy APT ma postać: Jeśli spełniony jest model CAPM, premię z każdego czynnika ryzyka można przedstawić jako:

APT a CAPM cd. Podstawiając do równania równowagi APT otrzymujemy: Jeśli zdefiniujemy: Otrzymujemy