Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1."— Zapis prezentacji:

1 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1 Systemy rozmyte są modelami przetwarzającymi informację za pomocą zbioru reguł rozmytych jeżeli – to Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury Rozmytość jest sposobem reprezentowania niejednoznaczności (niepewności) określeń lingwistycznych (n.p. wysoka temperatura)

2 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania2 Czy istnieje jeden rodzaj modeli rozmytych? Nie Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji: lingwistyczny model rozmyty Takagi-Sugeno model rozmyty (TS) Tsukamoto model rozmyty Przedstawimy w tym przedmiocie lingwistyczny model Mamdaniego

3 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania3 Jak wygląda model rozmyty i jak działa? Baza reguł rozmytych Aktualna wartość wejścia x *, ani Small, ani Medium na pewno nie Large – jaka powinna być odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia, aktualna wartość wyjścia y * ? x*x* Mechanizm/system wnioskowania rozmytego + y*y* Przykład: lingwistyczny model rozmyty zmienna rozmyta wartość zmiennej rozmytej

4 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania4 W modelach rozmytych zależności pomiędzy zmiennymi modelu są reprezentowane za pomocą reguł IF-THEN mających ogólną następującą postać Przykłady reguł nazywanych regułami rozmytymi

5 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania5 x is A – poprzednik, przesłanka y is B – następnik, konkluzja, rezultat, Określenia: Rozmyta reguła IF – THEN – możliwa postać Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement) Forma: gdzie x, y – zmienne rozmyte/lingwistyczne A, B – wartości zmiennych rozmytych/lingwistycznych, odpowiednio x i y, zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X i Y

6 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania6 Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać: Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać w zależności od typu modelu rozmytego W modelach lingwistycznych Mamdaniego konkluzja ma postać:

7 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania7 Podstawowe pojęcie systemów rozmytych – ZBIÓR ROZMYTY Zbiory rozmyte są powszechnie stosowane przez ludzi do jakościowej oceny wielkości fizycznych, stanów obiektów i systemów oraz do ich porównywania zmienna rozmyta/lingwistyczna wartość rozmyta/lingwistyczna (zmiennej rozmytej/lingwistycznej) = zbiór rozmyty zdefiniowany funkcją przynależności na przestrzeni rozważań

8 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania8 Definicja: - przestrzeń rozważań, uniwersalny zbiór będący przedmiotem naszego zainteresowania Przykłady: uczniowie klas pierwszych w liceach liczby rzeczywiste temperatura powietrza w Polsce miasta w Polsce Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury (dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności może to być dziedzina numeryczna Wszystkie zbiory definiujemy w przestrzeni rozważań Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia

9 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania9 Przykłady: chłopcy uczniowie klas pierwszych w liceach dodatnie liczby rzeczywiste temperatura powietrza latem w Polsce miasta wojewódzkie w Polsce Zwykły albo klasyczny zbiór jest definiowany jako zestaw elementów w X posiadający pewną specyficzną cechę Definicja: zbiór zwykły (1)

10 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania10 Można inaczej definiować zbiory zwykłe korzystając z pojęcia funkcji przynależności (funkcji charakterystycznej, funkcji wskaźnikowej) Definicja: funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru zwykłego A w przestrzeni rozważań X (oznaczana μ A (x)) jest odwzorowaniem z X w zbiór dwuelementowy {0,1}: μ A (x):X {0,1} takim, że

11 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania11 Niech X, dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem zwyklym A dziedziny rozważań X, nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która każdemu elementowi x X przypisuje dwuwartościowy stopień jego przynależności A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym: Definicja: zbiór zwykły (2)

12 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania12 Definicj: Zbiór rozmyty (fuzzy set) Niech X, dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X, nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności (membership function) zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi x X przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

13 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania13 Przykład:

14 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania14 Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej zmiennej do przedziału [0,1]: Funkcja przynależności (membership function) i stopień przynależności (grade of membership) Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi x X pewną wartość z przedziału [0,1]: Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu element x X należy do zbioru rozmytego A

15 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania15 Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie Zbiór zwykły Zbiór rozmyty

16 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania16 Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu przestrzeni rozważań do różnych zbiorów

17 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania17 Ocena prawdziwości stwierdzeń w logice klasycznej Jan jest wysoki Prawda czy fałsz? Wzrost Jana:

18 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania18 Ocena prawdziwości stwierdzeń w logice rozmytej Wzrost Jana: Jan jest wysoki Prawda w jakim stopniu?

19 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania19 Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA

20 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania20 Przykłady zbiorów rozmytych: zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej nieuporządkowanej Niech X zbiór miast, spośród których ktoś może wybrać miejsce zamieszkania A – miasto pożądane do zamieszkania

21 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania21 zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej uporządkowanej Niech X zbiór liczby dzieci, jaką rodzina może mieć A – rozsądna liczba dzieci w rodzinie

22 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania22 zbiór rozmyty na dziedzinie ciągłej Niech X możliwy wiek ludzi A – ludzie w wieku około 50 lat gdzie:

23 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania23 Obiekt Struktura systemu sterowania zbióry rozmyte dla sterowania wahadłem odwróconym

24 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania24 Wejścia regulatora: Odchylenie od położenia pożądanego Położenie pożądane Położenie aktualne Zmiana odchylenia od położenia pożądanego Wyjście regulatora: Siła przyłożona do wózka – u(t)

25 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania25 Zmienne lingwistyczne: Odchylenie – e(t) Zmiana odchylenia – Siła – u(t) Pożądane położenie: r(t) = 0 Zależności: Konwencja: Położenie + Odchylenie - ; Położenie - Odchylenie + Siła + Zmiana położenia + Zmiana odchylenia - ; Zmiana położenia - Zmiana odchylenia +

26 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania26 Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych): ujemna, duża co do wartości – neglarge ujemna, mała co do wartości – negsmall zero – zero dodatnia, mała co do wartości – possmall dodatnia, duża co do wartości – poslarge

27 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania27 Wahadło odwrócone w różnych pozycjach Położenie pożądane Odchylenie dodatnie Odchylenie ujemneSiła dodatnia Odchylenie zerowe Zmiana odchylenia ujemna Zmiana odchylenia dodatnia

28 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania28 Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych

29 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania29 Funkcja przynależności może być wyrażona w postaci: diagramu ciągłego lub dyskretnego, wzoru matematycznego, tabeli, wektora przynależności, sumy lub całki Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji przynależności liczby rozmytej około zera Przykłady:

30 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania30 Funkcja przynależności w postaci wzoru dla liczby rozmytej około zera Dyskretna funkcja przynależności w postaci tabeli dla liczby rozmytej około zera x i Xx 1 =-ax 2 =-0.75ax 3 =-0.5a x 4 =-0.25a x 5 =0 x 6 =0.25a x 7 =0.5a x 8 =0.75ax 9 =a (x) Elementami x i w tabeli mogą być nie tylko liczby x i XFirma1Firma2.....Firma (n-1)Firman (x)

31 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania31 Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby rozmytej około zera

32 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania32 Ciągła funkcja przynależności w postaci całki dla liczby rozmytej około zera Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby rozmytej około zera

33 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania33 Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego jest A jest formą przedstawiania zbioru rozmytego jako zbioru par (element x zbioru A, stopień przynależności elementu x do zbioru A) Przykłady pionowej reprezentacji zbioru rozmytego

34 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania34 Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego A polega na przedstawianiu tego zbioru za pomocą tzw. - przekrojów A tego zbioru. - przekrój A α zbioru rozmytego A jest nierozmytym podzbiorem przestrzeni rozważań X, którego elementy wszystkie posiadają stopień przynależności równy lub większy - przekrój A α jest nazywany ścisłym jeżeli Oznaczenia (inne): - przekrój(A), przekrój(A, ), A α, A >α Wartość nazywana jest - poziomem

35 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania35 Przykładowe - przekroje zbioru rozmytego A Ilustracja graficzna

36 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania36 Charakterystyczne parametry zbioru rozmytego: Nośnik zbioru rozmytego A (support): Nośnik zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X, którego wszystkie elementy mają niezerowy stopień przynależności do zbioru A

37 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania37 Jądro zbioru rozmytego A (core, kernel): Jądro zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X złożony ze wszystkich elementów o stopniu przynależności równym 1

38 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania38 Wysokość zbioru rozmytego A (height): Wysokością zbioru rozmytego A nazywamy supremum funkcji przynależności elementów zbioru A w całej dziedzinie rozważań zbioru X

39 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania39 Wypukłość zbioru rozmytego A: Zbiór rozmyty zdefiniowany w przestrzeni rozważań R n jest wypukły jeżeli każdy jego - przekrój jest zbiorem wypukłym

40 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania40 Przykład: wiek kierowcy wysokiego ryzyka dla ubezpieczeń samochodów

41 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania41 Liczba kardynalna zbioru rozmytego A: Mocą zbioru rozmytego A, A lub liczbą kardynalną card(A) tego zbioru określonego na przestrzeni dyskretnej X nazywamy a w przypadku przestrzeni ciągłej

42 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania42 Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A (x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A (x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U: Charakterystyczne zbiory rozmyte

43 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania43 Normalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A (x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym

44 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania44 Normalny zbiór rozmyty A (trochę inaczej): Zbiór rozmyty A jest normalny, jeżeli x X taki, że μ A (x)=1. Zbiór rozmyty, który nie jest normalny nazywany jest subnormalnym Operator normalizacji: Operator jest nazywany operatorem normalizacji, tzn.

45 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania45 Liczba rozmyta: Pojęcie liczby rozmytej jest używane (czasem) dla wskazania zbioru rozmytego normalnego i wypukłego określonego na R Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera

46 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania46 Rodzaje funkcji przynależności zbiorów rozmytych - jednowymiarowe - funkcje przynależności złożone z odcinków prostych Kształty najczęściej stosowanych odcinkowo – liniowych funkcji przynależności

47 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania47 Zalety wielokątnych funkcji przynależności: mała liczba danych potrzebna do zdefiniowania funkcji przynależności łatwość modyfikacji parametrów funkcji przynależności w oparciu o dane pomiarowe wejście – wyjście systemu Wady wielokątnych funkcji przynależności: są nieróżniczkowalne

48 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania48 Trójkątna funkcja przynależności: Przykład: triangle(x;20,60,80)

49 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania49 Trapezowa funkcja przynależności: Przykład: trapezoid(x;10,20,60,95)

50 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania50 - intuicyjne funkcje przynależności Aksjomaty: A1. Intuicyjne funkcje przynależności (x) są ciągłe w całym zakresie dziedziny rozważań A2. Pierwsza pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A3. Druga pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A4. Zakrzywienia intuicyjnej funkcji przynależności (x) są minimalne

51 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania51 Przykłady matematycznych reprezentacji intuicyjnych funkcji przynależności: 1. Funkcja przynależności Gaussa 3. Sigmoidalne funkcje przynależności 2. Dzwonowa funkcja przynależności

52 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania52 Gaussowska funkcja przynależności: Przykład: gaussian(x;50,20)

53 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania53 Dzwonowa funkcja przynależności: Przykład: bell(x;20,4,50)

54 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania54 Dzwonowa funkcja przynależności – znaczenie parametrów:

55 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania55 Dzwonowa funkcja przynależności – wpływ zmian wartości parametrów na kształt FP:

56 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania56 Sigmoidalna funkcja przynależności: Przykłady Dwie prawe FP sigmoidalne Prawa i lewa FP sigmoidalne

57 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania57 Poza jednowymiarowymi przestrzeniami rozważań możemy mieć do czynienia z wielowymiarowymi przestrzeniami rozważań, które są iloczynem kartezjańskim X przestrzeni składowych X 1, X 2,...., X n wielkości o różnym charakterze Przykład: X 1 – zbiór obywateli X 2 – zbiór banków Definiowanie zbiorów rozmytych dla wielowymiarowych przestrzeni rozważań Bezpośrednio

58 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania58 Dwuwymiarowe i n-wymiarowe funkcje przynależności mogą jedną z dwóch kategorii: 1. składaną funkcją przynależności 2. nieskładaną funkcją przynależności Ograniczymy się do przypadku dwuwymiarowego Dwuwymiarowa FP jest nazywana składaną FP, jeżeli może być ona analitycznie wyrażona za pomocą dwóch jednowymiarowych FP, w przeciwnym przypadku jest ona nieskładana Definicja – składana i nieskładana dwuwymiarowa FP

59 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania59 Przykład: Niech w przestrzeni X x Y R 2 określony jest zbiór rozmyty A funkcją przynależności

60 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania60 Funkcja przynależności może być przedstawiona jako

61 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania61 Przykład: Niech w przestrzeni X x Y R 2 określony jest zbiór rozmyty A funkcją przynależności FP dwuwymiarowa nieskładana

62 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania62 Modyfikatory lingwistyczne zbiorów rozmytych Weźmy zmienną lingwistyczną wiek Dziedzina rozważań lingwistyczna tej zmiennej może być podana w następujący sposób: X wiek = {młody, nie młody, bardzo młody, nie bardzo młody,... średniego wieku, nie średniego wieku, stary, nie stary, bardzo stary, mniej więcej stary, nie bardzo stary,.... nie bardzo młody i nie bardzo stary,... } W tej dziedzinie możemy wyróżnić: podstawowe (pierwotne) wartości lingwistyczne zmiennej – primary term (młody, średniego wieku, stary) zmieniane przez negację - negation (nie) (nie stary) i/lub modyfikatory – hedges (bardzo, mniej więcej, całkiem, krańcowo,...) i następnie powiązane łącznikami – connectives (i, lub albo... albo, ani... ani,..)

63 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania63 Modyfikatory umożliwiają tworzenie pochodnych zbiorów rozmytych na bazie zbiorów podstawowych bez ponownego definiowania funkcji przynależności Wyróżnia się przy tym - modyfikatory mocy (powered hedges) -modyfikatory przesunięcia (shifted hedges) Modyfikatory mocy są realizowane za pomocą funkcji, które działają na stopniach przynależności i mają ogólną postać Modyfikatory przesunięcia przemieszczają funkcję przynależności w jej dziedzinie

64 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania64 Powszechnie stosowane modyfikatory mocy: Bardzo, Mniej więcej Bardzo: (operator koncentracji) Mniej więcej: (operator rozcieńczania – dylatacji) Definicja: Bardzo, Mniej więcej

65 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania65 Przykład: zastosowanie modyfikatora mocy very w definiowaniu zbiorów rozmytych w przestrzeni wzrost mężczyzny

66 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania66 Przykładowe inne spotykane modyfikatory

67 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania67 Przykładowe inne spotykane modyfikatory

68 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania68 Operacje (logiczne, mnogościowe) na zbiorach rozmytych Główne operatory logiczne: 1. Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych 2. Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych 3. Operacja negacji (complement) zbioru rozmytego

69 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania69 Operacje na zbiorach klasycznych

70 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania70 Przykład: Definicja: Zawieranie (containment) lub podzbiór Zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (lub, równoważnie, A jest podzbiorem B, lub A jest mniejszy lub równy B) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x

71 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania71 Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych W logice nierozmytej: Własności: Przemienność: Łączność: Idempotentność: Absorbcja: Identycznność: Wyłączna sprzecznność: Nie wszystkie te własności przenoszą się na operacje na zbiorach rozmytych

72 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania72 Definicja: Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A B lub C = A AND B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

73 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania73 Operator min nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji przecięcia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji przecięcia Najczęściej stosowanymi operatorami przecięcia zbiorów rozmytych A B są tak zwane T-normy (triangular norm) Definicja uogólniona : Przecięcie (intersection) zbiorów rozmytych Przecięcie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję T:[0,1]x[0,1] [0,1], która agreguje dwa stopnie przynależności w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji T. Ta klasa operatorów rozmytego przecięcia, która zwykle kojarzona jest jako operatory T-normy spełnia podane niżej podstawowe wymagania

74 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania74 Definicja: T - norma Operator T – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą następujące warunki: 1. dziedziny odwzorowania 2. zerowanie (boudary) 3. tożsamość jedynki (boundary) 4. monotoniczność (monotonicity) 5. przemienność (commutativity) 6. łączność (associativity)

75 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania75 Operatory T – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne Niektóre nienastawialne operatory T – normy

76 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania76 Niektóre nastawialne operatory T – normy

77 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania77 Uwagi: Największe wartości funkcji przynależności daje operator MIN, inne operatory T – normy dają wartości mniejsze Do realizacji operacji przecięcia zbiorów rozmytych stosuje się nie tylko operatory będące T - normami Twierdzenie: Wszystkie operatory T – normy są ograniczone od dołu przez operator iloczynu drastycznego a od góry przez operator MIN

78 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania78 Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych W logice nierozmytej: Własności: Przemienność: Łączność: Idempotentność: Połączenie ze zbiorem Ø: Absorpcja: Poł. ze zbiorem komplem.: Nie wszystkie te własności przenoszą się na operacje na zbiorach rozmytych

79 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania79 Definicja: Połączenie (union) zbiorów rozmytych Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest zbiorem rozmytym C, co zapisuje się jako C = A B lub C = A OR B, którego funkcja przynależności (FP) jest związana z FP zbiorów A i B zależnością: Przykład:

80 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania80 Operator max nie jest jedynym stosowanym do realizacji operacji połączenia zbiorów – opracowano wiele realizacji operacji połączenia Najczęściej stosowanymi operatorami połączenia zbiorów rozmytych A B są tak zwane S-normy Definicja uogólniona : Połączenie (union) zbiorów rozmytych Połączenie dwóch zbiorów rozmytych A i B jest określane przez funkcję S:[0,1]x[0,1] [0,1], która agreguje dwa stopnie przynależności w następujący sposób: gdzie jest operatorem binarnym określonym dla funkcji S. Ta klasa operatorów rozmytego połączenia, która zwykle kojarzona jest jako operatory S-normy spełnia podane niżej podstawowe wymagania

81 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania81 Definicja: S - norma Operator S – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą następujące warunki: 1. dziedziny odwzorowania 2. zerowanie (boudary) 3. tożsamość zera (boundary) 4. monotoniczność (monotonicity) 5. przemienność (commutativity) 6. łączność (associativity)

82 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania82 Operatory S – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne Niektóre nienastawialne operatory S – normy

83 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania83 Niektóre nastawialne operatory S – normy

84 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania84 Uwagi: Najmniejsze wartości funkcji przynależności daje operator MAX, operatory S – normy dają wartości większe Do realizacji operacji połączenia zbiorów rozmytych stosuje się nie tylko operatory będące S - normami Twierdzenie: Wszystkie operatory S – normy są ograniczone od dołu przez operator MAX a od góry przez operator sumy drastycznej

85 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania85 Operatory T – normy i S – normy tworzą pary komplementarne spełniające warunek: Komplementarne pary T – norm i S - norm T – norma (S – konorma) S – norma (T – konorma)

86 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania86 Operacja negacji (complement, negation) zbioru rozmytego W logice nierozmytej: Definicja: Negacja (complement) zbioru rozmytego Negacja zbioru rozmytego A jest zbiorem rozmytym A, określonym zależnością: Przykład:

87 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania87 Inne operacje negacji 1. Negacje Sugeno (parametryzowane) gdzie 2. Negacje Yagera (parametryzowane) gdzie

88 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania88 Dla wyróżnienia operatory: są nazywane klasycznymi lub standardowymi operatorami rozmytymi przecięcie połączenie negacja

89 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania89 Jak realizować operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań? Operacje na zbiorach możemy przeprowadzać na zbiorach zdefiniowanych w jednej przestrzeni rozważań Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego Każdy n-wymiarowy zbiór rozmyty może być rozszerzony do wymiaru n+1 za pomocą rozszerzenie cylindrycznego Projekcja zbioru rozmytego Każdy n+1 - wymiarowy zbiór rozmyty może być ścieśniony do wymiaru n za pomocą projekcji

90 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania90 Definicja: Rozszerzenie cylindryczne Jeżeli X 1 i X 2 są przestrzeniami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na X 1 to rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A na przestrzeń rozważań X = X 1 x X 2 nazywamy odwzorowanie dla wszystkich dwójek x=(x 1,x 2 ) X 1 x X 2 określone wzorem dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej

91 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania91 Przykład: rozszerzenie cylindryczne z R do R 2

92 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania92 Definicja: Projekcja Jeżeli X 1 i X 2 są dziedzinami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na przestrzeni iloczynowej X=X 1 xX 2 to projekcją tego zbioru na dziedzinę X 1 jest odwzorowanie: określone zależnością: dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej

93 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania93 Przykład: projekcja z R 2 do R

94 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania94 Przykład: Zbiór A określony na przestrzeni X 1 xX 2 dyskretnej. Należy określić projekcje tego zbioru na przestrzeń X 1 Zbiór A(x 1,x 2 ) - dyskretny Projekcja zbioru A(x 1,x 2 ) na przestrzeń X 1

95 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania95 Operacje takie jak połączenie lub przecięcie zastosowane do zbiorów rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań prowadzą do wielowymiarowych zbiorów rozmytych na iloczynach kartezjańskich tych przestrzeni W istocie operacje takie realizowane są poprzez, najpierw realizację rozszerzenia cylindrycznego a dopiero potem samej wymaganej operacji na rozszerzeniach zbiorów

96 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania96 Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μ A (·) i μ B (·). Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, oznaczony AxB, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności mającym funkcję przynależności np.

97 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania97 Suma kartezjańska zbiorów rozmytych Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μ A (·) i μ B (·). Suma kartezjańska zbiorów A i B, oznaczona A+B, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności np.

98 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania98 Przykład:

99 Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania99 Przykład:


Pobierz ppt "Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele rozmyte – podstawy i struktury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google