Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapita ł Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapita ł Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapita ł Ludzki CZ Ł OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 Nazwa szko ł y: Zespó ł Szkó ł Us ł ugowo –Gospodarczych w Pleszewie ID grupy: 97/18_MF_G1 Opiekun: Magdalena Karczewska Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobie ń stwa Semestr/rok szkolny:IV/ 2011/2012

3

4 Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych.

5 Je ż eli zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to liczba ró ż nych par (x, y) takich, ż e x A i y B wynosi m· n.

6 Ile ró ż nych wyników mo ż na otrzyma ć przy rzucie monet ą i kostk ą ? 2 · 6 = 12 (O, 1), (O, 2), (O, 3),(O, 4), (O, 5), (O, 6) (R, 1), (R, 2), (R, 3),(R, 4), (R, 5), (R, 6)

7 {x 1, x 2,..., x n } oznacza zbiór o elementach x 1, x 2,..., x n. Ka ż dy zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, to znaczy ka ż dy element traktujemy tak, jakby wyst ę powa ł tylko jeden raz, a kolejno ść elementów zbioru nie odgrywa roli. (a 1, a 2,..., a n ) oznacza ci ą g o wyrazach a 1, a 2,..., a n. Kolejno ść ustawienia wyrazów w ci ą gu jest bardzo wa ż na. Zmieniaj ą c kolejno ść wyrazów w ci ą gu otrzymujemy inny ci ą g. Ci ą g mo ż e zawiera ć wyrazy identyczne lub nie. Zbiór Ci ą g

8 Symbol n! - oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 123…n przy czym 0!= 1. Przyk ł ady: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

9

10 Permutacj ą bez powtórze ń zbioru n- elementowego nazywamy ka ż dy n-wyrazowy ci ą g utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji zbioru n-elementowego jest równa: n!

11 Wariacj ą bez powtórze ń k-wyrazow ą zbioru n- elementowego (1 k n) nazywa si ę ka ż dy k- wyrazowy ci ą g k ró ż nych elementów tego zbioru (kolejno ść tych elementów ma znaczenie). Gdy k=n, wariacj ę bez powtórze ń nazywa si ę permutacj ą. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórze ń zbioru n-elementowego wyra ż a si ę wzorem:

12 Wariacj ą z powtórzeniami k- wyrazow ą zbioru n-elementowego nazywa si ę ka ż dy k-wyrazowy ci ą g elementów tego zbioru (dowolny element mo ż e wyst ą pi ć wielokrotnie w ci ą gu). Nale ż y zauwa ż y ć, i ż kolejno ść elementów ma znaczenie. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:

13 Kombinacja bez powtórze ń to ka ż dy podziór zbioru sko ń czonego. Kombinacj ą k-elementow ą zbioru n- elementowego A nazywa si ę ka ż dy k- elementowy podzbiór zbioru A (0 k n). U ż ywa si ę te ż terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wr ę cz "kombinacja z n po k". Liczba kombinacji z n po k wyra ż a si ę wzorem:

14

15

16 Na ile sposobów mo ż e wsi ąść do autobusu, pojedynczo, jednymi drzwiami grupa licz ą ca 6 kobiet i 4 m ęż czyzn je ż eli kolejno ść wsiadania jest dowolna. Rozwiązanie

17 6 kobiet + 4 m ęż czyzn = 10 osób 10!= = Odp. Grupa ta mo ż e wsi ąść na sposobów Powrót

18 Na ile sposobów mo ż e wsi ąść do autobusu pojedynczo, jednymi drzwiami grupa licz ą ca 6 kobiet i 4 m ęż czyzn je ż eli najpierw wsiadaj ą kobiety pó ź niej m ęż czy ź ni? Rozwiązanie

19 Najpierw wsiada 6 kobiet na 6! Sposobów, a nast ę pnie 4 m ęż czyzn na 4! sposobów, czyli: 6! 4! = Odp. Jest sposobów wsiadania Powrót

20 W zespole tanecznym jest 10 dziewcz ą t i 10 ch ł opców. Ka ż da dziewczynka ta ń czy z ch ł opcem. Ile jest ró ż nych mo ż liwo ś ci utworzenia 10 par tanecznych? Rozwiązanie

21 Zak ł adamy, ż e ch ł opcy stoj ą w jednym szeregu i nie zmieniaj ą miejsc, a dziewczynki przemieszczaj ą si ę, tworzymy 10 par 10! = Odp. Jest mo ż liwo ś ci utworzenia 10 par. Powrót

22 Ile liczb sze ś ciocyfrowych mo ż emy utworzy ć z cyfr 1,2,3,4,5,6 takich, ż e 1 i 2 s ą siaduj ą ze sob ą w kolejno ś ci wzrastania? Rozwiązanie

23 1 i 2 mo ż na wstawi ć na 5 sposobów i pozosta ł e cyfry na 4! sposobów, czyli: 4!5=5!=120 Odp. Mo ż na u ł o ż y ć 120 takich liczb. Powrót

24 Ile parzystych sze ś ciocyfrowych liczb mo ż emy utworzy ć z cyfr 1,2,3,4,5,6? Rozwiązanie

25 Parzyste b ę d ą te liczby, które maj ą cyfr ę 2, 4 lub 6 na ko ń cu. Pozosta ł e cyfry mo ż na u ł o ż y ć na 5! Sposobów, a wi ę c: 5!3=360 Odp. Mo ż na u ł o ż y ć 360 liczb parzystych. Powrót

26 Ile jest ró ż nych czterocyfrowych liczb? Zak ł adamy, ż e cyfry nie mog ą si ę powtarza ć. Rozwiązanie

27 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), czyli n=10 liczby czterocyfrowe, czyli k=4 Pierwsz ą cyfr ą nie mo ż e by ć 0 wi ę c: __ __ __ __ -liczba czterocyfrowa = 4536 Odp. Jest 4536 takich liczb Powrót

28 Ile jest ró ż nych czterocyfrowych kodów PIN? Zak ł adamy, ż e cyfry nie mog ą si ę powtarza ć. Rozwiązanie

29 W kodzie PIN pierwsz ą cyfr ą mo ż e by ć 0 __ __ __ __ -liczba czterocyfrowa = 5040 Odp. Jest 5040 takich liczb Powrót

30 Pewna firma chce drukowa ć ulotki, w których jedna strona ma mie ć dwukolorowe t ł o (górna po ł owa ma mie ć inny kolor ni ż dolna). Ile jest wzorów takich ulotek, je ś li firma ma do dyspozycji 7 kolorów? Rozwiązanie

31 Jedna strona ma 2 kolory, czyli k=2 i jest 7 kolorów, czyli n=7 Odp. S ą 42 wzory takich ulotek. Powrót

32 Wariacja bez powtórze ń Ile jest wszystkich liczb pi ę ciocyfrowych, podzielnych przez 25? Rozwiązanie

33 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 czyli wybieramy z 10 cyfr __ __ __ __ __ - liczba pi ę ciocyfrowa, czyli k=5 Liczby b ę d ą podzielne przez 25 gdy liczba wyra ż ona dwoma ostatnimi cyframi to: 25; 50; 75. Pozosta ł e cyfry mo ż na u ł o ż y ć : _ _ _ = 294 (poniewa ż pierwsze nie mo ż e by ć 0)

34 _ _ _ = 336 (poniewa ż 0 zosta ł o ju ż wykorzystane na ko ń cu) _ _ _ = 294 (poniewa ż pierwsze nie mo ż e by ć 0) =924 Odp. Jest 924 takich liczb Powrót

35 Ile jest ró ż nych czterocyfrowych liczb? Zak ł adamy, ż e cyfry w liczbie mog ą si ę powtarza ć. Rozwiązanie

36 liczby czterocyfrowe, czyli k=4 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, czyli n=10 Pierwsz ą cyfr ą nie mo ż e by ć 0 wi ę c: __ __ __ __ - liczba czterocyfrowa = 9000 Odp. Jest 9000 takich liczb Powrót

37 Ile jest ró ż nych czterocyfrowych kodów PIN? Zak ł adamy, ż e cyfry mog ą si ę powtarza ć. Rozwiązanie

38 Kody s ą czterocyfrowe, czyli k=4 i jest 10 cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, czyli n=10 Pierwsz ą cyfr ą mo ż e by ć = Odp. Jest takich liczb Powrót

39 Na ile sposobów mo ż na pi ę ciu osobom przyporz ą dkowa ć ocen ę z matematyki? Rozwiązanie

40 Ka ż demu z pi ę ciu uczniów mo ż emy przyporz ą dkowa ć jedn ą z 6 ocen 5 uczniów, czyli k=5 6 ocen, czyli n=6 6 5 = 7776 Odp. Jest 7776 sposobów podporz ą dkowania ocen. Powrót

41 Z urny, w której znajduje si ę 7 kul losujemy 2 kule. Ile jest mo ż liwych wyników losowania? Rozwiązanie

42 Jest 7 kul, czyli n=7, wybieramy 2 kule, czyli k=2 Odp. Jest 21 ró ż nych wyników losowania. Powrót

43 Na ile sposobów z grupy licz ą cej 6 ch ł opców i 3 dziewczynki mo ż na wybra ć trzyosobow ą delegacj ę w sk ł ad której wejd ą same dziewczynki Rozwiązanie

44 W grupie s ą 3 dziewczynki wi ę c n=3, wybieramy 3 osoby zatem k=3 Odp. Jest tylko jeden sposób wyboru. Powrót

45 W klasie jest 15 dziewcz ą t i 16 ch ł opców. Spo ś ród uczniów tej klasy wybieramy czteroosobow ą delegacje. Na ile sposobów mo ż na to zrobi ć, tak aby w delegacji znalaz ł y si ę co najmniej dwie dziewczynki? Rozwiązanie

46 Wybór 2 dziewczynek i 2 ch ł opców Wybór 3 dziewczynek i 1 ch ł opca Wybór 4 dziewczynek =35805 Odp. Delegacje mo ż na wybra ć na sposobów. Powrót

47 Z okazji zjazdu kole ż e ń skiego spotyka si ę dwunastu przyjació ł. Ka ż dy wita si ę z ka ż dym poprzez podanie r ę ki. Ile nast ą pi powita ń ? Rozwiązanie

48 Ka ż e powitanie to dwuelementowa kombinacja zbioru dwunastoelementowego. Odp. Nast ą pi 66 powita ń Powrót

49 y/galerie/thumb1/7f/7f424c85de5b796dfa8f 612f617556dd175d45fc.jpg M.Kurczab, E.Kurczab, E.Świda Matematyka, zbiór zadań dla liceów i techników J.Lingman, E.Stachowski, A.Zalewska Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa dla uczniów szkół średnich

50 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapita ł Ludzki CZ Ł OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapita ł Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google